【教学设计】《解三角形的实际应用举例》(北师大)

解三角形的实际应用举例 教材分析本节主要是正弦定理、余弦定理的进一步应用，利用正弦定理、余弦定理解决高度、距离、角度以及三角形的综合应用。通过运用正弦定、 余弦定理解决工业、 农业等方面的实际问题， 使学生进一步体会数学在实际问题中的应用， 激发学生学习数学的兴趣， 培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。 教学目标【知识与能力目标】通过回顾正弦定理、余弦定理的表达式及文字语言的叙述，进一步熟悉正、 余弦定理的内容、 作用及所解三角形的类型，能够联系勾股定理、三角形面积定理及三角形内角和公式等有关三角形问题灵活地解三角形。【过程与方法目标】善于利用分类讨论的思想，先易后难、逐层推进的思想解决一些繁、难三角形问题，把对学生的思维训练贯穿整节课的始终。【情感态度价值观目标】通过本节课的探究，培养学生勇于探索、勇于创新、 善于分析以及具体问题具体分析的科学精神和良好的学习习惯，并对正弦定理、 余弦定理的反射美产生愉悦感，从而激发学生热爱数学，热爱科学的追求精神。 教学重难点【教学重点】灵活选用正弦定理、余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算。【教学难点】利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用。 课前准备电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 教学过程一、新课导入1、正弦定理：abc2Rsin Asin Bsin C2、余弦定理：a 2b2c 22bc cos A,cos Ab 2c2a22bcb 2c2a 22ca cos B,cos Bc2a 2b22cac 2a 2b 22ab cosC ，cosCa 2b2c 22ab二、研探新知，建构概念1. 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形， 把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。2. 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语：(1) 方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角。方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角(2) 仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角。( 如下图所示 )三、 质疑答辩，发展思维例 1如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长度（如图） 已知车厢的最大仰角为 60，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为 1.95 m，AB 与水平线之间的夹角为 60 20 / ，AC 长为 1.40 m，计算 BC 的长（保留三个有效数字）。分析 ：这个问题就是在ABC 中，已知 AB =1.95 m， AC =1.4 m,BAC606 2066 20求 BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可根据余弦定理求出 BC。C1.40m解：由余弦定理，得BC2AB2AC22 AB AC cos AA60 0D60 20 /1.9521.40221.95 1.40 cos66 201.95mB3.571BC1.89(m)答：顶杠 BC 长约为 1.89 m解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。2、要明确题目中一些名词、术语的意义。 如视角， 仰角， 俯角，方位角等等。3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。 来源 : Zx变式训练1：如图 , 一艘船以32 海里 / 时的速度向正北航行, 在 A 处看灯塔S 在船的北偏东 20 0 , 30 分钟后航行到B 处 , 在 B 处看灯塔S 在船的北偏东650 方向上 , 求灯 塔 S 和 B 处的距离。（保留到 0.1 ）S65 0 ?45 0B 115 0200A解： AB16由正弦定理知ABBSsin 45 0sin 200BS10 sin 2007.7海里sin 45 0答：灯塔 S 和 B 处的距离约为7.7 海里例 2. 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C， D 两处，测得烟囱的仰角分别是450 和60 0,、间的距离是 12m，已知测角仪器高1.5 m. 求烟囱的高。分析：因为 ABAA1A1B ，又 AA11.5m所以只要求出 A1 B 即可解：在 BC1 D1 中，BBD1C1 180060 01200，C1 BD160 0450150C 1D 1A 1AC1 D1BC1CD由正弦定理得：sin C1BD1sinBD1 C1BC1C1 D1 sinBD1C112sin 1200(18266)msinC1 BD1sin150从而：A B2BC1186 328.392m12因此： ABA1 BAA128.3921.5 29.89229.89m答：烟囱的高约为29.89m变式训练 2：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角600 ，在塔底 C 处测得点 A 的俯角45 0 ，已知铁塔 BC 部分高 32 米，求山高 CD 。解：在 ABC 中， ABC =30，B=60 0ACB =135 ，32C=45 0?DA CAB =180 ( ACB + ABC )=180 (135 +30 )=15 又 BC=32, 来源 : Com 由正弦定理BCACsin BAC sinABC得： ACBC sinABC32sin 30016sinBACsin15016( 62 )m624四、 课堂小结：1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求， 根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：画图形实际问题数学模型解三角形检验（答）实际问题的解数学模型的解五、作业布置：课本 59 页：练习1、 2 教学反思略。