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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,名利率与实利率的关系,设一时期的名利率为,i,(m),与之等价的利率为,i,，则应有,1+i=(1+i,(m),/m),m,。,于是有 或,复习,贴现率：,利率：,单利:a(t)=1+it；,复利,：,a(t)=(1+i),t,；,单贴现：,a,-1,(t)=1-dt，(0t0）。,某人以季度转换年利8%投资$1000,问他每季度之末能取回多少使这笔钱在第十年末正好用完？,单利:a(t)=1+it；,年金金额为R的n期期末年金累积值为,某人以季度转换年利8%投资$1000,问他每季度之末能取回多少使这笔钱在第十年末正好用完？,有一笔$1000的贷款，为期10年。,这样，方程两边都表示投资1在投资之日的现值。,永久年金是付款永远继续下去，无期限的。,包含非标准时期付款的年金现值常记作 ，可解释为一项n个时期，每时期付款1的期末年金再加上最后一次在时刻k 的付款的现值。,在时刻k 的付款为,(2.1.4),(2.1.5),19,第19页，共41页。,例,有一笔$1000的投资用于在每年年底付$100，时间尽可能长。如果这笔基金的年实利率为5%，试确定可以作出多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小的付款是：,在最后一次正规付款的日期支付；,在最后一次正规付款以后一年支付；,在最后一次正规付款后的一年中间支付。,解,:设可做n次付款,令,故可做14次正规付款再加一次较小的最后付款.,20,第20页，共41页。,在变利息情形，ik有几种不同的含义,n时期期初年金的累积值为（考虑期初年金是为了使所有ik值都进入公式）,单利:a(t)=1+it；,例如：无偿还保证的优先股股息。,某人以季度转换年利8%投资$1000,问他每季度之末能取回多少使这笔钱在第十年末正好用完？,若此君活到99岁，则保险公司在这一保险业务上是否合算？(答:i)3.,解:设可做n次付款,令,故可做14次正规付款再加一次较小的最后付款.,有时这是唯一可行的方法。,如果这笔基金的年实利率为5%，试确定可以作出多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小的付款是：,包含非标准时期付款的年金现值常记作 ，可解释为一项n个时期，每时期付款1的期末年金再加上最后一次在时刻k 的付款的现值。,n时期期初年金的累积值为（考虑期初年金是为了使所有ik值都进入公式）,用此新的利率，确定年金值。,例 有一笔$1000的投资用于在每年年底付$100，时间尽可能长。,包含非标准时期付款的年金现值常记作 ，可解释为一项n个时期，每时期付款1的期末年金再加上最后一次在时刻k 的付款的现值。,(1)设较小的付款额为,x.,则到,14,年末,应有,(2)设第15年末付款,x.,则,(3)设付款时刻为,14+k,由,由(2.1.5),付款额为,21,第21页，共41页。,一笔基金每年年底存入,$1000,，一直到累积值为,$25000,为止，如果基金的实利率为,8%，,试确定需要多少次正规储蓄，及在最后一次正规储蓄后一年的最后储蓄金额为多少？,答,:n=14,x,=-1152.092,EX,22,第22页，共41页。,2.1.5,基本年金问题,未知时间问题,包含未知时间的问题不见得正好产生n是整数的解答。这些问题可以有如下三种处理方式,(1)在最后一次正规付款的同时作一次小的附加付款，称为,上升支付,；,(2)在最后一次正规付款的后一个时期作一次较小的付款，称为,下降支付,；,(3)在最后一次正规付款以后的时期中作一次较小的付款，称为,非标准时期支付,。,23,第23页，共41页。,包含非标准时期付款的年金现值常记作 ，可解释为一项n个时期，每时期付款1的期末年金再加上最后一次在时刻k 的付款的现值。,在时刻k 的付款为,(2.1.4),(2.1.5),24,第24页，共41页。,例,有一笔$1000的投资用于在每年年底付$100，时间尽可能长。如果这笔基金的年实利率为5%，试确定可以作出多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小的付款是：,在最后一次正规付款的日期支付；,在最后一次正规付款以后一年支付；,在最后一次正规付款后的一年中间支付。,解,:设可做n次付款,令,故可做14次正规付款再加一次较小的最后付款.,25,第25页，共41页。,(1)设较小的付款额为,x.,则到,14,年末,应有,(2)设第15年末付款,x.,则,(3)设付款时刻为,14+k,由,由(2.1.5),付款额为,26,第26页，共41页。,一笔基金每年年底存入,$1000,，一直到累积值为,$25000,为止，如果基金的实利率为,8%，,试确定需要多少次正规储蓄，及在最后一次正规储蓄后一年的最后储蓄金额为多少？,答,:n=14,x,=-1152.092,EX,27,第27页，共41页。,在解年金的未知利率问题时，常用如下的Newton-Raphson迭代公式,(2.1.6),或,(2.1.7),初值为,(2.1.8),未知利率问题,28,第28页，共41页。,例,季度转换年利率应为多少，才能使在5年内每季度之末付款$1000的现值为$16000?,解:n=5,4=20,k=1000,a=16000,设,季度内实利率为j,则,或,编写程序,分别利用Newton-Raphson迭代公式和线性插值公式解年金的未知利率问题,并比较不同方法的精度与运算速度.,29,第29页，共41页。,变利息,在变利息情形，,i,k,有几种不同的含义,(1)若,i,k,表示第,k,个时期所用的利率,不管付款是在什么时侯。则n时期期末年金的现值为,(2.1.9),30,第30页，共41页。,n时期期初年金的累积值为（考虑期初年金是为了使所有,i,k,值都进入公式）,期末年金的累积值可由期初年金得到：,(2.1.10),(2.1.11),该期初年金是从时刻1而不是时刻0开始的！,31,第31页，共41页。,(3)在计算累积值时，若在时刻,k,的付款在余下的累积期间按利率,i,k,计息，则n时期期初年金的累积值为,(2)在计算现值时，若,i,k,表示在时刻,k,的付款经历所有,k,个时期的利率，则n时期期末年金的现值为,(2.1.12),(2.1.13),期末年金的累积值为,32,第32页，共41页。,2.2.广义年金,处理,支付频率不同于利息转换频率的年金的一般步骤是：,找出转换频率与支付频率相同的利率，它应与原始利率等价。,用此新的利率，确定年金值。,付款周期与利息转换时期不同的年金称为,广义年金,.,33,第33页，共41页。,例,有一笔投资基金，在头两年每季度之初存入$100,其次两年，每季度之初存入$200,若基金的利率为月度转换20%，,问第4年末的累积值是多少？,解,:先将,月度转换利率化为季度转换利率.由,第4年末的累积值是,34,第34页，共41页。,EX1,.证明每k个利息转换时期之末付1的n期年金的,现值为,，累积值为,EX2,.若一项年金在总共n个利息转换时期内，每1/m个利息转换时期之末支付1/m,则此项年金的,现值为,，累积值为,35,第35页，共41页。,2.3 变化年金,2.3.1 一般变化年金,若年金的付款金额是变化的,但支付时期和利息转换时期一致,则称为,一般变化年金,。,自然，任何类型的变额年金可以这样计算：分别对每一次付款取现值或累积值，然后将其结果相加。有时这是唯一可行的方法。然而，也确实有若干种变额年金，对它们可以建立相对简单的表达式。它们是：,(1)付款金额按算术级数变化的年金-等量变化年金,(2)付款金额按几何级数变化的年金-比例变化年金,36,第36页，共41页。,等量变化年金,考虑一项有n个时期的期末年金，其付款金额从P0开始，其后每个时期增加Q。(Q可正可负，但,P+(n-1)Q0）。每时期利率为i。则此项年金的,现值为,(2.3.1),累积值为,(2.3.2),37,第37页，共41页。,特别，当P=Q=1时，称为,递增年金,。,现值为,(2.3.3),累积值为,(2.3.4),(2.3.3)式可改写为,字面解释：n个时期中每时期初投资1的年金现值等于各时期赚得的利息的现值和最后返回的本金的现值,38,第38页，共41页。,当P=n，Q=-1时，称为,递减年金,。,现值为,(2.3.5),累积值为,(2.3.6),EX 有一项期末年金，其付款从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现值。,（答：）,39,第39页，共41页。,比例变化年金,考虑一项有n个时期的期末年金，其第一次付款额为1而其后各次则按公比为(1+k)的几何级数增长。每时期利率为i。则此项年金的现值为,(2.3.7),40,第40页，共41页。,课堂练习,自学,p58,“实例分析”,考虑下列问题:,1.设某养老金计划从25岁开始到85岁结束.参加者的具体存款方式为:在25岁时,每月存款100元,以后年龄每增加2岁,月存款额增加50元.(即27-28岁,150;29-30岁200,).在年利率5%的情况下,给出不同年龄的计划参加者的月退休金列表.,2.参考,p60,2.4.3,解释利用Newton-Raphson 迭代计算年金利率的初值近似公式.,41,第41页，共41页。,
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