2021年河北承德中考数学试题及答案

2021年河北承德中考数学试题及答案一、选择题（本大题有16个小题，共42分。110小题各3分，1116小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（）AaBbCcDd2不一定相等的一组是（）Aa+b与b+aB3a与a+a+aCa3与aaaD3（a+b）与3a+b3已知ab，则一定有4a4b，“”中应填的符号是（）ABCD4与结果相同的是（）A32+1B3+21C3+2+1D3215能与（）相加得0的是（）AB+C+D+6一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（）AA代BB代CC代DB代7如图1，ABCD中，ADAB，ABC为锐角要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）A甲、乙、丙都是B只有甲、乙才是C只有甲、丙才是D只有乙、丙才是8图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB（）A1cmB2cmC3cmD4cm9若取1.442，计算398的结果是（）A100B144.2C144.2D0.0144210如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，SAFO8，SCDO2，则S正六边边ABCDEF的值是（）A20B30C40D随点O位置而变化11（2分）如图，将数轴上6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（）Aa30B|a1|a4|Ca1+a2+a3+a4+a50Da2+a5012（2分）如图，直线l，m相交于点OP为这两直线外一点，且OP2.8若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A0B5C6D713（2分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和已知：如图，ACD是ABC的外角求证：ACDA+B证法1：如图，A+B+ACB180（三角形内角和定理），又ACD+ACB180（平角定义），ACD+ACBA+B+ACB（等量代换）ACDA+B（等式性质）证法2：如图，A76，B59，且ACD135（量角器测量所得）又13576+59（计算所得）ACDA+B（等量代换）下列说法正确的是（）A证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B证法1用严谨的推理证明了该定理C证法2用特殊到一般法证明了该定理D证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理14（2分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）条形图不小心被撕了一块，图2中“（）”应填的颜色是（）A蓝B粉C黄D红15（2分）由（）值的正负可以比较A与的大小，下列正确的是（）A当c2时，AB当c0时，AC当c2时，AD当c0时，A16（2分）如图，等腰AOB中，顶角AOB40，用尺规按到的步骤操作：以O为圆心，OA为半径画圆；在O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；作AB的垂直平分线与O交于M，N；作AP的垂直平分线与O交于E，F结论：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论：O上只有唯一的点P，使得S扇形FOMS扇形AOB对于结论和，下列判断正确的是（）A和都对B和都不对C不对对D对不对二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分）17（4分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块18（4分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且A，B，E保持不变为了舒适，需调整D的大小，使EFD110，则图中D应 （填“增加”或“减少”） 度19（4分）用绘图软件绘制双曲线m：y与动直线l：ya，且交于一点，图1为a8时的视窗情形（1）当a15时，l与m的交点坐标为 ；（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由15x15及10y10变成了30x30及20y20（如图2）当a1.2和a1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k 三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20（8分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元（1）用含m，n的代数式表示Q；（2）若共购进5104本甲种书及3103本乙种书，用科学记数法表示Q的值21（9分）已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101x2x请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个22（9分）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大23（9分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方2号机从原点O处沿45仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少注：（1）及（2）中不必写s的取值范围24（9分）如图，O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为112的整数），过点A7作O的切线交A1A11延长线于点P（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7的值25（10分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO2，在ON上方有五个台阶T1T5（各拐角均为90），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK10从点A处向右上方沿抛物线L：yx2+4x+12发出一个带光的点P（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE1，从点E向上作EBx轴，且BE2在BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？注：（2）中不必写x的取值范围26（12分）在一平面内，线段AB20，线段BCCDDA10，将这四条线段顺次首尾相接把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角（0）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置论证：如图1，当ADBC时，设AB与CD交于点O，求证：AO10；发现：当旋转角60时，ADC的度数可能是多少？尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；拓展：如图2，设点D与B的距离为d，若BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值参考答案一、选择题（本大题有16个小题，共42分。110小题各3分，1116小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（）AaBbCcDd【参考答案】解：利用直尺画出图形如下：可以看出线段a与m在一条直线上故答案为：a故选：A2不一定相等的一组是（）Aa+b与b+aB3a与a+a+aCa3与aaaD3（a+b）与3a+b【参考答案】解：A：因为a+bb+a，所以A选项一定相等；B：因为a+a+a3a，所以B选项一定相等；C：因为aaaa3，所以C选项一定相等；D：因为3（a+b）3a+3b，所以3（a+b）与3a+b不一定相等故选：D3已知ab，则一定有4a4b，“”中应填的符号是（）ABCD【参考答案】解：根据不等式的性质，不等式两边同时乘以负数，不等号的方向改变ab，4a4b故选：B4与结果相同的是（）A32+1B3+21C3+2+1D321【参考答案】解：2，32+12，故A符合题意；3+214，故B不符合题意；3+2+16，故C不符合题意；3210，故D不符合题意故选：A5能与（）相加得0的是（）AB+C+D+【参考答案】解：（）+，与其相加得0的是+的相反数+的相反数为+，故选：C6一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（）AA代BB代CC代DB代【参考答案】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面，骰子相对两面的点数之和为7，A代表的点数是6，B代表的点数是5，C代表的点数是4故选：A7如图1，ABCD中，ADAB，ABC为锐角要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）A甲、乙、丙都是B只有甲、乙才是C只有甲、丙才是D只有乙、丙才是【参考答案】解：方案甲中，连接AC，如图所示：四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，OBOD，OAOC，BNNO，OMMD，NOOM，四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；方案乙中：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，ABNCDM，ANB，CMBD，ANCM，ANBCMD，在ABN和CDM中，ABNCDM（AAS），ANCM，又ANCM，四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙中：四边形ABCD是平行四边形，BADBCD，ABCD，ABCD，ABNCDM，AN平分BAD，CM平分BCD，BANDCM，在ABN和CDM中，ABNCDM（ASA），ANCM，ANBCMD，ANMCMN，ANCM，四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；故选：A8图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB（）A1cmB2cmC3cmD4cm【参考答案】解：如图：过O作OMCD，垂足为M，过O作ONAB，垂足为N，CDAB，CDOABO，即相似比为，OM1578，ON1174，AB3，故选：C9若取1.442，计算398的结果是（）A100B144.2C144.2D0.01442【参考答案】解：取1.442，原式（1398）1.442（100）144.2故选：B10如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，SAFO8，SCDO2，则S正六边边ABCDEF的值是（）A20B30C40D随点O位置而变化【参考答案】解：设正六边形ABCDEF的边长为x，过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC，FED120，FEED，EFDFDE，EDF（180FED）30，正六边形ABCDEF的每个角为120CDF120EDF90同理AFDFACACD90，四边形AFDC为矩形，SAFOFOAF，SCDOODCD，在正六边形ABCDEF中，AFCD，SAFO+SCDOFOAF+ODCD（FO+OD）AFFDAF10，FDAF20，DMcos30DEx，DF2DMx，EMsin30DE，S正六边形ABCDEFS矩形AFDC+SEFD+SABCAFFD+2SEFDxx+2xxx2+x220+1030，故选：B11（2分）如图，将数轴上6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（）Aa30B|a1|a4|Ca1+a2+a3+a4+a50Da2+a50【参考答案】解：6与6两点间的线段的长度6（6）12，六等分后每个等分的线段的长度1262，a1，a2，a3，a4，a5表示的数为：4，2，0，2，4，A选项，a36+230，故该选项错误；B选项，|4|2，故该选项错误；C选项，4+（2）+0+2+40，故该选项正确；D选项，2+420，故该选项错误；故选：C12（2分）如图，直线l，m相交于点OP为这两直线外一点，且OP2.8若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A0B5C6D7【参考答案】解：连接OP1，OP2，P1P2，点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，OP1OP2.8，OPOP22.8，OP1+OP2P1P2，P1P25.6，故选：B13（2分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和已知：如图，ACD是ABC的外角求证：ACDA+B证法1：如图，A+B+ACB180（三角形内角和定理），又ACD+ACB180（平角定义），ACD+ACBA+B+ACB（等量代换）ACDA+B（等式性质）证法2：如图，A76，B59，且ACD135（量角器测量所得）又13576+59（计算所得）ACDA+B（等量代换）下列说法正确的是（）A证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B证法1用严谨的推理证明了该定理C证法2用特殊到一般法证明了该定理D证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【参考答案】解：证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，A的说法不正确，不符合题意；证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，B的说法正确，符合题意；定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，C的说法不正确，不符合题意；定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次解答数的多少无关，D的说法不正确，不符合题意；综上，B的说法正确故选：B14（2分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）条形图不小心被撕了一块，图2中“（）”应填的颜色是（）A蓝B粉C黄D红【参考答案】解：根据题意得：510%50（人），1650%32%，则喜欢红色的人数是：5028%14（人），501651415（人），柱的高度从高到低排列，图2中“（）”应填的颜色是红色故选：D15（2分）由（）值的正负可以比较A与的大小，下列正确的是（）A当c2时，AB当c0时，AC当c2时，AD当c0时，A【参考答案】解：A选项，当c2时，A，故该选项不符合题意；B选项，当c0时，A，故该选项不符合题意；C选项，c2，2+c0，c0，2（2+c）0，0，A，故该选项符合题意；D选项，当c0时，2（2+c）的正负无法确定，A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意；故选：C16（2分）如图，等腰AOB中，顶角AOB40，用尺规按到的步骤操作：以O为圆心，OA为半径画圆；在O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；作AB的垂直平分线与O交于M，N；作AP的垂直平分线与O交于E，F结论：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论：O上只有唯一的点P，使得S扇形FOMS扇形AOB对于结论和，下列判断正确的是（）A和都对B和都不对C不对对D对不对【参考答案】解：如图，连接EM，EN，MFNFOMON，OEOF，四边形MENF是平行四边形，EFMN，四边形MENF是矩形，故（）正确，观察图象可知MOFAOB，S扇形FOMS扇形AOB，故（）错误，故选：D二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分）17（4分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 a2+b2；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 4块【参考答案】解：（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，故答案为：a2+b2；（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，a2+4b2+xab是一个完全平方式，x为4，故答案为：418（4分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且A，B，E保持不变为了舒适，需调整D的大小，使EFD110，则图中D应 减小（填“增加”或“减少”） 10度【参考答案】解：延长EF，交CD于点G，如图：ACB180506070，ECDACB70DGFDCE+E，DGF70+30100EFD110，EFDDGF+D，D10而图中D20，D应减小10故答案为：减小，1019（4分）用绘图软件绘制双曲线m：y与动直线l：ya，且交于一点，图1为a8时的视窗情形（1）当a15时，l与m的交点坐标为 （4，15）；（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由15x15及10y10变成了30x30及20y20（如图2）当a1.2和a1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k4【参考答案】解：（1）a15时，y15，由得：，故答案为：（4，15）；（2）由得，A（50，1.2），由得，B（40，1.5），为能看到m在A（50，1.2）和B（40，1.5）之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，整数k4故答案为：4三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20（8分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元（1）用含m，n的代数式表示Q；（2）若共购进5104本甲种书及3103本乙种书，用科学记数法表示Q的值【参考答案】（1）由题意可得：Q4m+10n；（2）将m5104，n3103代入（1）式得：Q45104+1031032.310521（9分）已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101x2x请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个【参考答案】解：（1）嘉嘉所列方程为101x2x，解得：x33，又x为整数，x33不合题意，淇淇的说法不正确（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101x）个，依题意得：101xx28，解得：x36，又x为整数，x可取的最大值为36答：A品牌球最多有36个22（9分）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大【参考答案】解：（1）嘉淇走到十字道口A向北走的概率为；（2）补全树状图如下：共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，向西参观的概率为，向南参观的概率向北参观的概率向东参观的概率，向西参观的概率大23（9分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方2号机从原点O处沿45仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少注：（1）及（2）中不必写s的取值范围【参考答案】解：（1）2号飞机爬升角度为45，OA上的点的横纵坐标相同A（4，4）设OA的解析式为：hks，4k4k1OA的解析式为：hs2号试飞机一直保持在1号机的正下方，它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同2号机的爬升到A处时水平方向上移动了4km，爬升高度为4km，又1号机的飞行速度为3km/min，2号机的爬升速度为：43km/min（2）设BC的解析式为hms+n，由题意：B（7，4），解得：BC的解析式为h令h0，则s19预计2号机着陆点的坐标为（19，0）（3）PQ不超过3km，5h3，解得：2s13两机距离PQ不超过3km的时长为：（132）3min24（9分）如图，O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为112的整数），过点A7作O的切线交A1A11延长线于点P（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7的值【参考答案】解：（1）由题意，A7OA11120，的长412，比直径长（2）结论：PA1A7A11理由：连接A1A7A1A7是O的直径，A7A11A190，PA1A7A11（3）PA7是O的切线，PA7A1A7，PA7A190，PA1A760，A1A712，PA7A1A7tan601225（10分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO2，在ON上方有五个台阶T1T5（各拐角均为90），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK10从点A处向右上方沿抛物线L：yx2+4x+12发出一个带光的点P（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE1，从点E向上作EBx轴，且BE2在BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？注：（2）中不必写x的取值范围【参考答案】解：（1）图形如图所示，由题意台级T4左边的端点坐标（4.5，7），右边的端点（6，7），对于抛物线yx2+4x+12，令y0，x24x120，解得x2或6，A（2，0），点A的横坐标为2，当x4.5时，y9.757，当x6时，y07，当y7时，7x2+4x+12，解得x1或5，抛物线与台级T4有交点，设交点为R（5，7），点P会落在哪个台阶T4上（2）由题意抛物线C：yx2+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，解得或（舍弃），抛物线C的解析式为yx2+14x38，对称轴x7，台阶T5的左边的端点（6，6），右边的端点为（7.5，6），抛物线C的对称轴与台阶T5有交点（3）对于抛物线C：yx2+14x38，令y0，得到x214x+380，解得x7，抛物线C交x轴的正半轴于（7+，0），当y2时，2x2+14x38，解得x4或40，抛物线经过（10，2），RtBDE中，DEB90，DE1，BE2，当点D与（7+，0）重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为8+，当点B与（10，2）重合时，点B的横坐标最小，最小值为10，点B横坐标的最大值比最小值大126（12分）在一平面内，线段AB20，线段BCCDDA10，将这四条线段顺次首尾相接把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角（0）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置论证：如图1，当ADBC时，设AB与CD交于点O，求证：AO10；发现：当旋转角60时，ADC的度数可能是多少？尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；拓展：如图2，设点D与B的距离为d，若BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值【参考答案】论证：证明：ADBC，AB，CD，在AOD和BOC中，AODBOC（ASA），AOBO，AO+BOAB20，AO10；发现：设AB的中点为O，如图：当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60时，BC也从初始位置BC绕点B顺时针旋转60，而BOBC10，BCO是等边三角形，BC旋转到BO的位置，即C以O重合，AOADCD10，ADC是等边三角形，ADC60；尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQAB于Q，过M作MNAB于N，如图：由已知可得AD10，BDBC+CD20，BMCM+BC15，设AQx，则BQ20x，AD2AQ2DQ2BD2BQ2，100x2400（20x）2，解得x，AQ，DQ，DQAB，MNAB，MNDQ，即，MN，点M到AB的距离为；拓展：设直线CP交DB于H，过G作DGAB于G，连接DP，如图：BCDC10，CP平分BCD，BHCDHC90，BHBDd，设BGm，则AG20m，AD2AG2BD2BG2，100（20m）2d2m2，m，BG，BHPBGD90，PBHDBG，BHPBGD，BP；过B作BGCD于G，如图：设ANt，则BN20t，DN，DBGN90，ANDBNG，ADNBGN，即，NG，BG，RtBCG中，BC10，CG，CD10，DN+NG+CG10，即+10，t+（20t）+2010t，20+2010t，即2t2，两边平方，整理得：3t240t4t，t0，3t404，解得t（大于20，舍去）或t，AN，cos方法二：过C作CKAB于K，过F作FHAC于H，如图：ADCD10，ADDC，AC2200，AC2AK2BC2BK2，200AK2100（20AK）2，解得AK，CK，RtACK中，tanKAC，RtAFH中，tanKAC，设FHn，则CHFHn，AH5n，ACAH+CH10，5n+n10，解得n，AFn，RtADF中，cos