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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七节函数与方程,考纲点击,1.,结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数,.,2.,根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解,.,热点提示,1.,函数与方程的零点、二分法是新课标的新增内容，在近年的高考中一定有所体现,.,2.,本节内容多以选择、填空题的形式出现，属中低档题，不排除与其他知识结合，在知识交汇点处命题,.,1,函数的零点,(1),函数零点的定义,对于函数,y,(x)(xD),，把使,成立的实数,x,叫做函数,y,(x)(xD),的零点,(2),几个等价关系,方程,(x),0,有实数根,函数,y,(x),的图象与,有交点,函数,y,(x),有,(3),函数零点的判定,(,零点存在性定理,),如果函数,y,(x),在区间,a,，,b,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有,，那么函数,y,(x),在区间,内有零点，即存在,c(a,，,b),，使得,，这个,c,也就是,(x),0,的根,(x),0,x,轴,零点,(a)(b),0,(a,，,b),(c),0,0,0,0),的图象,与,x,轴的交点,(x,1,0),，,(x,2,0),(x,1,0),无交点,零点个数,两个零点,一个零点,无零点,2,二次函数,y,ax,2,bx,c(a0),的图象与零点的关系,3.,二分法,(1),二分法的定义,对于在区间,a,，,b,上连续不断且,的函数,y,(x),，通过不断地把函数,(x),的零点所在的区间,，使区间的两个端点逐步逼近,，进而得到零点近似值的方法叫做二分法,(2),用二分法求函数,(x),零点近似值的步骤,第一步，确定区间,a,，,b,，验证,，给定精确度,；,第二步，求区间,(a,，,b),的中点,x,1,；,(a)(b)0,一分为二,零点,(a)(b)0,第三步，计算,：,若,(x,1,),0,，则,x,1,就是函数的零点；,若,，则令,b,x,1,(,此时零点,x,0,(a,，,x,1,),；,若,，则令,a,x,1,(,此时零点,x,0,(x,1,，,b),；,第四步，判断是否达到精确度,：即若,|a,b|,，则得到零点近似值,a(,或,b),；否则重复第二、三、四步,(x,1,),(a)(x,1,)0,(x,1,)(b)0,（,1,）函数的零点是函数,y=f(x),与,x,轴的交点吗？,（,2,）是否任意函数都有零点？,提示：,（,1,）函数的零点不是函数,y=f(x),与,x,轴的交点，而是,y=f(x),与,x,轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数,.,(2),并非任意函数都有零点，只有,f(x)=0,有根的函数,y=f(x),才有零点,.,1,函数,(x),x,2,3x,4,的零点的个数是,(,),A,1,B,2,C,3 D,以上都不对,【,解析,】,(x),0,，即,x,2,3x,4,0,的根是,x,4,或,x,1,，函数,(x),0,有两个零点,【,答案,】,B,2,函数,(x),ln x,的零点所在的大致区间是,(,),A,(1,2)B,(2,3),C,(e,，,3)D,(e,，,),【,答案,】,B,【,解析,】,(2)(3)0.,故零点所在区间为,(2,3),3,函数图象与,x,轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是,(,),【,解析,】,B,中,x,0,左右两边的函数值均大于零，不适合二分法求零点的条件,【,答案,】,B,(1.600 0),0.200,(1.587 5),0.133,(1.575 0),0.067,(1.562 5),0.003,(1.556 2),0.029,(1.550 0),0.060,4,用二分法求函数,(x),3,x,x,4,的一个零点，其参考数据如下：,据此数据，可得,(x),3,x,x,4,的一个零点的近似值,(,精确到,0.01),为,_,【,解析,】,由表中,(1.562 5),0.003,，,(1.556 2),0.029,，可知零点近似值为,1.56.,【,答案,】,1.56,5,函数,(x),x,的零点个数为,_,【,答案,】,2,【,解析,】,方法二：,在同一直角坐标系中画出,y,x,与,y,的图象，观察其交点的个数，显然为,2,个,零点的判断,判断下列函数在给定区间是否存在零点,(1)(x),x,2,3x,18,，,x1,8,；,(2)(x),log,2,(x,2),x,，,x1,3,【,思路点拨,】,第,(1),问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第,(2),问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解,【,自主探究,】,方法一：,(1),1,2,31,18,200,，,(1)(8)log,2,2,1,0,，,(3),log,2,5,3log,2,8,3,0,，,(1)(3)0,，,故,(x),log,2,(x,2),x,，,x1,3,存在零点,方法二：设,y,log,2,(x,2),，,y,x,，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当,1x3,时，两图象有一个交点，,因此,(x),log,2,(x,2),x,，,x1,3,存在零点,【,方法点评,】,函数零点的存在性问题常用的方法有：,1,解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断,2,用定理：零点存在性定理,【,特别提醒,】,如果函数,y,(x),在,a,，,b,上的图象是连续不断的曲线，且,x,0,是函数在这个区间上的一个零点，但,(a)(b)0,不一定成立,3,利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数,y,(x),，,y,g(x),图象，其交点的横坐标是,(x),g(x),的零点,1,判断下列函数在给定区间上是否存在零点,(1)(x),x,3,1,；,(2)(x),x,，,x(0,1),【,解析,】,(1)(x),x,3,1,(x,1)(x,2,x,1),，,令,(x),0,，即,(x,1)(x,2,x,1),0,，,x,1,，,(x),x,3,1,有零点,1.,(2),方法一,：令,(x),0,得 ,x,0,，,0,，,x,1,，而,1,(0,1),，,(x),x,，,x(0,1),不存在零点,方法二,：令,y,，,y,x,，在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象，从图中可以看出当,0 x1,时，两图象没有交点,故,(x),x,，,x(0,1),没有零点,二分法求零点,用二分法求函数,(x),x,3,x,1,在区间,1,1.5,内的一个零点,(,精度度,0.1),【,分析,】,依据二分法求函数,(x),的零点近似值的步骤,【,自主探究,】,由于,(1),1,1,1,10,，,(x),在区间,1,1.5,存在零点，,取区间,1,1.5,作为计算的初始区间，,端,(,中,),点坐标,中点函数值符号,零点所在区间,|a,n,b,n,|,1,1.5,0.5,1.25,(1.25)0,1.25,1.375,0.125,1.312 5,(1.312 5)0,1.312 5,1.375,0.062 5,用二分法逐次计算列表如下：,|1.375,1.312 5|,0.062 50.1,，,函数的零点落在区间长度小于,0.1,的区间,1.312 5,1.375,内，故函数零点的近似值为,1.312 5.,【,方法点评,】,1.,求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中区间长度是否小于精确度,，当区间长度小于精确度,时，运算即告结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一个值,2,精确度与精确到是两个不同概念，精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件即取近似值之后相同，则此时四舍五入的值即为零点的近似解,2,求方程,2,x,4x,4,的一近似解,(,精确到,0.1),【,解析,】,原方程即为,2,x,4x,4,0,，令,(x),2,x,4x,4.,(0),2,0,40,4,30,，,(0)(1)0,，,函数在区间,(0,1),内有零点,x,0,，取区间,(0,1),的中点,x,1,0.5,，,用计算器可得,(0.5),0.59.,因为,(0.5)(1)0,，所以,x,0,(0.5,1),，,再取,(0.5,1),的中点,x,2,0.75,，,用计算器可得,(0.75)0.68,，因为,(0.5)(0.75)0,，所以,x,0,(0.5,0.75),，,同理可得,x,0,(0.5,0.625),，,x,0,(0.562 5,0.625),，,由于,|0.625,0.562 5|,0.062 50.1,，,此时区间,(0.562 5,0.625),的两个端点精确到,0.1,的近似值都是,0.6,，所以原方程精确到,0.1,的近似解为,0.6.,与二次函数有关的零点分布问题,(1),何值时，,(x),x,2,2mx,3m,4,有且仅有一个零点；有两个零点且均比,1,大；,(2),若函数,(x),|4x,x,2,|,a,有,4,个零点，求实数,a,的取值范围,【,思路点拨,】,(1),二次函数结合图象求解，也可用方程思想求解；,(2),利用函数图象求解,【,自主探究,】,(1),若函数,(x),x,2,2mx,3m,4,有且仅有一个零点，,则等价于,4m,2,4(3m,4),0,，,即,4m,2,12m,16,0,，即,m,2,3m,4,0,解得,m,4,或,m,1.,方法一：,方程思想,若,(x),有两个零点且均比,1,大，,设两零点分别为,x,1,，,x,2,，,则,x,1,x,2,2m,，,x,1,x,2,3m,4,，,故,m,的取值范围是,m|,5m,1,方法二,：函数思想,若,(x),有两个零点且均比,1,大，,结合二次函数图象可知只需满足,m,的取值范围是,m|,5m,1,(2),若,(x),|4x,x,2,|,a,有,4,个零点，,即,|4x,x,2,|,a,0,有四个根，,即,|4x,x,2,|,a,有四个根，,令,g(x),|4x,x,2,|,，,h(x),a.,则作出,g(x),的图象，,由图象可知要使,|4x,x,2,|,a,有四个根，,则,g(x),与,h(x),的图象应有,4,个交点,故需满足,0,a4,，即,4a0.,a,的取值范围是,(,4,0),【,方法点评,】,此类方程根的分布问题通常有两种解法：,1,一是方程思想利用根与系数的关系,2,函数思想构造二次函数利用其图象分析，从而求解，本题中,(2),没有用方程思想的原因是较为复杂，本题体现了函数与方程思想、数形结合思想的具体应用,3,已知函数,(x),x,2,(a,2,1)x,(a,2),的一个零点比,1,大，一个零点比,1,小；求实数,a,的取值范围,【,解析,】,方法一：,设方程,x,2,(a,2,1)x,(a,2),0,的两根分别为,x,1,，,x,2,(x,1,x,2,),，则,(x,1,1)(x,2,1)0,，,x,1,x,2,(x,1,x,2,),10,，,由根与系数的关系得,(a,2),(a,2,1),10,，,即,a,2,a,20,，,2a1.,方法二：,函数的大致图象如图所示，则有,(1)0,，,即,1+(a2-1)+a-20,，,a2+a-20,，,-2a1.,1,(2009,年福建高考,),若函数,(x),的零点与,g(x),4,x,2x,2,的零点之差的绝对值不超过,0.25,，则,(x),可以是,(,),A,(x),4x,1,B,(x),(x,1),2,C,(x),e,x,1,D,(x),ln,【,解析,】,4,个选项中的零点是确定的,又,g(0),4,0,20,2,10,，,g(x),4,x,2x,2,的零点介于 之间从而选,A.,【,答案,】,A,2,(2009,年重庆高考,),已知以,T,4,为周期的函数,(x),其中,m0,，若方程,3(x)
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