高中数学第十三章《排列组合与概率》数学竞赛讲义苏教版

第十三章排列组合与概率一、基 知 1加法原理：做一件事有 n 法，在第1 法中有 m1 种不同的方法，在第2 法中有m 种不同的方法， ，在第 n 法中有m 种不同的方法， 那么完成 件事一共有N=m+m+2n12+m 种不同的方法。n2乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步 ，第 1 步有 m 种不同的方法，第 2 步有 m12种不同的方法，第n 步有 mn 种不同的方法，那么完成 件事共有N=m1 m2 mn 种不同的方法。3排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m n) 个元素，按照一定 序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m个 (m n) 元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用Anm 表示， Anm =n(n-1) n!,其中 m,nN,m n,(n-m+1)=(nm)!注：一般地An0 =1， 0！ =1， Ann =n! 。4 N 个不同元素的 周排列数 Ann=(n-1)!。n5 合与 合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m n) 个元素并成一 ，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个 合，即从n 个不同元素中不 序地取出m个构成原集合的一个子集。 从 n 个不同元素中取出m(m n) 个元素的所有 合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的 合数，用C nm 表示：C nmn(n 1)(n m1)n!.m!m! (nm)!6 合数的基本性 ： （ 1） C nmCnn m ；（ 2） C nm1C nmC nn 1；（ 3） n Cnk11Cnk ；（ 4）knC n0C n1C nnC nk2 n ；（ 5）CkkC kk 1C kkm C kkm11 ；（ 6）C nk C kmC nnmk 。k 07定理 1：不定方程 x1+x2+xn=r 的正整数解的个数 C rn11 。 明 将 r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合 A，不定方程 x1+x 2+ +xn=r的正整数解构成的集合 B， A 的每个装法 B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法 的解也不同，因此 射。反之B 中每一个解 (x 1,x 2, ,x n), 将 xi作 第 i个盒子中球的个数， i=1,2, ,n ，便得到 A 的一个装法，因此 射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中 n-1个，将球分n 份，共有 C rn11 种。故定理得 。用心爱心专心- 1 -推 1不定方程 x1+x2+ +xn=r 的非 整数解的个数 C nrr 1.推 2从 n 个不同元素中任取m个允 元素重复出 的 合叫做n 个不同元素的 m可重 合，其 合数 C nm m 1 .8二 式定理： 若 n N , 则(a+b)n0n1n 1b2n 2b2rn rbrnn.=C n aC n aC n aC n aC n b+其中第 r+1 项 Tr+1= C nr an r b r ,C nr 叫二 式系数。9随机事件：在一定条件下可能 生也可能不 生的事件叫随机事件。在大量重复 行同一 ，事件A 生的 率 m 是接近于某个常数，在它附近 ， 个常数叫做事件A 发n生的概率， 作p(A),0p(A) 1.10. 等可能事件的概率，如果一次 中共有n 种等可能出 的 果，其中事件A 包含的 果有 m种，那么事件 A 的概率 p(A)=m.nA ，11. 互斥事件：不可能同 生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件1A ， A 彼此互斥，那么 A ，A ， A 中至少有一个 生的概率 2n12np(A 1+A2+ +An)= p(A1)+p(A 2)+ +p(An).12 立事件：事件A， B 互斥事件，且必有一个 生， A， B 叫 立事件， A 的 立事件 A。由定 知 p(A)+p(A )=1.13相互独立事件：事件A（或 B）是否 生 事件 B（或 A） 生的概率没有影响， 的两个事件叫做相互独立事件。14相互独立事件同 生的概率：两个相互独立事件同 生的概率，等于每个事件 生的概率的 。即p(A?B)=p(A) ?p(B). 若事件 A1，A2， An 相互独立 , 那么 n 个事件同 生的概率 p(A ?A ? ?A )=p(A) ?p(A) ? ?p(A).12n12n15. 独立重复 : 若 n次重复 中 , 每次 果的概率都不依 于其他各次 的 果, 称 n 次 是独立的 .16. 独立重复 的概率: 如果在一次 中, 某事件 生的概率 p, 那么在 n 次独立重复 中 , 个事件恰好 生 k 次的概率 pn(k)= C nk ?pk(1-p) n-k .17离散型随机 量的分布列：如果随机 的 果可以用一个 量来表示，那么 的 量叫随机 量， 例如一次射 命中的 数 就是一个随机 量， 可以取的 有0,1,2, ,10 。如果随机 量的可能取 可以一一列出， 的随机 量叫离散型随机 量。一般地， 离散型随机 量 可能取的 x1,x 2, ,x i , , 取每一个 xi (i=1,2, ) 的概率 p( =x i )=p i ， 称表x1x2x3xipp1p2p3pi 随机 量 的概率分布， 称 的分布列， 称 E =x1p1 +x2p2+ +xnpn+ 的数学期望或平均 、均 、 称期望， 称 D =(x 1-E )2 ?p1+(x 2-E )2 ?p2+ +(x n-E )2p n+ 的均方差， 称方差。D叫随机 量 的 准差。18二 分布：如果在一次 中某事件 生的概率是p，那么在 n 次独立重复 中， 个用心爱心专心- 2 -事件恰好 生k 次的概率 p( =k)= Cnk p k qn k , 的分布列 01xiNpC n0 p 0q nC 1n p1q n 1Cnk p k qn kC nn pn此 称 服从二 分布， 作 B(n,p). 若 B(n,p) ， E=np,D =npq, 以上 q=1-p.19. 几何分布： 在独立重复 中， 某事件第一次 生 所做 的次数 也是一个随机 量，若在一次 中 事件 生的概率 p， p( =k)=q k-1 p(k=1,2, ) ， 的分布服从几何分布，E = 1 ，D =q (q=1-p).pp2二、方法与例 1乘法原理。例 1有 2n 个人参加收 培 ，每两个人 一 互 互收，有多少种不同的 方式？2加法原理。例 2图 13-1 所示中没有 流通 流表，其原因 因 阻断路的可能性共有几种？3插空法。例 3 10 个 目中有 6 个演唱 4 个舞蹈，要求每两个舞蹈之 至少安排一个演唱，有多少种不同的安排 目演出 序的方式？4映射法。例 4如果从1， 2， 14 中，按从小到大的 序取出a1,a 2,a 3 使同 足：a2-a 1 3,a 3-a 2 3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？5 献法。例 5已知集合 A=1 ， 2，3， 10 ，求 A 的所有非空子集的元素个数之和。用心爱心专心- 3 -6容斥原理。例 6由数字 1，2，3 成 n 位数 (n 3) ，且在 n 位数中， 1，2，3 每一个至少出 1 次， ： 的 n 位数有多少个？7 推方法。例 7用 1， 2，3 三个数字来构造n 位数，但不允 有两个 挨着的1 出 在 n 位数中， ：能构造出多少个 的n 位数？8算两次。例 8 m,n,rr0 r1 r 12 r 2r0 N ， 明： C n mCn CmCnCmCn CmCn Cm. +9母函数。例 9一副三色牌共有32 ， 、黄、 各10 ， 号 1，2， 10，另有大、小王各一 ， 号均 0。从 副牌中任取若干 牌，按如下 算分 ：每 号 k 的牌 2k 分，若它 的分 之和 2004， 称 些牌 一个“好牌” ，求好牌 的个数。10 合数 C nk 的性 。k例 10 明： C2m 1 是奇数 (k 1).例 11对 n 2, 明： 2 nC 2nn4n.11二 式定理的 用。若 n N, n 2，求 ： 21 1n例 123.n用心爱心专心- 4 -nC nm kh C khC nm11 (h m n).例 13证明：k012概率问题的解法。例 14 如果某批产品中有 a 件次品和 b 件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取 n 件产品，问：恰好有 k 件是次品的概率是多少？例 15将一枚硬币掷5 次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。例 16甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6 ，乙胜的概率为 0.4 ，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？例 17有 A， B 两个口袋， A 袋中有 6 张卡片，其中1 张写有 0，2 张写有 1， 3 张写有 2；B袋中有 7 张卡片，其中4 张写有 0，1 张写有 1， 2 张写有 2。从 A 袋中取出1 张卡片， B 袋中取 2 张卡片，共 3 张卡片。求：（ 1）取出 3 张卡片都写 0 的概率；（ 2）取出的 3 张卡片数字之积是 4 的概率；（ 3）取出的 3 张卡片数字之积的数学期望。用心爱心专心- 5 -三、基 1三 均 整数且最大 11 的三角形有 _个。2在正 2006 形中，当所有 均不平行的 角 的条数 _。3用 1， 2， 3， 9 九个数字可 成_ 个数字不重复且8 和 9 不相 的七位数。4 10 个人参加 球 ，分五 ，每 两个人有_种分 方法。5以 方体的 点 点的三棱 的个数是_。6今天是星期二，再 101000 天是星期 _。7由 ( 3x32)100 展开式所得的x 的多 式中，系数 有理数的共有_ 。8如果凸 n 形 (n 4) 的任意三条 角 不共点，那么 些 角 在凸n 形内共有_个交点。9袋中有 a 个黑球与 b 个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第 k(1 ka+b) 次取到黑球的概率 _。10一个箱子里有9 卡片，分 号 1， 2， 9，从中任取 2 ，其中至少有一个 奇数的概率是 _ 。11某人拿着5 把 匙去开 ，有2 把能打开。他逐个 ， 三次之内打开房 的概率是_。12 路上有 号 1， 2， 3， 10的十 路灯，要将其中三 关掉，但不能同 关掉相 的两 或三 ，也不能关掉两端的路灯， 足条件的关灯方法种数是_。13 a,b,c,d,e五个人安排在一个 桌周 就坐，若a,b不相 有 _种安排方式。14已知 i,m,n是正整数，且1(1+n) m.mn15. 一 “ 关游 ” 定：在第n 关要抛 一 骰子n 次，如果 n 次抛 所得到的点数之和大于 2n， 算 关。 ： （ 1）某人在 游 中最多能 几关？（2）他 前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分 有1， 2， 3，4， 5， 6 点数的均匀正方体）四、高考水平 1若 n 1,2,100且 n 是其各位数字和的倍数， 种n 有_ 个。2从 -3,-2,-1,0,1,2,3,4中任取 3 个不同元素作 二次函数y=ax 2+bx+c 的系数， 能 成 原点，且 点在第一或第三象限的抛物 有_条。3四面体的 点和各棱的中点共10 个点，在其中任取 4 个不共面的点， 有 _种取法。4三个人 球， 从甲开始 球， 每次接球后将球 另外两人中的任意一个，经 5 次 球后，球仍回到甲手中的 法有_种。5一条 路原有m 个 站（含起点， 点），新增加n 个 站（ n1），客运 票相 地增加了 58 种，原有 站有 _个。n6将二 式1的展开式按降 排列，若前三 系数成等差数列， 展开式中 xx24x的 指数是整数的 有_个。7从 1 到 9 九个自然数中任取两个分 作 数的真数和底数，共可得到_种不同的 数 。用心爱心专心- 6 -8二 式 (x-2) 5 的展开式中系数最大的 第_ ，系数最小的 第 _ 。9有一批 格相同的均匀 棒，每根被划分成 度相同的5 ，每 用 、黄、 三色之一涂色，可以有 _种 色不同的 棒？（ 倒后相同的算同一种）10在 1， 2， 2006 中随机 取3 个数，能构成 增等差数列的概率是_。11投 一次骰子，出 点数 1， 2，3， 6 的概率均 1 ， 6 次，出 的点数之和6为 35 的概率 _。12某列火 有 n 旅客 ， 站后站台上有m(m n) 名旅客候 ，每位旅客随意 上 ， 每 都有旅客上 的概率是_ 。13某地 有耕地 10000 公 ， 划10 年后粮食 比 在增加22%，人均粮食占有量比 在提高 10%，如果人口年增 率 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公 （精确到1总产量）公 ）？（粮食 =耕地面积五、 一 水平 1若 0abcd500，有 _个有序的四元数 （ a,b,c,d） 足 a+d=b+c 且 bc-ad=93.2. 已知直 ax+by+c=0 中的 a,b,c是取自集合 -3,-2,-1,0,1,2,3中的 3 个不同的元素，并且 直 斜角 角， 的直 条数是_。3已知 A=0 ，1，2，3，4，5，6，7 ，映射 f:A A 足：（ 1）若 i j ， f(i) f(j)；（ 2）若 i+j=7 ， f(i)+f(j)=7， 的映射的个数 _ 。41，2，3，4，5 的排列 a1,a 2,a3,a 4 ,a 5 具有性 ： 于1 i 4,a 1,a 2, ,a i 不构成 1，2，i 的某个排列， 种排列的个数是_。5骰子的六个面 有1，2， 6 六个数字，相 两个面上的数字之差的 叫 差， 差的 和叫全 差V， 全 差 V 的最大 _，最小 _ 。6某次 球 打比 中，原 划每两名 手恰比 一 ，但有3 名 手各比 2 之后就退出了， ，全部比 只 行50 ，上述三名 手之 比 数 _。7如果 a,b,c,d都属于 1,2,3,4且 a b,b c,c d, d a；且 a 是 a,b,c,d中的最小 ， 不同的四位数abcd 的个数 _ 。8如果自然数 a 各位数字之和等于7，那么称 a “吉祥数” ，将所有的吉祥数从小到大排成一列 a1,a 2,a 3, , 若 an =2005， an=_。2 n 11) k1 n k =_。9求 ：(k1C 2kn10投 一次骰子，出 点数1， 2， 6 的概率均 1 ， 10 次，出 的点数之和是630 的概率 _。11将 号 1， 2， 9 九个小球随机放置在 周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球， 周 上所有相 两球的号 之差的 之和 S，求 S 达到最小 的放法的概率（注：如果某种放法 旋 或 面反射后可与另一放法重合， 是相同的放法）。12甲、乙两人 流向同一目 射 ，第一次甲射 ，以后 流射 ，甲每次 中的概率 p(0p1) ，乙每次 中的概率 q(0q1) ，求甲、乙首先 中的概率各是多少？13 m,nN,0m n，求 ：2n mm2n m 1m20mm 1n 2m 1C mC m 1C nC n 1Cn 1 + C n 1 .用心爱心专心- 7 -六、 二 水平 1 100 卡片上分 写有数字1 到 100，一位魔 把 100 卡片放入 色分 是 色、白色、 色的三个盒子里，每个盒子里至少放入一 卡片。一位 众从三个盒子中挑出两个，并从中各 取一 卡片，然后宣布 两 卡片上的两个数的和数，魔 知道 个和数之后，便能 指出哪一个是没有被 众取出卡片的盒子。 ：共有多少种放卡片的方法，使得 个魔 能 成功？（如果至少有一 卡片被放入不同 色的盒子，两种方法被 是不同的）2 S=1,2, ,10 ，A ，A ，A 是 S 的 k 个子集合， 足：（1）|A|=5,i=1,2, ,k; （ 2）12ki|A i Aj | 2,1 ij k，求 k 的最大 。3求从集合 1,2, ,n 中任取 足下列条件的k 个数 j ,j, ,jk 的 合数；（ 1）1 j j12121 固定的正整数； （ 3）存在 h0,1 h0 k-1 ，使得 jh1jhm+1.004. 设 n2S12 S22 Sm , 其中 S1， S2， Sm 都是正整数且S1S2 Sm，求 合数C n1 , C n1 , C nn 中奇数的个数等于m2 。5 n(n1) 个不同的数随机排成 13-2 所示的三角形 ， Mk 是从上往下第 k 行中的最大2数，求 MM M 的概率。12nn r16 明：kC nrk1C nr11 .k 1用心爱心专心- 8 -