《25等比数列前n项和公式的推导和运算》课件

复 习 :等 比 数 列 anan+1an =q (定 值 ) (1) 等 比 数 列 :(2) 通 项 公 式 : an=a1 qn-1(3) 重 要 性 质 : n-man= am qm+n=p+q an aqam = ap注 :以 上 m, n, p, q 均 为 自 然 数 这 两 个 重 要 性 质 的变 化 .应 用 可 大 哩 !你 掌 握 了 吗 ? 国 际 象 棋 起 源 于 古 代 印 度 ， 关 于 国 际 象棋 有 这 样 一 个 传 说 。 国 王 要 奖 赏 国 际 象 棋 的发 明 者 ， 问 他 有 什 么 要 求 ， 发 明 者 说 ： “ 请在 棋 盘 的 第 一 个 格 子 里 放 上 粒 麦 子 ， 在 第 个 格 子 里 放 上 粒 麦 子 ， 在 第 个 格 子 里放 上 粒 麦 子 ， 在 第 个 格 子 里 放 上 粒 麦子 ， 依 此 类 推 ， 每 个 格 子 里 放 的 麦 子 数 都 是前 一 个 格 子 里 放 的 麦 子 数 的 倍 ， 直 到 第 个 格 子 。 请 给 我 足 够 的 粮 食 来 实 现 上 述 要求 。 ” 你 认 为 国 王 有 能 力 满 足 发 明 者 上 述 要求 吗 ？一、导入新课： 由 于 每 个 格 子 里 的 麦 子 数 都 是 前 一 个 格子 里 的 麦 子 数 的 倍 ， 且 共 有 个 格子 ， 所 以 各 个 格 子 里 的 麦 粒 数 依 次 是 ： ， ， ， ， ， 6332 22221 S即 ， 得 即 .,122 64 SS 1264 S由 此 对 于 一 般 的 等 比 数 列 ， 其 前 项 和n 112111 nn qaqaqaaS ， 如 何 化 简 ？ 二、新课讲解646332 22222 S2 推 导 公 式 等 比 数 列 前 n项 求 和 公 式已 知 ： 等 比 数 列 an， a1， q， n求 ： Sn 通 项 公 式 : an=a1qn-1解 ： Sn=a1+a2 + a3 +a4 + +an qsn + =a1q + + +a1q a1q2 3 + a1qn-1 a1qn 作减法(1-q)Sn=a1-a1qnSn= n a1（ 1-q )1-q (q=1)(q=1)na1 a1q a1q2 3 a1qn-1=a1+a1q + + + + 作减法 等 比 数 列 前 n项 求 和 公 式 通 项 公 式 : an=a1qn-1Sn= n a1(1-q ) 1-q (q=1)(q=1)na1等 比 数 列 anSn= a1-anq 1-q (q=1)(q=1)na1 a1qn a1q qn-1anq去 看 看 练 习 吧 ! 例 1、 求 下 列 等 比 数 列 前 8项 的 和,81,41,21)1( 0,2431,27)2( 91 qaa解 ： 时所 以 当 8n 256255211 21121 8 nS :, 2431,27 91 可 得由 aa)2( 8272431 q)1( 因 为 21,211 qa 可 得 ：又 由 ,0q 31q时于 是 当 8n 811640)31(1 31127 8 nS :a2 n 量中 ， 求 满 足 下 列 条 件 的、 在 等 比 数 列例 nn saanq 和求.21,5,2)2( 1 nqsaa nn 和求.314,512,1)3( 1 nsaa 求,2)1( 31 解 ： 21,5,2)2( 1 anq 得 ：代 入 qqasqaa nnnn 11, 111 8221 4415 qaa 231122121 2121 555 s 可 得代 入将 q qaannn nSSaa 11 1341,512,21)3( 2.1 )512(1341 qq q 解 得 ：10 )2(1512, 111 n qaa nnn解 得 ： 所 以因 为 11 2)1( 2 31 qq aa 即 nnaSq n 22221 1 ， 所 以，时 ， 数 列 为 常 数 列当 nqqan nnSq )1(11 )1(1 )1(121 )1(1 时 ，当说 明 ： 选 择 适 当 的 公 式 。并 且 要 根 据 具 体 题 意 ， 中 ， 只 知 三 可 求 二 ，在 五 个 变 量 nn Sanqa ,1 . .作 为 第 一 要 素 来 考 虑 。 的 取 值 ， 应 把 它意在 利 用 公 式 ， 一 定 要 注 q ？台 （ 结 果 保 留 到 个 位 ）可 使 总 销 售 量 达 到 几 年， 那 么 从 今 年 起 ， 大 约比 上 一 年 的 销 售 量 增 加 售 量台 ， 如 果 平 均 每 年 的 销某 商 场 今 年 销 售 计 算 机30000 %105000：例 3解 ： 30000,1.1%)101(,50001 nSqa 数 列， 每 年 的 销 售 量 成 等 比由 题 意 可 知 ， 从 今 年 起 值 。的， 求 满 足比 数 列分 析 ： 本 例 相 当 于 在 等 nSa nn 300001.11 )1.11(500030000 n由 公 式 得 ： 6.11.1 n整 理 得 ,6.1lg1.1lg n两 边 取 对 数 ， 得 5041.0 2.06.1lg 1.1lg n用 计 算 器 算 得 台 。年 可 使 总 销 售 量 达 到答 ： 从 今 年 起 ， 大 约 300005 (1) 等 比 数 列 前 n项 和 公 式 ：等 比 数 列 前 n项 和 公 式你 了 解 多 少 ？ Sn= 1-q (q=1)(q=1)qaa n1 1naSn= 1-q (q=1)(q=1)1(1 nqa 1na (2) 等 比 数 列 前 n项 和 公 式 的 应 用 ：1.在 使 用 公 式 时 .注 意 q的 取 值 是 利 用 公 式 的 前 提 ； .在 使 用 公 式 时 ， 要 根 据 题 意 ， 适 当 选 择 公 式 。利 用 “ 错 位 相 减 法 ” 推导 .n,11 32 nsxxx 项 和的 前、 求 等 比 数 列 台厂 的 销 售 总 量 是 多 少 万 年 内 该 家 电， 问 从 今 年 起每 一 年 比 上 一 年 增 加 内万 台 ， 计 划 在 以 后量 是、 某 家 电 厂 去 年 的 销 售 10%10 102 aqns n 、求,126 ,128,66)1(3 121 nnn aaaaa 中 ，在 等 比 数 列、 ,14,n)2( nnn ssa 若项 和 为的 前设 等 比 数 列 nn ss 32 ,126 求 ?n,11 32 nsxxx 项 和的 前、 求 等 比 数 列 xqa ,11解 ： 由 已 知 条 件 得 ， nS xxn n11所 以 )1( )1( xx xxxxn nnS 111 )1(1时 ，当 1x nnaSn 1时 ，当 1x ? 10%10 102 台厂 的 销 售 总 量 是 多 少 万 年 内 该 家 电， 问 从 今 年 起每 一 年 比 上 一 年 增 加 内万 台 ， 计 划 在 以 后量 是、 某 家 电 厂 去 年 的 销 售 a 总 量 组 成 等 比 数 列 。起 ， 每 年 家 电 厂 的 销 售解 ： 由 题 意 得 ， 从 今 年 101.1%1011.1%)101(1 nqaaa ， )11.1(1.1 101.11 )1.11(1.110 10 aS a所 以 .)11.1(1.110 10 万 台量 是年 内 该 家 电 厂 的 销 售 总答 ： 从 今 年 起 a ,128,66)1(3 121 nnn aaaaa 中 ，在 等 比 数 列、 qnsn 、求,126 12866128661 11121 n nn n aa aaaa aa解 ： 的 两 根是 方 程 012866, 21 xxaa n 264642 11 nn aaaa 或解 得 ：1, 1 qaa n 126,64,2 11 1 q qaann nsaa 则若 2,1261642 qq q 即即 6,2264, 111 nqaa nnn又 6,2,64 211 nqaa n 则 同 理 可 得若 2,6, 21 或综 上 所 述 qn ,14,n)2( nnn ssa 若项 和 为的 前设 等 比 数 列 nn ss 32 ,126 求 1262,14,1 121 nasnasq nn则解 ： 若 矛 盾 1q 1261 141 212 1 11 nqan nqan qs qs 891 nn qq两 式 相 比 得 ： 21 1 qa得 ：代 入 102281211 331313 11 nqaqan qqs