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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,首 页,上一页,下一页,末 页,第六篇 平面解析几何,第三节直线的交点坐标与距离公式,考纲点击,1.,能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标,.,2.,掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离,.,热点提示,1.,本节重点体现一种思想,转化与化归的思想，这种思想是高考的热点之一,.,2.,本部分在高考中主要以选择、填空为主，属于中低档题目,.,1,两条直线的交点,设两条直线的方程是,l,1,：,A,1,x,B,1,y,C,1,0,，,l,2,：,A,2,x,B,2,y,C,2,0,，两条直线的,就是方程组 的解，若方程组有唯一解，则两条直线,，此解就是,；若方程组,，则两条直线无公共点，此时两条直线,；反之，亦成立,交点坐标,相交,交点的坐标,无解,平行,【,答案,】,C,2,已知直线,l,1,与,l,2,：,x,y,1,0,平行，且,l,1,与,l,2,的距离是 则直线,l,1,的方程为,(,),A,x,y,1,0,B,x,y,3,0,C,x,y,1,0,或,x,y,3,0,D,x,y,0,或,x,y,2,0,解得，,c,3,或,c,1.,l,1,的方程为,x,y,1,0,或,x,y,3,0.,【,答案,】,C,3,过点,A(4,，,a),和,B(5,，,b),的直线与直线,y,x,m,平行，则,|AB|,的值为,(,),A,6 B.,C,2 D,不能确定,【,答案,】,B,4,已知直线,l,1,：,2x,y,6,0,和点,A(1,，,1),，过点,A,作直线,l,与已知直线相交于,B,点，且,|AB|,5,，则直线,l,的方程为,_,求得,B,点坐标为,(1,4),，此时,|AB|,5,，,即,x,1,为所求,设过点,A(1,，,1),且与,y,轴不平行的直线为,y,1,k(x,1),，,即,3x,4y,1,0,为所求,【,答案,】,x,1,或,3x,4y,1,0,5,已知直线,l,1,：,kx,y,1,k,0,与,l,2,：,ky,x,2k,0,的交点在第一象限，则实数,k,的取值范围为,_,【,答案,】,k,0,或,k,1,已知点,P(2,，,1),(1),求过,P,点且与原点距离为,2,的直线,l,的方程；,(2),求过,P,点且与原点距离最大的直线,l,的方程，最大距离是多少？,(3),是否存在过,P,点且与原点距离为,6,的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由,【,自主探究,】,(1),过,P,点的直线,l,与原点距离为,2,，而,P,点坐标为,(2,，,1),，可见，过,P(2,，,1),且垂直于,x,轴的直线满足条件,此时,l,的斜率不存在，其方程为,x,2.,若斜率存在，设,l,的方程为,y,1,k(x,2),，,即,kx,y,2k,1,0.,此时,l,的方程为,3x,4y,10,0.,综上，可得直线,l,的方程为,x,2,或,3x,4y,10,0.,(2),作图可得过,P,点与原点,O,距离最大的直线是过,P,点且与,PO,垂直的直线，,由,l,OP,，得,k,l,k,OP,1,，所以,k,l,2.,由直线方程的点斜式得,y,1,2(x,2),，,即,2x,y,5,0.,即直线,2x,y,5,0,是过,P,点且与原点,O,距离最大的直线，最大距离为,(3),由,(2),可知，过,P,点不存在到原点距离超过的 直线，因此不存在过,P,点且到原点距离为,6,的直线,【,方法点评,】,1.,点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握,2,点到几种特殊直线的距离,(1),点,P(x,0,，,y,0,),到,x,轴的距离,d,|y,0,|.,(2),点,P(x,0,，,y,0,),到,y,轴的距离,d,|x,0,|.,(3),点,P(x,0,，,y,0,),到与,x,轴平行的直线,y,a,的距离,d,|y,0,a|.,(4),点,P(x,0,，,y,0,),到与,y,轴平行的直线,x,b,的距离,d,|x,0,b|.,【,特别提醒,】,点到直线的距离公式当,A,0,或,B,0,时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离,1,已知直线,l,经过点,P(3,1),，且被两条平行直线,l,1,：,x,y,1,0,和,l,2,：,x,y,6,0,截得的线段长为,5,，求直线,l,的方程,【,解析,】,方法一：由题意，直线,l1,，,l2,之间的距离为,且直线,l,被平行直线,l1,，,l2,所截得的线段,AB,的长为,5.,设直线,l,与直线,l1,的夹角为,，,则,，故,=45,.,由直线,l1,：,x+y+1=0,的倾斜角为,135,，知直线,l,的倾斜角为,0,或,90,.,又由直线,l,过点,P(3,1),，,故直线,l,的方程为,x=3,或,y=1.,方法二：设直线,l,与,l1,，,l2,分别相交于,A(x1,，,y1),，,B(x2,，,y2),，,则,x1+y1+1=0,，,x2+y2+6=0,，,两式相减得,(x1-x2)+(y1-y2)=5,又,(x,1,x,2,),2,(y,1,y,2,),2,25,由上可知，直线,l,的倾斜角分别为,0,或,90,，,故所求的直线方程为,x,3,或,y,1.,求直线,l,1,：,y,2x,3,关于直线,l,：,y,x,1,对称的直线,l,2,的方程,【,思路点拨,】,转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解,设直线,l,2,的方程为,y,1,k(x,2),，,即,kx,y,2k,1,0.,在直线,l,上任取一点,(1,2),，,由题设知点,(1,2),到直线,l,1,、,l,2,的距离相等，,由点到直线的距离公式得,直线,l,2,的方程为,x,2y,0.,方法二：设所求直线上一点为,P(x,，,y),，,则在直线,l,1,上必存在一点,P,1,(x,0,，,y,0,),与点,P,关于直线,l,对称,代入直线,l,1,：,y,2x,3,得,x,1,2(y,1),3,，,整理得,x,2y,0.,所以所求直线方程为,x,2y,0.,【,方法点评,】,常见的对称问题：,(1),中心对称,若点,M(x,1,，,y,1,),及,N(x,，,y),关于,P(a,，,b),对称，则由中点坐标公式得,直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用,l,1,l,2,，由点斜式得到所求直线方程,(2),轴对称,点关于直线的对称,若两点,P,1,(x,1,，,y,1,),与,P,2,(x,2,，,y,2,),关于直线,l,：,Ax,By,C,0,对称，则线段,P,1,P,2,的中点在对称轴,l,上，而且连接,P,1,P,2,的直线垂直于对称轴,l,，由方程组,可得到点,P,1,关于,l,对称的点,P,2,的坐标,(x,2,，,y,2,)(,其中,A,0,，,x,1,x,2,),直线关于直线的对称,此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行,2,在,MPQ,中，已知点,M,的坐标为,(3,5),，点,P,在直线,l,：,x,2y,2,0,上，点,Q,在,y,轴上，当,P,、,Q,在什么位置时，,MPQ,的周长最小？,【,解析,】,如图所示，易得点,M(3,5),关于,y,轴的对称点,M2(-3,5),，关于直线,l,的对称点,M1(5,1),，,则直线,M1M2,的方程为,x+2y-7=0.,解得直线,M1M2,与,y,轴的交点,Q.,又解方程组,解得交点,P,的坐标为,则,MPQ,的周长为,MQ+PQ+MP=M2Q+PQ+M1P=M1M2.,故此时,MPQ,的周长最小,求经过直线,l,1,：,3x,2y,1,0,和,l,2,：,5x,2y,1,0,的交点，且垂直于直线,l,3,：,3x,5y,6,0,的直线,l,的方程,【,思路点拨,】,(1),先求交点，然后根据,l,3,的斜率求出,l,的斜率，利用点斜式写出方程；,(2),利用直线系来求,方法二：,l,l,3,，故,l,是直线系,5x,3y,C,0,中的一条，而,l,过,l,1,、,l,2,的交点,(,1,2),，故,5,(,1),3,2,C,0,，由此求出,C,1,，故,l,的方程为,5x,3y,1,0.,方法三：,l,过,l,1,、,l,2,的交点，,故,l,是直线系,3x,2y,1,(5x,2y,1),0,中的一条，,将其整理，得,(3,5)x,(2,2)y,(,1,),0.,代入直线系方程即得,l,的方程为,5x,3y,1,0.,方法四：,l,l,3,，故,l,属于直线系,5x,3y,C,0,又,l,过,l,1,、,l,2,的交点，故,l,又属于直线系,(3,5)x,(2,2)y,(,1,),0,【,方法点评,】,几种常用的直线系方程如下：,(1),共点直线系方程：经过两直线,l,1,：,A,1,x,B,1,y,C,1,0,，,l,2,：,A,2,x,B,2,y,C,2,0,交点的直线系方程为,A,1,x,B,1,y,C,1,(A,2,x,B,2,y,C,2,),0,，其中,A,1,B,2,A,2,B,1,0,，待定系数,R.,在这个方程中，无论,取什么实数，都得不到,A,2,x,B,2,y,C,2,0,，因此它不能表示直线,l,2,.,(2),过定点,(x,0,，,y,0,),的直线系方程为,y,y,0,k(x,x,0,)(k,为参数,),及,x,x,0,.,(3),平行直线系方程：与直线,y,kx,b,平行的直线系方程为,y,kx,m(m,为参数且,m,b),；与直线,Ax,By,C,0,平行的直线系方程是,Ax,By,0(,C,，,是参数,),(4),垂直直线系方程：与直线,Ax,By,C,0(A,0,，,B,0),垂直的直线系方程是,Bx,Ay,0(,为参数,),如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解,3,求过直线,l,1,：,3x,2y,7,0,与,l,2,：,x,y,1,0,的交点，且平行于直线,5x,y,3,0,的直线方程,【,解析,】,方法一：由,得两直线交点为,(1,2),，,又,5x,y,3,0,的斜率为,5,，,所求直线为,y,2,5(x,1),即,5x,y,3,0.,方法二：设所求直线方程为：,3x,2y,7,(x,y,1),0,，,即,(,3)x,(2,)y,7,0,，,因此直线与,5x,y,3,0,平行，,(,3),5(2,),解得,所求直线为,3x,2y,7,(x,y,1),0,，,即,5x,y,3,0.,1,(2009,年江西高考,),设直线系,M,：,xcos,(y,2)sin,1(02),，对于下列四个命题：,A,M,中所有直线均经过一个定点,B,存在定点,P,不在,M,中的任一条直线上,C,对于任意整数,n(n3),，存在正,n,边形，其所有边均在,M,中的直线上,D,M,中的直线所能围成的正三角形面积都相等,其中真命题的代号是,_(,写出所有真命题的代号,),【,解析,】,点,(0,2),到直线系,M,：,xcos,(y,2)sin,1(02),的距离,此直线系,M,是以,(0,2),为圆心，半径为,1,的圆的切线,如图,1,所示，选项,A,显然不正确，所有切线不会过一个定点,选项,B,正确，存在定点,P(0,2),不在,M,中的任一条直线上,选项,C,正确，当,n,3,，存在如图,2,正,n,边形，其边均为,M,中直线,选项,D,不正确，如图,3,，,ABC,与,A,B,C,均为等边三角形显然面积不相等,【,答案,】,B,，,C,2,(2009,年全国,高考,),若直线,m,被两平行线,l,1,：,x,y,1,0,与,l,2,：,x,y,3,0,所截得的线段的长为,2,，则,m,的倾斜角可以是,15,30,45,60,75,其中正
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