高等数学第二节对面积的曲面积分实用全套PPT

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学第二节对面积的曲面(qmin)积分,第一页，共20页。,一、对面积的曲面积分(jfn)的定义,二、对面积(min j)的曲面积(min j)分的性质,三、对面积的曲面积分(jfn)的计算,四、对面积的曲面积分的应用,第二页，共20页。,把曲面分成(fn chn)n片小曲面,这些小曲面为S1,S2,Sn,Si也表示Si的面积(i=1,2,n).,一、对面积的曲面积分(jfn)的定义,设有一曲面形构件,它所占位置(wi zhi)的空间曲面见图9-4,面密度为连续函数,u,=,f,(,x,y,z,),利用分割、作和、取极限的方法求该构件的质量.,在,S,i,上取点,M,i,(,i,i,i,),称,S,i,任意取两点间距离的最大值为,S,i,的直径,S,i,图9-4,第三页，共20页。,在Si上取点Mi(i,i,i),记为n片小曲面直径的最大值.,则曲面形构件(gujin)的质量为,其中(qzhng)为平面,在Si上取点Mi(i,i,i),记为n片小曲面直径的最大值.,一、对面积的曲面积分(jfn)的定义,如果是闭合曲面(qmin)上的积分,又可记成,定理3 设 f(x,y,z)与满足定理 2 的条件,若 f(x,y,z)=f(x,y,-z),关于xOy对称,1表示的位于(wiy)xOy面上方的部分,则有,此壳面密度为=z.,三、对面积的曲面积分(jfn)的计算,存在(cnzi).,其中(qzhng):x2+y2=R2,0 z h(R 0),此壳面密度为=z.,其中(qzhng)为平面,二、对面积(min j)的曲面积(min j)分的性质,在第一(dy)卦限中的部分.,则曲面形构件(gujin)的质量为,式中为n片小曲面(qmin)直径中的最大值.,S,i,图9-4,第四页，共20页。,定义2 设是光滑曲面,函数u=f(x,y,z),在上有界,分为n片小曲面,这些(zhxi)小曲面为S1,S2,Sn,Si 也表示Si 的面积(i=1,2,n).,如果(rgu),存在(cnzi),则称该值f(x,y,z)在上的对面积的曲面积分,也称为第一型的曲面积分,记成,在,S,i,上取点,M,i,(,i,i,i,),记,为,n,片小曲面直径的最大值.,其中,f,(,x,y,z,)称为被积分函数,称为积分曲面.,第五页，共20页。,如果是闭合曲面(qmin)上的积分,又可记成,定理1 当f(x,y,z)在光滑或分段光滑曲面(qmin)上连续时,存在(cnzi).,第六页，共20页。,二、对面积(min j)的曲面积(min j)分的性质,设下面所涉及的曲面积分是存在(cnzi)的,则有下述性质,性质(xngzh)1 设k为常数,则,性质2,第七页，共20页。,性质(xngzh)3 将分成1 与2,则,k为常数(chngsh),A为的面积.,性质(xngzh)4,性质5,若在上,f,(,x,y,z,),g,(,x,y,z,),则,第八页，共20页。,性质7 当 f(x,y,z)在光滑曲面上连续(linx)时,必有(,)在上,使得,性质(xngzh)6 在上若没m f(x,y,z)M,则,其中A表示(biosh)的面积.,第九页，共20页。,三、对面积的曲面积分(jfn)的计算,定理2 设曲面:在z=z(x,y),它在xOy面上的投影区域为Dxy,z=z(x,y)在Dxy上具有(jyu)连续偏导数,f(x,y,z)在上连续,则有公式,如果(rgu)曲面投影到yOz或 zOx面,则有下述计算曲面积分的公式,第十页，共20页。,定理3 设 f(x,y,z)与满足定理 2 的条件,若 f(x,y,z)=f(x,y,-z),关于xOy对称,1表示的位于(wiy)xOy面上方的部分,则有,若,f,(,x,y,z,)=,f,(,x,y,z,),则有,第十一页，共20页。,例1 求,其中(qzhng)为平面,中解出,在第一(dy)卦限中的部分.,将在xOy面上(min shn)投影区域记为Dxy,如图9-5,第十二页，共20页。,图,9-5,第十三页，共20页。,例2 求,其中(qzhng):x2+y2=R2,0 z h(R 0),解法(ji f)1 把分成前后两部分1与2,则Dyz:-R y R,0 z h,解法2 面积(min j)的微分dS=2Rdz,故,第十四页，共20页。,设有一分布着质量的光滑曲面(qmin),在点(x,y,z)处的面密度为连续函数f(x,y,z),利用微元分析法不难推得下面各公式.,四、对面积的曲面(qmin)积分的应用,质量(zhling),设重心为,则,第十五页，共20页。,转动惯量,式中Ix,Iy,Iz,Io,分别(fnbi)表示曲面对x轴,y轴,z轴以及原点的转动惯量.,第十六页，共20页。,例3 求抛物面壳的质量(zhling),此壳面密度为,=,z.,所求质量(zhling)为,第十七页，共20页。,故所求转动惯量为,例4 求面密度为常数(chngsh)0的半球壳 x2+y2+z2=a2 (0 z)对于z 轴的转动惯量.,第十八页，共20页。,作业(zuy),P89 1、2、5、6,第十九页，共20页。,谢谢(xi xie)观看,第二十页，共20页。,