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论,教学目的和要求,通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误差,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。,主要内容,重点和难点,研究误差的意义,研究误差的意义,研究误差的意义,研究误差的意义,我们对自然界中所有的量进行实验和测量时，由于参与测量的五个要素：测量装置或测量仪器、测量人员、测量方法、测量环境和被测对象自身都不能够做到完美无缺，使得对该量的测量结果与该量的真实值之间就存在一个差异，这个差异反映在数学上就是测量误差。,一、误差的概念,温度误差,重力加速度误差,要求测量者听、看、读三者同步，实际测量时无法做到。,由于人眼的分辨率最多只能读出分度值的110通常是15，而给测量血压带来一个测量人员的读数误差；,被测量者的血压值不仅受患者疾病因素的影响，同时还受被测量者的情绪、运动程度、测量时间等外界因素的影响，使被测量者的自身血压也在变化。,误差公理：测量结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程之中。误差具有普遍性和必然性。,二、误差公理,第一章 误差的根本概念,教学目的和要求,通过本章内容的教学，使学生对误差的定义、表达方法、分类和误差来源等根本概念有一个系统全面的了解，为后续内容学习打下根底。要求学生理解真值的概念，掌握误差最常用的表达方式，了解误差来源的分析方法，正确使用近似数的修约准那么。,主要内容,一、测量的概念,二、误差的定义及根本概念,三、测量误差的来源,四、误差的分类,五、近似数的修约与运算,定义：以确定量值为目的的一组操作。,目的：确定被测量的值或获取测量结果。,第一节 测量的概念,测量,定义：实现单位统一、量值准确可靠的活动。,单位统一指的是计量单位的统一。计量单位的统一，是量值统一的重要前提。, 量值准确可靠表征的是测量结果与被测量量的真值的接近程度，准的定量描述用误差或测量不确定度。“准是计量的核心。,计量,1,、测量是一个广义的概念，测量包括计量。,2,、计量是一种特殊的测量。,计量仪器必须有计量检定合格证书。,计量人员必须持证上岗。, 计量环境必须满足国家技术标准的要求。,计量方法必须按国家计量检定规程进行。,计量结果必须给出误差与测量不确定度的大小。,3、计量是测量的根底，又是最高层次的测量。,测量与计量的关系,测 量,直,接,测,量,间,接,测,量,工,程,测,量,精,密,测,量,电,量,测,量,非,电,量,测,量,等,权,测,量,非,等,权,测,量,静,态,测,量,动,态,测,量,测量的分类,直接测量,指通过直接测量与被测量有函数关系的量，通过函数关系求得被测量值的测量方法。,指被测量与该标准量直接进行比较的测量，指该被测量的测量结果可以直接由测量仪器输出得到，而不再需要经过量值的变换与计算。,用游标卡尺测量小尺寸轴工件的直径时，游标卡尺的读数即是被测工件的直径,间接测量,用游标卡尺测大尺寸轴工件的直径，因量程不够，采用测量弦长与矢高的方法，间接得到工件直径,按测量结果的获取方式分类,指在测量过程中被测量可以认为是固定不变的。因此，不需要考虑时间因素对测量的影响,指被测量在测量期间随时间或其他影响量发生变化,静态测量,在日常测量中，大多接触的是静态测量。对于这种测量，被测量和测量误差可以当作一种随机变量来处理,动态测量,弹道轨迹的测量、环境噪声的测量等。对这类被测量的测量，需要当作一种随机过程的问题来处理。,根据被测量对象在测量过程中所处的状态分类,指在测量过程中，测量仪器、测量方法、测量条件和操作人员都保持不变。因此，对同一被测量进行的屡次测量结果可认为具有相同的信赖程度，应按同等原那么对待。,指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权原那么进行处理。,等权测量,不等权测量,根据测量条件是否发生变化分类,x-a,定义,被测量,的真值,测量结果,测量误差,第二节 测量误差的定义及根本概念一、测量误差,测量结果,x,的值是由测量所得到的赋予被测量的值。,广义上我们可以把测得值、测量值、检测值、实验值、示值、名义值、标称值、预置值、给出值等均看作是测量结果。测量结果是我们要研究的对象。,测量结果,真值定义为与给定,的特定量的定一致,的值。,理论真值,一般只存在于纯理,论之中。,三角形内角之和恒为180,一个整圆周角为360,真 值,亦称,指定值、约定值、参考值或最正确估计值,是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予,特定量的值。,由国家建立的实物标准（或基准）所指定的千克副原器质量的约定真值为1,kg，,其复现的不确定度为0.008,mg。,七个,SI,基本单位：,米、千克、安培、,秒、开尔文、堪,德拉 、摩尔,约定真值,约定真值,二、根本表示方法,误差,绝对,误差,相对,误差,引用,误差,x-a,特点：绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。单位给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。,适用于同一量级的同种量的测量结果的误差比较和单次测量结果的误差计算。,绝对误差,绝对误差,与误差绝对值相等、符号相反的值，一般用,c,表示。,在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储在仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。,修正结果,是将测得值加上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。,在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公式的形式给出。,修正值,修正值,真值,绝对误差,用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V ，被测电压的修正值为5V ，那么修正后的测量结果为226+(5V )=221V。,测得值,【例1-1】,定义,特点,相对误差只有大小和符号，而无量纲，一般用百分数来表示。,相对误差常用来衡量测量的相对准确程度。,绝对误差,被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用测量值,x,来代替,x,0,相对误差,相对误差relative error,用,1,m,测长仪测量,0.01,m,长的工件，其绝对误差,=,0.0006,m,，,但用来测量,1,m,长的工件，其绝对误差为,0.0105,m,。,前者的相对误差为,后者的相对误差为,用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。,绝对误差和相对误差的比较,定义,引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限或量程得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。,仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差,该标称范围（或量程）上限,引用误差,引用误差,我国电工仪表、压力表的准确度等级accuracy class就是按照引用误差进行分级的。,当一个仪表的等级,s,选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为,绝对误差的最大值与该仪表的标称范围或量程上限xm成正比,电工仪表、压力表的准确度等级,用有一块测量范围为0.1MPa0.1MPa，2.5级的压力真空表，在进行计量校准时，各示值点上最大允许误差是多少？,解：该压力真空表在0.1MPa0.1MPa范围内各示值点上的引用误差不应超过2.5，那么各示值点上允许误差的最大示值误差应为：,2.50.10.10.005MPa,引用误差专用于仪器仪表误差的描述。,【例1-,2】,为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。,主要来源,测量设备误差,测量方法误差,测量环境误差,测量人员误差,被测对象误差,第三节 测量误差的来源,以固定形式复现标准量值的器具，如标准电阻、标准量块、标准砝码等等，他们本身表达的量值，不可防止地存在误差。一般要求标准器件的误差占总误差的1/31/10。,测量装置在制造过程中由于设计、制造、装配、检定等的不完善，以及在使用过程中，由于元器件的老化、机械部件磨损和疲劳等因素而使设备所产生的误差。,测量仪器所带附件和附属工具所带来的误差。,测量设备误差,标准器误差,仪器仪表误差,附件误差,设计测量装置时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差,组成设备的主要零部件的制造误差与设备的装配误差,设备出厂时校准与定度所带来的误差,读数分辨力有限而造成的读数误差,数字式仪器所特有的量化误差,元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差,测量方法误差,测量方法误差,测量环境误差,测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。,为了减小测量人员误差，就要求测量人员要认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量结果。,测量人员误差,用工具显微镜测量圆的直径。右图是这一测量的示意图。测量时，调整显微镜指标线同圆的两侧直径方向相切。理论上要求指标线调至同圆的影象相切，指标线压住或脱离影象均会产生测量误差。在指标线和影象相切的同时，估计读取指标线在刻度尺的位置a和b，那么圆的直径dba。在上述测量过程中，用人眼二次瞄准相切，二次估计读数均受到人眼最小分辨能力的限制。因此，在该测量过程中，有二次对线瞄准误差和二次估读误差。,【例1-,3】,被测对象在整个测量过程中处在不断地变化中。由于测量对象自身的变化而引起的测量误差称为测量对象变化误差。,例如，被测光度灯的光度，被测温度计的温度，被测线纹尺的长度，被测量块的尺寸等，在测量过程中均处于不停地变化中，由于它们的变化，使测量不准而带来误差。下述的测量实例说明了这一点。,被测对象变化误差,分析误差来源本卷须知,误差,系统,误差,粗大,误差,随机,误差,第四节 误差的分类,在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。,定义,特征,在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。,系统误差systematic error,用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差,用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差,刻线尺的温度变化引起的示值误差,在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测量器具的偏移或偏畸bias。,由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对约定真值的标准器具进行屡次重复测量的方法，或者通过屡次变化条件下的重复测量的方法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。,系统误差举例,测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。,定义,特征,在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。,产生原因,实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。,随机误差random error,随机误差的特征,指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。,定义,产生原因,某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。,测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）,测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。,由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。具体见第四章。,粗大误差gross error,如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。,误差性质的相互转化,1假设舍去局部的数值大于保存末位的0.5，那么末位加1，大于5进；,2假设舍去局部的数值小于保存末位的0.5，那么末位不变，小于5舍；,3假设舍去局部的数值恰等于保存末位的0.5，此时，假设末位是偶数；那么末位不变，假设末位是奇数，那么末位加1，等于5奇进偶不进。,第五节 近似数的修约与运算近似数的根本修约规那么, 修约必须一次完成，不能连续修约，如：,1.327 4651.327 461.327 51.328正确为：1.3274651.327, 假设数字舍入恰巧发生在合格与否的边界数字上时，那么要用或分别补充说明它们的数值大小。如1.291.3，13.21.3。, 误差或不确定度的舍入最好一律采用增大的方式，即只进不舍。后面将提到的有效自由度的计算，那么采用截断小数取整的只舍不进的算法。,规那么使用说明：,定义：是指经过修约后所得的近似数从左边第一 个不是零的数字起到末位上的所有数字。一个近似数有,n,个有效数字，也称这个近似数为,n,位有效数。,意义：有效数字描述了近似数的近似程度。,有效数字,1它可能是有效数字，也可能不是有效数字，这取决于它处在近似数中的位置。当零处在第一个有效数字之前时，那么零不算有效数字。例如，近似数0.003 86前面的三个“0，均不是有效数字。当零处在第一个有效数字之后，那么均为有效数字。例如，近似数110.00和200.030中的所有“0均为有效数字。,2小数点以后的零反映了近似数的误差，不能随意取舍。例如，近似数100，100.0和100.00。这三个近似数在数值上是相等的，但是它们的误差是各不相同的，由舍入误差原理知，这三个近似数的误差绝对值分别不超过0.5，0.05和0.005。,3在第一个有效数字之前的零那么与误差无关。例如，近似数0.003 6的误差绝对值不超过 0.000 05，而近似数 0.36102的误差绝对值也不超过0.0051020.000 05。,在判断有效数字时，对于零这个数字有三点说明：,几个不超过10个近似数相加或相减时， 小数位数较多的近似数，只须比小数位数最少的那个数多保存1位。在计算结果里，应保存的小数位数与原来小数位数最少的那个近似数相同。,近似数的加减运算,求,近似数,1648.0,，,13.65,，,0.0082,，,1.632,，,86.82,，,5.135,，,316.34,，,0.545,的和。,解：,1648.0,13.65,0.0082,1.632,86.82,5.135,316.34,0.545,1648.0,13.65,0.01,1.63,86.82,5.14,316.34,0.54,2 072.13,2 072.1,【例1-,4】,在几个近似数相乘或相除时，有效数字较多的近似数，只须比有效数字最少的那个多保存1位，其余均舍去。计算结果应保存的有效数字的位数，与原来近似数里有效数字最少的那个相同。,近似数的乘除运算,求,0.012 11.368 72,的积。,解：,0.012 11.368 72,0.012 11.369,0.016 564 9,0.016 6,【例1-,5】,对于近似数的乘方和开方运算可归纳为；在近似数乘方或者开方时，计算结果应保存的有效数字与原来近似数的有效数字的位数相同。,近似数的乘方和开方运算,乘方： 求近似数,5.32,的平方,解：,5.322,28.302 428.3,开方：求,3.164 3,的开方。,解： ,1.778 847 9411.778 8,【例1-,6】,第二章 随机误差,教学目的和要求,通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误差 ,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的特征；掌握随机误差 特征值确实定方法；了解随机误差的分布；正确求解极限误差。,重点和难点,3-,65,主要内容,随机误差系指测量结果与在重复条件下，对同一被测量进行无限屡次测量所得结果的平均值之差。,随机误差等于误差减去系统误差。因为测量只能进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估计值。,第一节随机误差概述,随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。,第一节随机误差概述,例 题,举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允许范围为202。为此，测量在恒温室内进行，恒温室温度控制能力到达200.5，满足测量要求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化中，围绕平均温度20有微小的波动，温度时高时低，变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法确定，因此造成随机误差。,随机误差性质上属随机变量，其处理方法的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可用随机变量的数学期望算术平均值、方差标准偏差和置信概率等三个特征量来描述。,服从正态分布随机误差的特征,3-,72,第二节 随机误差的分布,一、正态分布,随机误差概率分布密度函数,表达式为：,图24,数学期望 E0,方 差 D2,标准偏差,均匀分布又称等概率分布，其概率密度函数为：,当|,|,a,当|,|,a,它的数学期望为： E 0,它的方差为：,它的标准偏差为：,二、均匀分布,三、三角分布,三角分布的概率密度函数为：,3-,75,数学期望：,E 0,它的方差为：,它的标准偏差为：,四、反正弦分布,它的概率密度为：,数学期望： E 0,方差为：,标准偏差为：,3-,76,五、,2,分布,设随机变量X1，X2，X相互独立，且都服从标准正态分布N0，1，那么随机变量,的概率密度为,3-,77,特征量为：,六、,t,分布,设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布N0，1，Y服从自由度为的2分布，那么随机变量,的概率密度,t分布的主要分布特征量为：,3-,78,232,233,七、,F,分布,设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为与的2分布，那么随机变量,的概率密度为,3-,79,第三节 算术平均值原理,在等权测量条件下，对某被测量进行屡次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值,作为测量结果的最正确估计。,一、算术平均值,算术平均值原理,假设测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值,因为,根据随机误差的抵偿性，当,n,充分大时，有,最正确估计的意义,假设测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最正确的估计量 ，即满足无偏性、有效性、一致性,满足最小二乘原理,在正态分布条件下，满足最大似然原理,该所有测量值对其算术平均值之差的平方和到达最小,该测量事件发生的概率最大,二、剩余误差,3-,83,由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最正确估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为剩余误差。,在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，xn有算术平均值：,那么称,为剩余误差。,剩余误差可求，又称实用误差公式。剩余误差具有两个重要特性。,一剩余误差具有低偿性剩余误差代数和等于零,二剩余误差平方和为最小,二、剩余误差,一、单次测量的标准偏差,定理：同一被测量，在相同条件下，测量列xix1，2，n中单次测量的标准偏差也称单次测量的标准不确定度是表征同一被测量值n次测量所得结果的分散性参数，并按下式计算：,式中：n测量次数充分大；,i测量结果xi的随机误差。,第四节 测量的标准偏差,例题,3-,86,单次测量的标准偏差,3-,87,0.2,m,二、标准偏差的根本估计贝塞尔公式,定理：对同一被测量，在相同测量条件下，进行有限次测量得测量列xi i1，2，n，那么单次测量标准偏差的估计值为：,3-,88,实验标准偏差,s,的标准差,设在同一条件下，对被测量进行n1次等精度测量，得测量列xii1，2，n。用贝塞尔公式即可求得单次测量标准偏差要s1。仍在该条件下，再进行n2次测量，同样又可得到单次测量标准偏差s2。我们发现，无论两次的测量次数n1和n2是否相等，而s1和s2不一定相等，这说明由贝塞尔公式计算所得的测量标准偏差，也存在误差。,标准偏差s的标准偏差ss由下式确定，即,3-,89,三、算术平均值标准偏差,如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差那么是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。,3-,90,最正确测量次数确定,当,n,10,以后， 已减少得非常缓慢。由于测量次数愈大，也愈难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因此一般情况下取,n,10,以内较为适宜。总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数,。,3-,91,例 题,测量的单次测量标准偏差s0.12略去单位。问在不改变测量条件的情况下，使被测量估计值的标准偏差到达0.04，需测量多少次？,解：以算术平均值作为被测量的估计值，适当增加测量次数，以满足测量精密度的需要。,可得：,即测量次数：,次,即对被测量进行9次以上重复测量，它们的算术平均值的精密度便可到达要求。,3-,92,四、标准差的其他估计方法,3-,93,1,、,极差法,假设等精度屡次测量测得值x1，x2，xn服从正态分布，在其中选取最大值xmax与最小值xmin，那么两者之差称为极差,n,x,max,x,min,根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为：,标准差的其他估计方法,3-,94,故可得s的无偏差估计值，假设仍以s表示，那么有,特点：极差法可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在,n,10,时均可采用。,因,2,、最大误差法,测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式,估算时的相对误差,在被测量的真值的情形，屡次独立测得的数据,的真误差，其中的绝对值最大,在只进行一次性实验中，是唯一可用的方法,标准差的其他估计方法,3,、最大残差法,在一般情况下，被测量的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差,最大剩余误差 估计标准差,最大残差法不适用于,n=1,的情形,标准差的其他估计方法,第五节 极限误差,极限误差是指极端误差，是误差不应超过的界限，此时对被测量的测量结果单次测量或测量列的算术平均值的误差，不超过极端误差的置信概率为p，并使差值1pa可以忽略。此极端误差称为测量的极限误差，并以表示。,极限误差的值可依据测量标准差、误差分布及要求的置信概率确定：,或,K称为置信因子，是误差分布、自由度和置信概率的函数，通常有表可查。,3-,97,第三章 系统误差,教学目的和要求,通过本章内容的教学，使学生对系统误差的产生原因、特征和消除方法，有一个整体的 认识。要求学生清楚系统误差的产生原因、特点和分类方法；了解系统误差处理的原那么，,了解系统误差的发现方法；初步掌握定值系统误差和变值系统误差的减弱和消除方法。,主要内容,第一节系统误差概述,二、系统误差产生的原因,系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成，这些因素是可以掌握的。,测量装置方面的因素,环境方面的因素,测量方法的因素,测量人员的因素,计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。,测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等。,采用近似的测量方法或计算公司引起的误差等。,测量人员固有的测量习性引起的误差等。,激光数字波面干预仪的系统误差来源,三、系统误差的特征,四、系统误差的分类,根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性，将系统误差分为恒定系统误差和可变系统误差两大类。,一恒定(定值)系统误差,恒定定值系统误差是指在整个测量过程中，误差的大小和符号始终是不变的。如千分尺或测长仪读数装置的调零误差，量块或其它标准件尺寸的偏差等，均为恒定系统误差。它对每一测量值的影响均为一个常量，属于最常见的一类系统误差。,二变化系统误差,变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，其种类较多，又可分为以下几种：,四、系统误差的分类,线性变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素而线性递增或递减的系统误差。,周期变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素作周期变化的系统误差。,90,180,270,0,e,+,-,2,四、系统误差的分类,复杂规律变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素变化，误差按确定的更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化的系统误差。,如对于刻度盘或标尺的刻度误差，就全量程而言，属复杂规律性的系统误差。因为虽然对各刻度点的误差的大小和符号是确定的，但对整个量程的误差变化规律只能用实验曲线表出，属复杂变化规律。,各类特征系统误差图示,已定系统误差和未定系统误差,指误差的大小和符号均已确切掌握了的，因此在处理和表征测量结果时，是属于可修正的系统误差,。,指这类系统误差的大小和符号不能完全确切掌握的，因此在处理和表征测量结果时，是属于不可修正的系统误差。,五、系统误差的特点,第二节 系统误差对测量结果的影响,一定值系统误差的影响,设有一组常量测量数据 中分别存在定值系统误差 和随机误差 ，真值记为 。那么这组测量数据的算术平均值为：,当子样定容n足够大时，随机误差 对 的影响可忽略不计，而定值系统误差 都完全反映在 之中，视 的符号而使有所增减。,由上式可看出， 不影响残差计算，因而也不影响标准误差的计算，即 并不引起随机误差分布密度曲线的形状及其分布范围的变化，只引起分布密度曲线的位置变化 平移值。,第二节 系统误差对测量结果的影响,二变化系统误差的影响,同样，计算一组测量数据的算术平均值：,上式中 为变化系统误差。当子样定容n足够大时，随机误差 对 的影响可忽略不计，而变化系统误差 那么以算术平均值 反映在 之中，视 的符号而使有所增减。,由上式可看出，因 且其数值不易确定，故变值系统误差 直接影响残差 的数值，因此也必然要影响标准误差的计算，且其影响难于确定，即变值系统误差不仅使随机误差的分布密度曲线的形状和分布范围发生变化 ，也使曲线的位置产生平移。,第三节 系统误差的发现方法,一、计量检定,在计量工作中，常用,标准器具,或标准物质作为检定工具，来检定某测量器具的标称值或测量值中是否含有显著的系统误差。标准器具所提供的标准量值的准确度应该比被检定测量器具的要高出12个等级或至少高几倍以上。,现对被检量重复测量 次，假设测量服从正态分布,在计量检定中，常设 标准器具量值，现对均值 进行检定，判断其是否含有系统误差。,计量检定法步骤,2,、构造统计量,3、在给定显著水平下，查 分布表的临界值,4、作出决策。假设 ，判定被检量算术平均值与期望的标准值之间存在显著的差异，即被检量含有恒定的系统误差。,5、加修正值。对测得值 加一个修正值 ，即,1、计算均值 ，按贝塞尔公式计算标准差,某仪器测量过程控制图,测量值,检查时间序号,标定该仪器在不同时间段的测量值的变化，包括算术平均值和标准差，以核查该测量仪器在一个长的时期内的测量准确度,使之得到控制,二 多台仪器间的比对测试,三 其他检验方法说明,第四节 系统误差一般处理方法,1,、从产生误差根源上消除,最理想的方法。它要求对产生系统误差的因素有全面而细致的了解，并在测试前就将它们消除或减弱到可忽略的程度。视具体条件不同，有：,1所用基、标准件如量块、刻尺、光波波长等是否准确,可靠。,2所用仪器是否经过检定，并有有效周期的检定证书。,3仪器调整、测件安装定位和支承装卡是否正确合理。,4 所用测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差。,5 测量场所的环境条件是否符合规定要求，如温度变化等,6 测量人员主观误差，如视差习惯等。,关键：确定修正值或修正函数。,量块的实际尺寸不等于公称尺寸，假设按公称尺寸使用，就要产生系统误差。因此应按经过检定的实际尺寸即将量块的公称尺寸加上修正量使用，就可以防止此项系统误差的产生,2,、利用加修正值的方法消除系统误差,3,、选择适当的测量方法消除系统误差,二、恒定系统误差的减弱和消除方法,替代法,在测量装置上测量被测量后不改变测量条件，立即用相应的标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而得到该标准量测量结果与标准量的差值，即系统误差，取其负值即可作为被测量测量结果的修正量。,等臂天平称重,先将被测量 放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，那么有,移去被测量 ，用标准砝码 代替，假设该砝码不能使天平重新平衡，如能读出使天平平衡的差值 ，那么有,便消除了天平两臂不等造成的系统误差。,由于存在恒定统误差的缘故,恒定系统误差替代法举例,根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。,恒定系统误差交换法,等臂天平称重,先将被测量 放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，那么有,假设将与交换位置，由于存在恒定统误差的缘故，天平将失去平衡 。原砝码P调整为砝码,才使天平再次平衡。于是有,那么有,消除了天平两臂不等造成的系统误差。,恒定系统误差异号法,进行两次反向测量，该两次测量读数时出现的系统误差大小相等，符号相反，即,取两次测值的平均，有,在使用直角尺检定某量仪导轨运动的垂直度时，可用它分别读数一次取算术平均值的方法，以使直角尺垂直误差得到补偿。,在使用丝杠传动机构测量微小位移时，为消除测微丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的空回误差，往往采用往返两个方向的两次读数区算术平均值作为测得值，以补偿空回误差的影响,三、变值系统误差的减弱和消除方法,对称测量法举例,测得依赖因素,t,的5个读数 ，可取对称读数平均值,作为测得值，可有效消除该范围内的线性误差,机械式测微仪、光学比长仪等，都以零位中心对称刻度，一般都存在随示值而递增减的示值误差。采用对称测量法可消除这类示值误差,很多随时间变化的系统误差，在短时间内均可看作是线性的，即使并非线性的，只要是递增或递减的，如采用对称测量法，那么可根本或局部消除,复杂规律变化的系统误差消除法,组合测量法,4-,131,第4章：粗大误差,教学目的和要求：,4-,132,通过本章内容的教学,使学生能够掌握可疑值处理的根本原那么，正确合理的进行粗大误差的剔除。要求学生清楚粗大误差的产生原因和特征；掌握可疑值处理的根本原那么；正确使用统计学判别方法，剔除粗大误差。,主要内容：,4-,133,粗大误差的产生原因和特点：产生原因、主要特点。,可疑值处理的根本原那么：直观判断、及时剔除；增加测量次数、继续观察；用统计法判别；保存不剔、确保平安。,粗大误差的统计学判别方法：统计判别方法的根本依据、常用的统计判别方法、判别粗大误差应注意的几个问题。,客观外界条件的原因,测量人员的主观原因,测量仪器内部的突然故障,第一节,粗大误差产生的原因,4-,134,客观外界条件的原因,机械冲击、外界震动、电网供电电压突变、电磁干扰等测量条件意外地改变 ，引起仪器示值或被测对象位置的改变而产生粗大误差,。,4-,135,测量人员的主观原因,测量者工作责任性不强，工作过于疲劳，对仪器熟悉与掌握程度不够等原因，引起操作不当，或在测量过程中不小心、不耐心、不仔细等，从而造成错误的读数或错误的记录。,4-,136,测量仪器内部的突然故障,假设不能确定粗大误差是由上述两个原因产生时，其原因可认为是测量仪器内部的突然故障。,4-,137,第二节 可疑值处理的根本原那么,4-,138,直观判断，及时剔除,增加测量次数，继续观察,用统计方法进行判别,保存不剔，确保平安,直观判断，及时剔除,假设某可疑值经分析确认是由于错读、错记、错误操作以及确实为测量条件发生意外的突然变化而得到的测量值，可以随时将该次测量得到的数据从测量记录中剔除。但在剔除时必须注明原因，不注明原因而随意剔除可疑值是不正确的。这种方法称为物理判别法，也叫直观判别法。,4-,139,4-,140,如果在测量过程中，发现可疑测量值又不能充分肯定它是异常值时，可以在维持等精密度测量条件的前提下，多增加一些测量次数。根据随机误差的对称性，以后的测量很可能出现与上述结果绝对值相近仅符号相反的另一测量值，此时它们对测量结果的影响便会彼此近于抵消。,增加测量次数，继续观察,4-,140,在测量完毕后，还不能确定可疑测量值是否为含有粗大误差的异常值时，可按照依据统计学方法导出的粗大误差判别准那么进行判别、确定。,用统计方法进行判别,4-,141,保存不剔，确保平安,利用上述三种原那么还不能充分肯定的可疑值，为保险起见，一般以不剔除为好。,4-,142,建立粗大误差统计判别方法的根本依据,常用的统计判别方法,判别粗大误差应注意的几个问题,第三节,粗大误差的统计判别方法,4-,143,建立粗大误差统计判别方法的根本依据,依根测量准确度的要求，给定一置信概率例如 99等，确定其随机误差的分布范围Ks，Ks，凡超出这个范围的误差，就认为是不属于正常测量条件下测量值所含有的随机误差，而应视为粗大误差予以剔除。,4-,144,常用统计判别方法,莱因达3s准那么,格拉布斯Grubbs准那么,狄克逊Dixon准那么,4-,145,前提条件：测得值不含有系统误差；随机误差服从正态分布。,假设对某物理量等精度重复测量n次，得测得值x1，x2，xn。莱因达认为；如果某测得值的剩余误差的绝对值大于三倍的标准偏差时，即,|vi|3s,那么认为该误差为粗大误差，该次测得值为异常值，应剔除。,1、莱因达准那么,4-,146,莱因达准那么是一个简便、保险但非常保守的判别准那么，当测量次数n10时，即使存在粗大误差也判别不出来。因此，在测量次数较少时，几乎不适于使用。当测量次数为30次以上时较为适宜。,4-,147,方法1：假设对某物理量等精密度测量n次，得测得值x1，x2，xn。将测得值按其大小，由小到大排列成顺序统计量x(i)：,x(1)x(2)x(n),假设认为x(1)是可疑测量值，那么有统计量,2、格拉布斯(Grubbs)准那么,4-,148,假设认为x(n)是可疑测量值，那么有统计量,当g(i)g0n，a的时，那么认为测得值xi含有粗大误差，应予以剔除。,g0n，a为测量次数为n显著度为a时的统计量临界值，可由表查取。,4-,149,例题,格拉布斯准那么还可以用剩余误差的形式表达。假设测量列中的可疑值对应的剩余误差|vi|max满足,|vi|max g0(n,a)s,那么认为该可疑值xi是含有粗大误差的异常值，应剔除。,表中的g0(n,a)值是按 分布计算得出，其中s 用贝塞尔公式计算。,例题,用格拉布斯准那么判别以下一组等精密度测量所得的测得值中是否有异常值？,xi： 55.2，54.6，56.1，55.4，55.5，54.9，56.8，55.0，54.6，58.3,4-,151,解：首先计算测量算术平均值和标准偏差,v,i,：,0.44,，,1.04,，,0.46,，,0.24,，,0.14,，,0.74,，,1.16,，,0.64,，,1.04,，,2.66,=55.64,确定绝对值最大的剩余误差|vi|max和对应的可疑值,|vi|max|v10|2.66,可疑值,x1058.3,取a0.01，由n10查表得,g10，0.012.41,利用格拉布斯准那么判别,g10，0.01s2.411.162.80,|v10|2.66g10，0.01s2.80,故x10不是粗大误差，也不是异常值，应保存。,3、狄克逊(Dixon)准那么,4-,154,前面两种判别方法，均需求出算术平均值 、,剩余误差vi；和标准偏差s。在实际工作中，显得计算量大，使用麻烦。而狄克逊准那么是直接根据测得值按其大小顺序重新排列后的顺序统计量来判别可疑测量值是否为异常值的，可免去反复计算的繁琐劳动。,狄克逊Dixon准那么,假设对物理量等精密度测量n次，得测得值,x1，x2，xn。,将此测量列由小到大按顺序重新排列成,x(1)x(2)x(n),4-,155,假设,狄克逊导出了顺序差统计量的分布及其在给定显著度a下的临界值d0n，a，,或,或,或,或,例题,假设,dijd0n，a,那么认为相应最大测得值或最小测得值为含有粗大误差的异常值，应剔除。,狄克逊通过大量的实验认为：,当,n,7,时，使用,d,10,效果好；,当,8,n,10,时，使用,d,11,效果好；,当,11,n,13,时，使用,d,21,效果好；,当,n,14,时，使用,d,22,效果好。,准那么应用,4-,158,例题,用狄克逊准那么判别以下测得值中是否有异常值？测得值中不含有系统误差且服从正态分布。,xi： 5.29，5.30，5.31，5.30，5.32，5.29，5.28， 5.27，5.31，5.28,4-,159,解：首先将测得值按大小顺序排列,序号,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,x,（,i,）,5.27,5.28,5.28,5.29,5.29,5.30,5.30,5.31,5.31,5.32,由于,n,10,应按,d,11,计算统计量。,首先检验,x,(,10),是否是异常值,=0.250,假设取a0.01查表得临界值,d010，0.01=0.597，,有,d11=0.250d010，0.01=0.597,说明x10不是异常值。,=0.250,d11=0.250d010，0.01=0.597,说明x1也不是异常值。由此，我们可以得出结论，该测量列中没有异常值。,准确找出可疑测量值,合理选择判别准那么,查找产生粗大误差的原因,判别准那么的比较,全部测量数据的否认,4-,163,判别粗大误差应注意的几个问题,第5章：测量不确定度,教学目的和要求：,通过本章内容的教学，使学生能够对测量数据合理的、正确进行测量不确定度的评定与表示。要求学生清楚测量不确定度的概念，明了不确定度的分类，掌握标准不确定度,A,类和,B,类评定方法、合成标准不确定度和扩展不确定度的评定方法；正确进行测量不确,定度的报告和表示。,5-,165,主要内容,1. 测量不确定度的根本概念：产生背景、定义及分类、测量误差与测量不确定度、产生测量不确定度的原因、测量过程的数学模型的建立、测量不确定度传播规律。,2. 标准不确定度的A类评定：单次测量结果实验标准差与算术平均值实验标准差、测量过程的合并样本标准差、不确定度A类评定的独立性。,3. 标准不确定度的B类评定：B类不确定度评定的信息来源、B类不确定度的评定方法、B类不确定度评定的自由度及其意义、B类标准不确定度评定的流程。,5-,166,主要内容,4. 合成标准不确定度的评定：输入量不相关时不确定度合成、输入量相关时不确定度合成、合成标准不确定度的自由度、合成标准不确定度的计算流程。,5. 扩展不确定度的评定：输出量的分布特征、扩展不确定度的含义、包含因子的选择、评定流程。,6. 测量不确定度的报告与表示：测量结果及其不确定度的报告、测量不确定度的报告方式、测量不确定度评定的总流程。,5-,167,测量不确定度的产生背景,测量不确定度的定义及分类,测量误差与测量不确定度,产生测量不确定度的原因,测量过程的数学模型的建立,测量不确定度传播律,第一节 测量不确定度的根本概念,5-,168,1,、测量误差是一个理想化的概念，实际中难以准确定量确定。,2,、系统误差和随机误差在某些情况下界限不是十分清楚，使得同一被测量在相同条件下的测量结果因评定方法不同而不同，从而引起测量数据处理方法和测量结果的表达不统一，影响国际间交流。,一、产生背景,5-,169,1980年国际计量局BIPM起草了一份?实验不确定度建议书INC1?。,1981年，第七十届国际计量委员会CIPM批准了上述建议，并发布了一份CIPM建议书，即CI1981。,1986年，CIPM再次重申采用上述测量不确定度表示的统一方法，并发布了CIPM建议书CI1986。,开展史,5-,170,开展史,1993年，GUM以7个国际组织的名义正式由国际标准化组织公布实施，并在1995年又作了修订。,我国由全国法制计量委员会委托中国计量科学研究院起草制定了国家计量技术标准?测量不确定度评定与表示?JJF10591999。该标准原那么上等同GUM的根本内容，作为我国统一准那么对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。,5-,171,二、不确定度的定义,测量不确定度uncertainty of measurement,测量不确定度定义为表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。此参数可以是标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度，其值恒为正值。,5-,172,不确定度评定方法的分类,A类评定type A evaluation of uncertainty,用对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度称为不确定度的,A,类评定，又称为,A,类不确定度评定，简称,A,类不确定度。,B类评定type B evaluation of uncertainty,用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度称为不确定度,B,类评定，有时又称为,B,类不确定度评定，简称,B,类不确定度。,5-,173,合成标准不确定度combined standard uncertainty,当测量结果是由假设干个其它量的值求得时，按其它各量的方差或协方差算得的标准不确定度称为合成标准不确定度，用符号uc表示。,不确定度评定方法的分类,扩展不确定度expanded uncertainty,由于标准偏差所对应的置信水准也称为置信概率通常还不够高，在正态分布情况下仅为68.27，因此还规定测量不确定度也可以用标准偏差的倍数k来表示。这种不确定度称为扩展不确定度，有时也称展伸不定度或范围不确定度，用符号U或UP表示。,5-,174,扩展不确定度expanded uncertainty,规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋予被测量值的分布的大局部。用符号U或UP表示。,包含因子coverage factor,为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的倍数因子。常用符号,k,或,k,P,来表示。在国内，有的也其称为覆盖因子，其取值一般在2与3之间。,不确定度评定方法的分类,5-,175,不确定度评定方法的分类,绝对不确定度和相对不确定度,误差可以用绝对误差和相对误差两种形式来表示，不确定度也同样可以有绝对不确定度和相对不确定度两种形式。绝对形式表示的不确定度与被测量有相同的量纲。相对形式表示的不确定度，其量纲为1，或称为无量纲。被测量x的标准不确定度ux
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