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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,新课标高中一轮总复习,第二单元,函 数,第9讲,二次函数与一元二次方程,掌握二次函数的概念、图象特征；掌握二次函数的性质，会求二次函数在给定区间上的最值；掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的联系，提高综合解题的能力.,1.f(x)=x2+ax+b,f(1)=0,f(2)=0,那么f(-1)=.,6,由,f,(1)=0，,f,(2)=0，得方程,x,2,+,ax,+b=0的两根是1,2，所以,a,=-3，,b,=2.,故,f,(,x,)=,x,2,-3,x,+2，所以,f,(-1)=,6,.,2.如果不等式f(x)=ax2-x-c0(a、cR)的解集为-2，1，那么函数y=f(-x)的大致图象是(),C,由ax2-x-c0的解集为-2，1，知a0),所以y-6.,5.当x(1,2)时，x2+mx+40恒成立，那么m的取值范围是 .,(-,-5,方法一设f(x)=x2+mx+4，,那么 f(1)0 m+50,f(2)0 4+2m+40,方法二m-=-(x+)(1x2).,因为g(x)=x+4x在(1,2)上是递减的，,所以4g(x)0,开口向上,a0,开口向下,图,象,性,质,定义域为,R,值域为,.,值域为,.,当,x,=,时,函数有,.,当,x,=,时,函数有,.,在区间（-,-上为,.,函数,在区间-,+)上为,.,函数,在区间（-,-上为,.,函数,在区间-,+)上为,.,函数,(-,11,+),-,最小值,12,-,最大值,2,b,a,13,14,减,2,b,a,15,增,2,b,a,增,16,17,减,2,b,a,3.,一元二次方程根的分布.,(1)方程,ax,2,+,bx,+c=0(,a,0)两根：,一正一负,ac,0,x,1,+,x,2,=-0,x,1,x,2,=0;,0,x,1,+,x,2,=-0;,两正根,两正根,一零根,c,=0.,(2)实系数二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0)的两根,x,1,、,x,2,的分布范围与二次方程系数之间的关系,如下表所示:,根的分布,图象,充要条件,x,1,x,2,0,f,(,k,)0,-k,k,x,1,0,f,(,k,)0,-,k,x,1,k,0,x,1,、,x,2,(,k,1,k,2,),f,(,k,1,)0,f,(,k,2,)0,k,1,-,k,2,题型一,二次函数及它在闭区间上的值域,例1,二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=0，f(1)=1.,1求f(x)的解析式；,2假设f(x)在区间m,n上的值域是m,n，求m、n的值.,1设f(x)=ax2+bx+c(a0).,由得 -=1,c=0 ，解得,a+b+c=1,所以f(x)=-x2+2x.,2f(x)=-(x-1)2+1，显然n1,所以区间m,n在函数的对称轴x=1的左边,所以 f(m)=m,f(n)=n,即m、n是方程-x2+2x=x的两根.,又mn，所以m=0，n=1.,a,=-1,b,=2,c,=0.,1.求二次函数的解析式，常用待定系数法，假设能恰中选择其形式，将可化繁为简.,2.条件二次问题，注意一看开口方向，二看轴的位置，三算端点数值.假设盲目分类，“前途将很渺茫.,函数f(x)=ax2+bx-2(a0).,1判断函数f(x)的奇偶性；,2当a-4.,题型,二 二次函数的性质及二次方程根的分布,例2,1当b=0时,f(-x)=f(x),那么f(x)是偶函数；,当b0时，f(-x)-f(x)，f(-x)f(x),所以f(x)是非奇非偶函数.,2证明:方程f(x)=x,化为ax2+(b-1)x-2=0.,设g(x)=ax2+(b-1)x-2(a0)，,因为,x,11,x,20,a,+,b,-1-20 ,g,(2)0 4,a,+2(,b,-1)-20.,因为,a,-4.,一元二次方程根的分布，即二次函数零点的分布，关键在于作出二次函数的草图，由此列出不等式组，要注意二次函数的对称轴与与方程根的关系.,题型三,二次函数的综合问题,例3,二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t0)，且f(1)=0.,1求y=f(x)的表达式；,2假设函数y=f(x)在区间-1,上的最小值为-5，求此时t的值和对应的x的值.,1设f(x)=a(x-)2-(a0).,因为f(1)=0，所以(a-1)=0.,又t0，所以a=1，所以f(x)=(x-)2-(t0).,2因为f(x)=(x-)2-(t0),当 -1，即t ，即t-1时，f(x)min=f()=(-)2-=-5,所以t=-舍去.,综上得，所求的t=-，对应的x=-1.,定区间上二次函数的最值问题需要分段考查区间端点与对称轴的关系，分别求最值.,设函数,f,(,x,)=|,x,2,-4,x,-5|.,(1),在区间-2,6上画出函,数,f,(,x,)的图象；,(2),设集合,A,=,x,|,f,(,x,)5,B,=(-,-20,46,+).试判断集合,A,和,B,之间的关系,并给予证明；,(3),当,k,2时，求证：在区间-1,5上，,y,=,kx,+3,k,的图象位于函数,f,(,x,)图象的上方.,(1),将函数解析式变形为,f,(,x,)=,x,2,-4,x,-5(,x,5或,x,2,所以 1.又-1x5,当-1 1,即20.由可知，当k2时,g(x)0,x-1,5.因此,在区间-1,5上，y=k(x+3)的图象位于函数f(x)的图象的上方.,(证法二)判别式法.,当x-1,5时，f(x)=-x2+4x+5.,由 y=k(x+3),y=-x2+4x+5 ,得x2+(k-4)x+(3k-5)=0,令=(k-4)2-4(3k-5)=0,解得k=2或k=18.在区间-1，5上,当k=2时,y=2(x+3)的图象与函数f(x)的图象只交于一点1，8;当k=18时，,y=18(x+3)的图象与函数f(x)的图象没有交点.由图可知,由于直线y=k(x+3)过点(-3,0),当k2时,直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到.因此,在区间-1,5上,y=k(x+3)的图象位于函数f(x)的图象的上方.,1.,二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解他们之间的关系，运用函数与方程的思想将他们进行转化，这是准确迅速解决此类问题的关键.,最值，另一最值在区间端点处取得；当,x,-m,n时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得.,(2)含参数的二次函数在某个区间上的最值问题常需分类讨论.要抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合开口方向及单调性进行分类讨论求解.,2.,对二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+c(,a,0)在,m,n,上的最值的研究是本讲内容的重点.对如下结论必须熟练掌握:,(1)当,x,=-,m,n,时,是它的一个,3.,二次函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,.,当,a,0且0成立；,当,a,0且0时，对,x,R,f,(,x,)0成立.,(2021福建卷)函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象关于直线x=-对称.据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p，关于x的方程mf(x)2+nf(x)+p=0的解集都不可能是(),学例1,D,A.1,2 B.1,4,C.1,2,3,4 D.1,4,16,64,假设方程mf(x)2+nf(x)+p=0的解集是1,4,16,64，那么该方程化为f(x)=t1和f(x)=t2，每个方程有不同的实根.而由f(x)=ax2+bx+c的对称轴性知f(x)=t1和f(x)=t2的两个根也应关于x=-对称，即这四个数1,4,16,64中必有两对数的和相等，这是不可能的.,(2021江苏卷),设a为实数,函f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.,(1)假设f(0)，求a的取值范围；,(2)求f(x)的最小值.,学例2,(1)假设f(0)1,那么-a|a|1 a-1.,故a的取值范围是(-,-1.,a0,a,2,1,f,(,a,)(,a,0),f,()(,a,0),当,x,a,时，,f,(,x,)=,x,2,+2,ax,-,a,2,f,(-,a,)(,a,0)-2,a,2,(,a,0),f,(,a,)(,a,0)2,a,2,(,a,0).,-2,a,2,(,a,0),(,a,0),.,2,a,2,(a0),(a0);,=,那么f(x)min=,那么f(x)min=,=,综上,f,(,x,),min,=,2,2,3,a,(2),当,x,a,时，,f,(,x,)=3,x,2,-2,ax,+,a,2,本节完，谢谢聆听,高考资源网，您的高考专家,
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