资源描述
,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二节 直线的方程,一、直线方程的形式及适用条件,名称,几何条件,方程,局限性,点斜式,过点,(,x,0,，,y,0,),，斜率为,k,不含,的直线,斜截式,斜率为,k,，纵截距为,b,不含,的直线,y,y0,k(x,x0),y,kx,b,垂直于,x,轴,垂直于,x,轴,名称,几何条件,方程,局限性,两点式,过两点,(,x,1,，,y,1,),，,(,x,2,，,y,2,),，,(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),不包括,的直线,截距式,在,x,轴、,y,轴上的截距分别为,a,，,b,(,a,，,b,0),不包括,和,的直线,Ax,By,C,0(A,，,B,不全为,0),垂直于坐,标轴,垂直于,坐标轴,过原点,一般式,过两点,P1,（,x1,y1,），,P2(x2,y2),的直线是否一定可用两点式方程表示？,提示：不一定,.,(1),若,x1=x2,且,y1y2,直线垂直于,x,轴，方程为,x=x1.,(2),若,x1x2,且,y1=y2,，直线垂直于,y,轴，方程为,y=y1.(3),若,x1x2,且,y1y2,直线方程可用两点式表示,.,二、线段的中点坐标公式,若点,P1,，,P2,的坐标分别为,(x1,，,y1),，,(x2,，,y2),，且线段,P1P2,的中点,M,的坐标为,(x,，,y),，则,1,过点,A(,3,1),，倾斜角的余弦为,0,的直线方程是,(,),A,x,3,B,y,1,C,y,3 D,x,1,解析：由已知,cos,0,，,，,x,3.,答案：,A,2,如果,AC,0,，且,BC,0,，那么直线,Ax,By,C,0,不通过,(,),A,第一象限,B,第二象限,C,第三象限,D,第四象限,解析：由,AC,0,，,BC,0,，直线过一、二、四象限,答案：,C,3,过点,(,1.3),且垂直于直线,x,2y,3,0,的直线方程为,(,),A,2x,y,1,0 B,2x,y,5,0,C,x,2y,5,0 D,x,2y,7,0,解析：直线,x,2y,3,0,的斜率为,k,，则所求直线的斜率为,2,，故所求直线方程为,y,3,2(x,1),，即,2x,y,1,0.,答案：,A,4,已知直线的倾斜角是,60,，在,y,轴上的截距是,5,，则该直,线的方程为,_,解析：因为直线的倾斜角是,60,，所以直线的斜率为,k,tan60,，又因为直线在,y,轴上的截距是,5,，由斜截式，得直线的方程为,y,5.,答案：,y,5,5,已知直线,l,过点,P(,2,3),，它的一个方向向量为,a,(2,4),，,则直线,l,的方程为,_,解析：由已知,k,2,，,l,：,y,3,2(x,2),，,即,2x,y,7,0.,答案：,2x,y,7,0,1,用待定系数法求直线方程的步骤：,(1),设所求直线方程的某种形式,(2),由条件建立所求参数的方程,(,组,),(3),解这个方程,(,组,),求参数,(4),把所求的参数值代入所设直线方程,2,求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰,当地选用直线方程的形式准确写出直线方程要注意若,不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以,讨论在用截距式时，应先判断截距是否为,0.,若不确定，,则需分类讨论,ABC,的三个顶点为,A(,3,0),，,B(2,1),，,C(,2,3),，求：,(1)BC,所在直线的方程；,(2)BC,边上中线,AD,所在直线的方程；,(3)BC,边上的垂直平分线,DE,的方程,结合所结合所给条件选择适当的直线方程求解,.,【,解,】,(1),因为直线,BC,经过,B(2,1),和,C(,2,3),两点，由两点式得,BC,的方程为 即,x,2y,4,0.,(2),设,BC,中点,D,的坐标,(x,，,y),，则,BC,边的中线,AD,过点,A(,3,0),，,D(0,2),两点，由截距式得,AD,所在直线方程为 即,2x,3y,6,0.,(3)BC,的斜率,k1,，则,BC,的垂直平分线,DE,的斜率,k2,2,，由斜截式得直线,DE,的方程为,y,2x,2.,1,在本例条件下，求过,B,点且与,AC,平行的直线方程,解：,所求直线的斜率为,3.,又过点,B(2,1),，,所求直线方程为,y,1,3(x,2),即,3x,y,5,0.,1,“截距”与“距离”是两个不同的概念，横截距是指直线与,x,轴的交点的横坐标，纵截距是指直线与,y,轴交点的纵坐,标截距可以为任意实数，而距离是大于或等于零的,实数,2,题目中凡涉及“截距相等”、“截距互为相反数”、“截距,的绝对值相等”等条件时，一定要考虑截距为零的情,形截距要加绝对值符号后才能成为线段的长度,已知直线,l,过点,P(3,2),，且与,x,轴、,y,轴的正半轴分别交于,A,、,B,两点，如右图所示，求,ABO,的面积的最小值及此时直线,l,的方程,先建立,AB,所在直线方程,再求出,A,B,两点的坐标,表示出,ABO,的面积,然后利用相关的数学知识求最值,.,【,解,】,法一：设,A(a,0),，,B(0,，,b)(a,0,，,b,0),，,则直线,l,的方程为,l,过点,P(3,2),，,从而,故有,当且仅当,a,3,即,a,6,时，,(SABO)min,12,，此时,b=,直线,l,的方程为,=1,即,2x,3y,12,0.,法二：设直线方程为,代入,P(3,2),得,得,ab24,，从而,SAOB,ab12,，,此时,方程为,2x,3y,12,0.,法三：依题意知，直线,l,的斜率存在,设直线,l,的方程为,y,2,k(x,3)(k,0),，,则有,A(3,，,0),，,B(0,2,3k),，,当且仅当,9k,时，,即,k,时，等号成立，,故所求直线的方程为,2x,3y,12,0.,2,在本例条件下，求,l,在两轴上的截距之和最小时直线,l,的方程,解：法一：设,l,的斜率为,k,，则,l,的方程为,y,k(x,3),2,，令,x,0,得,B(0,2,3k),，令,y,0,得,A(3,，,0),，,l,在两轴上的截距之和为,5,2 (,当且仅当,k,时，等号成立,),k,时，,l,在两轴上截距之和最小，此时,l,的方程为,法二：设,A(a,0),，,B(0,，,b)(a,0,，,b,0),，则直线,l,的方程为,故当且仅当,即 时截距之和最小，此时,l,的方程为,x,3y,3,6,0.,a+b=(a+b),用解析法解决实际问题，就是在实际中建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而把问题化为代数问题，利用代数的方法使问题得到解决,在路边安装路灯，路宽,23 m,，灯杆长,2.5 m,，且与灯柱成角,120,，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直当灯柱高为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？,(,精确到,0.01 m),本题是实际应用问题，首先通过作图建立直角坐标系，从而化归为数学问题解决,.,【,解,】,记灯柱顶端为,B,，灯罩顶为,A,，灯杆为,AB,，灯罩轴线与道路中线交于点,C.,以灯柱底端,O,为原点，灯柱为,y,轴，建立如图所示的直角坐标系点,B,的坐标为,(0,，,h),，点,C,的坐标为,(11.5,0),OBA,120,，直线,BA,的倾斜角为,30,，,则点,A,的坐标为,(2.5cos30,，,h,2.5sin30),，即,(1.25,，,h,1.25),，,CABA,，,KCA,由直线的点斜式方程，,得,CA,的方程为,y,(h,1.25),(x,1.25 ),，,灯罩轴线,CA,过点,C(11.5,0),，,(h,1.25),(11.5,1.25 ),，,解得,h14.92(m),故灯柱高约为,14.92 m.,3,一根弹簧，挂,5 kg,的物体，长,10 cm,，挂,8 kg,的物体时,长,16 cm,，已知弹簧长度,l(cm),和所挂物体的重量,W(kg),的,关系可以用直线方程来表示，用两点式表示这个方程，,并且根据这个方程，求弹簧长为,12 cm,时所挂物体的,重量,解：以,W,为横坐标,l,为纵坐标，则由题意知直线过点,(5,10),和点,(8,16),，由直线的两点式方程得所求方程为：,把,l,12,代入得,W,6,，即弹簧长为,12 cm,时所挂物体的重量为,6 kg.,直线方程问题在高考中是每年必考内容，大致考查方式有：,（,1,）在选择、填空中与平行、垂直的条件相结合求直线方程,.,（,2,）与圆相联系，涉及圆的切线、弦长问题考查直线方程的应用,.,（,3,）在解答题中考查直线与圆锥曲线的位置关系，多用点斜式和斜截式,.2009,年安徽卷在选择题中将垂直关系与直线方程的求法相结合进行考查，难度不大,.,属容易题,.,(2009,安徽高考,),直线,l,过点,(,1,2),且与直线,2x,3y,4,0,垂,直，则,l,的方程是,(,),A,3x,2y,1,0,B,3x,2y,7,0,C,2x,3y,5,0 D,2x,3y,8,0,解析,法一：由直线,2x,3y,4,0,得其斜率为,.,k2,.,又,l,过点,(,1,2),，,l,：,y,2,(x,1),即,3x,2y,1,0.,法二：设,l,的方程为,3x,2y,m,0.,l,过点,(,1,2),代入，,m,1.,即方程为,3x,2y,1,0.,答案,A,本例解法二中采用了与已知直线,Ax,By,C,0,垂直的直线方程可设为,Bx,Ay,m,0,，注意应用,
展开阅读全文