中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

数学专题之【二次函数压轴题】精品解析中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析 1. （2011年湖北省武汉市，25，12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 分析：抛物线的解析式的求法及抛物线的平移。答案：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3,0），B（-1,0）两点9a-3b+30 且a-b+30解得a1b4抛物线的解析式为y=x2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)2-1抛物线的顶点M（-2，,1）直线OD的解析式为y=x于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h， h），平移的抛物线解析式为y=（x-h）2+h.当抛物线经过点C时，C（0，9），h2+h=9，解得h=.当h时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点.（2）当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组y=（x-h）2+h,y=-2x+9.得x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，解得h=4.此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意.综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或h.（3）方法1将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，设EF的解析式为y=kx+3（k0）.假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GHx轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H.PEF的内心在y轴上，GEP=EPQ=QPF=HFP，GEPHFP，.9分GP/PH=GE/HF,-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t)2kxExF=（t-3）（xE+xF）由y=x2，y=-kx+3.得x2-kx-3=0.xE+xF=k,xExF=-3.2k（-3）=（t-3）k,k0,t=-3.y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使PEF的内心在y轴上.方法2设EF的解析式为y=kx+3（k0）,点E，F的坐标分别为（m,m2）（n,n2）由方法1知：mn=-3.作点E关于y轴的对称点R（-m,m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知EPQ=FPQ，点P就是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn.当x=0，y=mn=-3,P（0，-3）.y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使PEF的内心在y轴上.点评：二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题2（如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（-4，4），将点B绕点A顺时针方向90得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，PAC的周长有最小值，并求出PAC的周长的最小值【解题思路】（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把B（-4，4）代入即可得到a的值；过点B作BEy轴于E，过点C作CDy轴于D，易证RtBAERtACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C点坐标（3，5）；（2）设P点坐标为（a，b），过P作PFy轴于F，PHx轴于H，则有d1= a2，又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，在RtPAF中，利用勾股定理得到PA=d2= a2+1，即有结论d2=d1+1；（3）PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，得到PAC的周长的最小值=5+6=11【答案】（1）设抛物线的解析式：y=ax2，拋物线经过点B（-4，4），4=a42，解得a=，所以抛物线的解析式为：y= x2； 过点B作BEy轴于E，过点C作CDy轴于D，如图，点B绕点A顺时针方向90得到点C，RtBAERtACD，AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，OD=AD+OA=5，C点坐标为（3，5）；（2）设P点坐标为（a，b），过P作PFy轴于F，PHx轴于H，如图，点P在抛物线y= x2上，b= a2，d1= a2， AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，在RtPAF中，PA=d2= = a2+1，d2=d1+1； （3）由（1）得AC=5， PAC的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，则C、P、H三点共线时，PC+PH最小， 此时P点的横坐标为3，把x=3代入y= x2，得到y=，即P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，PAC的周长的最小值=5+6=11【点评】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短本题第（3）小题的关键是将PAC的周长转化为PC与PH和的关系，从而求出三角形周长的最小值难度较大1yxO（第28题）123424331234412本题第（3）小题与2010年南通市28题的第（3）小题非常类似，如下题，供参考。（2010江苏南通，28，14分）已知抛物线yax2bxc经过A（4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等经过点C（0，2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为A，判断直线l与A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为1，P（m，n）是抛物线yax2bxc上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积3已知抛物线：yx22x+m1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B(1)求m的值；(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图，请在抛物线C上求点P，使得EFP是以EF为直角边的直角三角形 【解题思路】(1)由抛物线与x轴只有一个交点，则b24ac0，得出关于m的方程，求出m的值(2)求出点A、B的坐标，得出OAOB，再根据ACx轴，得出BAC45，根据点C和点A是关于抛物线对称轴的对称点，得出ABBC，则ABC为等腰直角三角形或分别计算出AB、AC、BC的长度，由勾股定理的逆定理确定为等腰直角三角形(3)由平移规律，得出抛物线C的解析式，得出点E、F的坐标；待定系数法求出直线EF的解析式，根据互相垂直的两条直线的系数之间的关系，设出过点E、F的EF的垂线的解析式；分别解两条垂线与抛物线解析式构成的方程组，得出点P的坐标【解】（1）抛物线与x轴只有一个交点，b24ac2241(m1)0，解得m2（2）方法一：m2，抛物线的解析式为yx2x+1把x0代入yx2x+1，得y1，点A的坐标为（0，1）把y0代入yx2x+1，得x1，点B的坐标为（1，0）AOB是等腰直角三角形又ACOB，BACOAB45A，C是对称点，ABBC，ABC是等腰直角三角形方法二：m2，抛物线的解析式为yx2x+1把x0代入yx2x+1，得y1，点A的坐标为（0，1）把y0代入yx2x+1，得x1，点B的坐标为（1，0）ACx轴，点C的纵坐标为1把y1代入yx2x+1，得x10，x22点C的坐标为(2，1)AC2，AB，BCABBC又AB2+BC2+2+24AC2，ABC是等腰直角三角形（3）平移后解析式为yx22x3，可知F(0，3)把y0代入yx22x3，得x11，x23又点E在x轴得左半轴上，E(1，0)设直线EF的解析式为ykx3，把E(1，0)代入ykx3，得k3，EF的解析式为：y3x3平面内互相垂直的两条直线的系数k值相乘等于1，过E点或F点的直线为y+b把E点和F点分别代入可得b或3，或y3解方程解得x11，x2x1是E点横坐标，舍去把x2代入，得y，P1（，）同理，解方程解得x10(舍去)，x2把x2代入，得y，P2(，)【点评】本题主要考查了二次函数及其运用，b24ac0二次函数yax2+bx+c与x轴只有一个交点；对称轴是关于直线对称的两个点的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两个端点到距离相等；把抛物线上下平移，就是纵坐标进行加减运算，即“上加下减”；平面上互相垂直的两条直线的比例系数的乘积等于1 4 如图，抛物线yx2mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C（0，-1）且对称轴是x=1.（1）求抛物线解析式及A，B两点的坐标；（2）在x轴下方抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积是3？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由（使用图1）；（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）.xx=1ABCyO图2xx=1ABCyO图1【思路分析】（1）根据对称轴公式可求解m,代入C点坐标可求解n；（2）将四边形分割成三角形AOC、OCD、OBD，三角形AOC面积可求，三角形OCD、OBD，的底已知，高分别为点D的横坐标和纵坐标的相反数，根据三个三角形面积和是3列方程求解；（3）通过画图可观察以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形时，点Q只能在y轴正半轴上，且PQ=AB=4 , PQ AB ,即已知点P横坐标，代入抛物线解析式可求纵坐标【答案】解：（1）x=1,m=，yx2x+n.把C（0，-1）代入得n= -1,求抛物线解析式是yx2x-1；令0x2x-1，得x=3或-1，A，B两点的坐标分别是（-1,0）（3,0）；（2）存在.设D的坐标是（x，y），则yx2x-1，连接AC、CD、OD、BD.SAOC+ SOCD+ SOBD=3，11+1x+3(-y)=3,+x+3(x2+x+1)=3,解得x=2或1，所以y=-1或-，D的坐标是（2，-1）、（1, -）.（3）（3）1当AB为边时：设PQ =AB=4 , PQ AB ,则P点的横坐标是4或-4，把x=4代入yx2x-1得y=;把x= -4代入yx2-x-1得y=7，即当P的坐标是（4，）或（-4，7）时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.2当AB为对角线时，则AB与PQ互相平分，线段AB中点是G，PQ过G与y轴交于Q点，过点P作x轴垂线交x轴于H，则PHGQOC，所以OG=GH，又因为点G的横坐标是1，所以点P的横坐标是2，把x=2代入yx2-x-1得y= -1，即当P的坐标是（2，-1），即当P的坐标是（2，-1）时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形. 综上，当P的坐标是（4，）、（-4，7）或（2，-1）时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.【点评】这类探究类问题首先假设存在，根据图形的存在性，求出符合条件的点的坐标如果不存在，经过推理论证或计算，能够得出与已知条件或公里相矛盾的结论，从而推出假设错误5某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图：（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？【解题思路】由函数图象上的两个点很容易用代定系数法求出一次函数关系式，利用二次函数的性质求最值。【答案】解：（1）工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价(元/千度)的函数解析式为：该函数图象过点，解得 当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润（元/千度）（3）设工厂每天消耗电产生利润为w元，由题意得：化简配方，得：由题意，当时，即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为5000元。【点评】试题充分体现了函数知识在生活中的广泛应用，用函数知识可以解决生活中的很多问题。6抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m4,0）和B(m,0)，与直线y=x+p相交于点A和点C(2m4,m6).(1)求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P,Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当PQM的面积最大时，请求出PQM的最大面积及点M的坐标。【解题思路】(1)求函数关系式的三种方法是一般式，顶点式和交点式。此题可由A,C两点在一次函数图象上，求得m值，从而得出A,C两个点的坐标，进一步确定出B的坐标，然后选取任意一种方法求出抛物线的解析式。(2)由平行四边形的面积，及一边长，很容易求得高，再由特殊角求出PQ与y轴的交点。结合二次函数求出P,Q的坐标。可能有两种情况，分别讨论。（3）PQM中PQ一定，只需PQ上的高最大则PQM的面积最大。【答案】解：点和在直线y=x+p上解得设抛物线抛物线解析式为（2）AC=，AC所在直线的解析式为：，BAC=45的面积为12中AC边上的高为过点D作DKAC与PQ所在直线相交于点K，DK=,DN=4的边PQ所在直线在直线AC的两侧可能各有一条，PQ的解析式为或解得或方程组无解即,四边形ACQP是平行四边形， 当时，当时，满足条件的P,Q点是,或,（3）设，过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线点T，则，过点M作MSPQ所在直线于点S，=当时，PQM中PQ边上高的最大值为【点评】本题综合性较强，考查了很多基础知识、还要具备较高的空间想象能力、必须考虑到各种情况，此题的运算量和难度都比较大。7如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为8.（1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E.设PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标【解题思路】（1）根据已知条件，结合正方形的性质求出A、B点的坐标，利用一般式根据待定系数法求解. （2）根据AOMPED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP-yD求出二函数最值即可；根据G和F点的位置进行分类讨论：当点G落在y轴上时，由ACPGOA得PC=AO=2，即，解得x的值，求出P点的坐标，当点F落在y轴上时，同法可得求出P点的坐标【解】（1）对于，当y0，x2.当x8时，y.A点坐标为（2，0），B点坐标为由抛物线经过A、B两点，得解得（2）设直线与y轴交于点M当x0时，y. OM.点A的坐标为（2，0），OA2.AMOMOAAM345.由题意得，PDEOMA，AOMPED90，AOMPED.DEPEPD345点P是直线AB上方的抛物线上一动点，PDyPyD满足题意的点P有三个，分别是 当点G落在y轴上时，由ACPGOA得PCAO2，即，解得，所以当点F落在y轴上时，同法可得，（舍去）.【点评】此题是一个典型的动点压轴题，它融知识于一体，包万象于其中，知识点之多,综合性之强，难度系数之大.分类讨论思想是重要的数学思想，同学们一定注意掌握ABCOxy图128如图12，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（4，0）P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线xt与AC相交于点Q设四边形ABPQ关于直线xt的对称的图形与QPC重叠部分的面积为S点B关于直线xt的对称点B的坐标为_；求S与t的函数关系式【解题思路】(1)对称点连线被对称轴垂直平分，可以求B的坐标；（2）因为点P的位置不同导致点B的对称点B的位置不同，可能在线段OC上，也可能在线段OC的延长线上，如图a和图b，重合部分分别是四边形和三角形，图a先求AC的解析式和AB的解析式，求出点M的纵坐标，然后用QPC的面积减去BMC的面积；图b，直接求QPC的面积即可QQPP【答案】（1）B（2t+1,0）（2）当t=1.5是点B关于x=t的对称点B与点C重合当0t0)是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形PRQ.当PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围；在的条件下，记PBR与COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式，并求S的最大值。 【解题思路】用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，从而进一步解决问题。【答案】解：.设以A(1,5)为顶点的二次函数解析式为的图像经过了点B(5,5) 解得即：.如图，作点A关于y轴对称点,与y轴交与点D,作点B关于x轴对称点,与x轴交与点C,连接AD,AC,CB,BA.四边形ABCD的周长最小。A(1,5),B(5,1) .如图直线AB的解析式为直线与直线的交点，点Q为OP的中点PBR与直线CD有公共点，即【点评】本题考查了一次函数、二次函数、三角形、四边形等知识的综合运用。难度较大。22