第一节氢原子的薛定谔方程PPT资料

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一节氢原子的薛定谔方程(fngchng),第一页，共26页。,一、直角坐标(zh jio zu bio)与球极坐标 A right angle coordinate and sphere Coordinate,Descartes.Rene,（,1596-1650,）,法国哲学家，数学家，物理学家，解析几何学奠基人之一。,相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的直角反射坐标系，称为空间直角坐标系又之称为笛卡尔空间直角坐标系。,1.,直角坐标系,Z,Y,X,0,直角坐标系,直角坐标系,（,x,，,y,，,z,）,对于空间某点,P,，在空间直角坐标系中可由三个坐标点（,x,，,y,，,z,）确定。即：,P,x,z,y,第二页，共26页。,2.,球极坐标系,尽管用直角坐标对空间某点进行定位表述简便，但对在球状空间运动某点的定位，却显得不便。,于是人们通过坐标换算，建立了球极坐标、椭球坐标等系。例如，对于空间某点,P,的位置，用球极坐标可表示如下：,Z,Y,X,0,P,x,z,y,r,球极坐标系,r,（,r,）,x,y,z,0,r,0 ,0,0 2,取值范围,r,第三页，共26页。,同理，在直角三角形,0Bx,中：,cos=,斜,邻,0B,x,B,x=OB cos,3.,球极坐标与直角坐标的关系,Z,Y,X,0,P,x,z,y,r,球极坐标与直角坐标,r,（,r,）,（,x,，,y,，,z,）,cos=,斜,邻,z=rcos,在直角三角形,0Pz,中：,r,z,即：,邻,斜,对,=,sin=,斜,对,由于，直角三角形,0Pz,中：,r,zP,r,0B,0B=rsin,x=0B cos,=rsincos,则：,第四页，共26页。,sin=,y,0B,斜,对,y=OB sin,=r sin sin,则,：,在直角三角形,0Bx,中：,B,对,斜,Z,Y,X,0,P,x,z,y,r,球极坐标与直角坐标,r,（,r,）,（,x,，,y,，,z,）,根据勾股定律得知：,OB,2,=x,2,+y,2,r,2,=OB,2,+z,2,（三角形,0Bx,）,（三角形,0By,）,r=(x,2,+y,2,+z,2,),1/2,勾,股,玄,则：,即：,x=rsincos,y=rsin sin,z=rcos,r=(x,2,+y,2,+z,2,),1/2,第五页，共26页。,二、氢原子的薛定谔方程(fngchng)Equation of Schrdinger of hydrogen atom,1.,波动方程,H=E,（,Hamiltonian operator,）,H -,2,+V,h,2,8,2,m,（,Kinetic energy operator,）,V=V,（,Potential energy operator,）,2,+,x,2,2,y,2,2,z,2,2,第六页，共26页。,-(sin )Y +Y,(r2 )+(sin )+-,尽管用直角坐标对空间某点进行定位表述简便，但对在球状空间运动某点的定位，却显得不便。,如图所示，对于空间某点 P的位置，在空间柱坐标系中可由三个坐标点（r，z）确定。,(r2 )R(r)+,(r2 )R+（+E）=,r=(x2+y2+z2)1/2,H=-2+V,氢原子柱坐标表示的波动方程,先将 Y 方程写成：,0 0 1,第二十五页，共26页。,三角函数基本(jbn)关系,电子的势能 Ve=V,坐标变换的方法较多，下面我们以“问题讨论”为例，简要地介绍坐标变化的一种方法。,由其“双质点”体系模型中不难看出，其 Hamiltonian 算符应包含原子核及核外电子两种微粒动能算符和势能算符。,+,-,r,双质点体系模型,2.,物理模型,如右图所示，氢原子可看成是由,1,个原子核及,1,个核外电子构成的,“,双质点,”,体系；原子核与核外电子只存在静电吸引势能。,建立氢原子的波动方程，关键是找出其波动方程,Hamiltonian,算符的具体形式。,由其,“,双质点,”,体系模型中不难看出，其,Hamiltonian,算符应包含原子核及核外电子两种微粒动能算符和势能算符。即：,H=-(,p,2,+,e,2,)+(V,p,+V,e,),2,2m,3.,氢原子的波动方程,为了使问题简化，我们以原子核作为坐标原点，把原子核近似地看成相对固定不动，则氢原子的,Hamiltonian,算符可简化为：,H=-,2,+V,2,2m,T,（,p,）,电子的动能,原子核的动能,经典物理学的动能,E,k,=mv,2,1,2,电子的运动,“,速度,”,核的运动,“,速度,”,。,3.,势能,原子核的势能,V,p,=0,若把氢原子中的核近似地看成相对固定不动，并把原子核选作坐标系的原点。则有：,电子的势能,V,e,=V,（核对电子的吸引势能）,第八页，共26页。,Laplacian operator的球坐标(zubio)表示式,通过前面的简化，氢原子的,Hamiltonian,算符变成了只是原子核外电子的,Hamiltonian,算符。,H=-,2,+V,2,2m,为了较方便地描述氢原子核外电子的运动状态，我们先将,Laplacian,算符进行球极坐标变换。,根据前面直角坐标和球坐标的关系，,Laplacian operator,可写成：,2,+,x,2,2,y,2,2,z,2,2,=(r,2,)+(sin )+,r,r,2,1,sin,1,sin,2,1,2,2,r,问题：,如何将,Laplacian operator,的直角坐标表示式变换为球坐标表示式？,第九页，共26页。,氢原子的势能(shnng)（V）,V=-,Ze,2,r,r,Ze,Hamiltonian,算符中的,Laplacian,算符经坐标变换后，还须考虑势能算符。,若只考虑原子核与核外电子的静电引力，则核对核外电子的吸引势能为：,原子核,核外电子,Hamiltonian,算符,H=-,2,+V,2,2m,=-,2,2m,(r,2,)+(sin )+-,r,r,2,1,sin,1,r,Ze,2,r,sin,2,1,2,2,Z核电荷数,e电子电量(dinling),1.602210-19C (1个原子单位),这样，氢原子（或类氢离子）的波动方程可写为：,-,2,2m,(r,2,)+(sin )+-,r,r,2,1,sin,1,r,Ze,2,r,sin,2,1,2,2,=E,第十页，共26页。,变量分离,函数,单变量,微分方程,分别求解,多变量,微分方程,结果,氢原子,(,或类氢离子,),的波动方程建立了，由方程不难看出：该波动方程中包含着,r,、,、,三个独立变量。,-,2,2m,(r,2,)+(sin )+-,r,r,2,1,sin,1,r,Ze,2,r,sin,2,1,2,2,=E,问题：,如何求解方程？求解方程的基本思路是什么？,问题：,如何进行变量分离？,第十一页，共26页。,三、变量(binling)分离 Change the quantity separation,从前面得到的波动方程不难看出，方程中包含着,r,、,、,三个独立变量。要求解方程，可对,先进行变量分离。,为了求解波动方程的方便，可先将氢原子（或类氢离子）波动方程整理为：,(r,2,)+,r,r,r,2,1,2m,2,+(sin )+,sin,1,+,（,+E,）,=0,sin,2,1,2,2,Ze,2,r,第十二页，共26页。,只与角度有关,只与经向,r,有关,根据变量分离原理，令：,(r,)=R(r)Y(,）,=R(r),(）,(),将其代入波动方程，并除以,得：,(r,2,)R(r)Y(,）,+,r,r,r,2,1,2m,2,R(r)Y(,）,1,+(sin )R(r)Y(,）,+,sin,1,R(r)Y(,）,1,+R(r)Y(,）,+,sin,2,1,2,2,R(r)Y(,）,1,+,（,+E,）,R(r)Y(,）,=0,Ze,2,r,R(r)Y(,）,1,第十三页，共26页。,只与角度,有关,只与经向,r,有关,各项乘以 整理得：,2,2mr,2,(r,2,)R+,（,+E,）,+,dr,d,dr,d,R,1,2,2mr,2,Ze,2,r,+(sin )Y +Y =0,sin,1,Y,1,sin,2,1,2,2,整理得：,(r,2,)R(r)+,dr,d,dr,d,r,2,1,2m,2,R(r),1,+(sin )Y(,）,+,sin,1,Y(,）,1,+Y(,）,+,（,+E,）,=0,sin,2,1,2,2,Y(,）,1,Ze,2,r,(r,2,)R+,（,+E,）,=,dr,d,dr,d,R,1,2,2mr,2,Ze,2,r,-(sin )Y +Y,sin,1,Y,1,sin,2,1,2,2,移项得：,第十四页，共26页。,R,方程,Y,方程,由于,r,、,、,三个均为独立变量，要使方程成立，方程两端必须等于某一常量。,设此常量为,，则有：,(r,2,)R+,（,+E,）,=,dr,d,dr,d,R,1,2,2mr,2,Ze,2,r,(sin )Y+Y=-,sin,1,Y,1,sin,2,1,2,2,在,Y,方程中，,和,是两个独立变量。同样，可采取变量分离法进行求解。,先将,Y,方程写成：,(sin )Y+Y=-Y,sin,1,sin,2,1,2,2,第十五页，共26页。,只与角度,有关,只与角度,有关,令：,Y(,),()(),，并代入,Y,方程乘以，则,Y,方程,(sin ),+,sin,1,sin,2,1,2,2,=-sin,2,sin,2,sin,2,可写为：,(sin ),+,sin,1,sin,2,1,2,2,=-sin,2,sin,2,sin,2,(sin ),+,1,2,2,=-sin,2,sin,(sin ),+sin,2,=-,1,2,2,sin,整理后有：,第十六页，共26页。,由于,、,是两个独立变量，要使方程成立，方程两端必须等于某一常量。,设此常量为,m,2,，即：,(sin )+sin,2,=m,2,d,d,d,d,-,=m,2,1,d,2,d,2,sin,(r,2,)R+,（,+E,）,=,dr,d,dr,d,R,1,2,2mr,2,Ze,2,r,（,R,方程）,（,方程）,（,方程）,问题：,通过上述变量分离操作，我们已将复杂的波动方程转变成了相对简单的,R,、,、,方程。如何分别求解,R,、,、,方程？求解后我们将会得到什么信息？,第十七页，共26页。,问题(wnt)思考与练习,2-1,柱坐标,(r,z),与直角坐标的关系是：,x=rcos,；,y=rsin,；,z=z,求证在柱坐标中,Laplacian operator,算符为：,2,=(r )+,r,z,2,2,1,r,r,1,r,2,2,2,写出氢原子的柱坐标波动方程。,第十八页，共26页。,四、坐标(zubio)变换 Sit,to,mark the transformation,坐标变换的方法较多，下面我们以,“,问题讨论,”,为例，简要地介绍坐标变化的一种方法。,1.,柱坐标,(r,z),与直角坐标的关系,柱坐标与直角坐标(zh jio zu bio)的关系,柱坐标系,Z,r,X,Y,P,柱坐标系示意图,0,如图所示，对于空间某点,P,的位置，在空间柱坐标系中可由三个坐标点（,r,，,，,z,）确定。,（,r,，