定积分的概念与性质课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五章 定积分,定积分和不定积分是积分学的两个,一种认识问题、分析问题、解决问题的,definite integral,不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想 ,主要组成部分.,思想方法.,1,第五章 定积分,基本要求,理解定积分的定义和性质,微积分基本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法.,2,第一节,定积分,的概念与性质,定积分问题举例,定积分的定义,关于函数的可积性,定积分的几何意义和物理意义,小结 思考题 作业,定 积 分,定积分的性质,*,*,*,definite integral,3,1.,曲边梯形的面积,定积分概念也是由大量的实际问题,求由连续曲线,一、,定积分问题举例,抽象出,来的,现举两例.,定积分的概念与性质,4,用,矩形面积,梯形面积,（五个小矩形）,（十个小矩形）,思想,以直代曲,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边,定积分的概念与性质,近似取代曲边梯形面积,5,采取下列四个步骤来求面积,A,.,(1),分割,(2),取近似,定积分的概念与性质,长度为,为高的小矩形,面积近似代替,6,(3),求和,这些小矩形面积之和可作为曲边梯形,面积,A,的近似值.,(4),求极限,为了得到,A,的精确值,取极限,形的面积:,分割无限加细,定积分的概念与性质,极限值就是曲边梯,7,2,.,求变速直线运动的路程,思想,以不变代变,设某物体作直线运动,已知速度,是时间间隔,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,思路,把整段时间分割成若干小段,每小段上,速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便,得到路程的近似值,最后通过对时间的无限,细分过程求得路程的精确值,定积分的概念与性质,8,(1),分割,(3),求和,(4),取极限,路程的精确值,(2),取近似,定积分的概念与性质,表示在时间区间,内走过的路程.,某时刻的速度,9,二、定积分的定义,设函数,f,(,x,)在,a,b,上有界,在,a,b,中任意插入,定义,若干个分点,把区间,a,b,分成,n,个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,如果不论对,(1),(2),(3),(4),上两例共同点:,2)方法一样;,1)量具有可加性,3)结果形式一样.,定积分的概念与性质,10,被积函数,被积表达式,记为,积分和,怎样的分法,也不论在小区间,上点,怎样的取法,只要当,和,S,总趋于确定的,极限,I,称这个极限,I,为函数,f,(,x,)在区间,a,b,上的,定积分.,定积分的概念与性质,积分下限,积分上限,积分变量,a,b,积分区间,11,(2),的结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.,定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数,定积分的概念与性质,有关;,注,无关.,而与积分变量的记号无关.,12,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,1.几何意义,定积分的概念与性质,三、定积分的几何意义和物理意义,13,几何意义,定积分的概念与性质,各部分面积的代数和.,取负号.,它是介于,x,轴、函数,f,(,x,)的图形及两条,直线,x,=,a,x,=,b,之间的,在,x,轴上方的面积取正号;,在,x,轴下方的面积,14,例,解,2.物理意义,t,=,b,所经过的路程,s.,o,x,y,作直线运动的物体从时刻,t,=,a,到时刻,定积分的概念与性质,定积分,表示以变速,15,定理1,定理2,或,记为,黎曼 德国数学家(18261866),四、,关于函数的可积性,可积.,且只有有限个,可积.,当函数,的定积分存在时,可积.,黎曼可积,第一类间,断点,充分条件,定积分的概念与性质,16,例1,下面举例按定义计算定积分.,求函数,上的定积分.,定积分的概念与性质,17,定积分的概念与性质,讨论定积分的近似计算问题.,存在.,n,等分,用分点,分成,n,个长度相等,的小区间,长度,取,有,每个小区间,对任一确定的自然数,18,定积分的概念与性质,取,如取,矩形法,公式,矩形法的,几何意义,19,对定积分的,补充规定,说明,定积分的概念与性质,五、定积分的性质,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,20,证,(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况),性质1,定积分的概念与性质,21,证,性质2,性质1和性质2称为,定积分的概念与性质,线性性质,.,22,补充,例,(定积分对于积分区间具有可加性),则,性质3,定积分的概念与性质,假设,的相对位置如何,上式总成立.,不论,23,证,性质4,性质5,定积分的概念与性质,如果在区间,则,24,解,令,于是,比较积分值,和,的大小.,例2,定积分的概念与性质,25,性质5的推论1,证,定积分的概念与性质,如果在区间,则,于是,性质5,如果在区间,则,26,思考,比较下列积分的大小.,(1),(2),(3),(4),(5),定积分的概念与性质,27,证,说明,性质5的推论2,定积分的概念与性质,性质5,如果在区间,则,可积性是显然的.,由,推论1,28,证,(此性质可用于估计积分值的大致范围),性质6,分别是函数,最大值及最小值.,则,定积分的概念与性质,29,定积分的概念与性质,例3.,试证:,证:,设,则在,上,有,即,故,即,30,证,由闭区间上连续函数的介值定理:,性质7(定积分中值定理）,定积分的概念与性质,如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立:,积分中值公式,至少存在一点,使,即,31,定理用途,注,定积分的概念与性质,性质7(定积分中值定理）,如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立:,1.无论从几何上,还是从物理上,都容易理解,平均值公式,求,连续变量的,平均值,要用到.,如何去掉积分号来表示积分值.,2.事实上,32,积分中值公式的几何解释,至少存在一点,在区间,使得以区间,为底边,以曲线,为曲边的曲边梯形的,面积,等于同一底边而高为,的一个矩形的面积.,定积分的概念与性质,33,例5,若函数,上连续,且,证明:,定积分的概念与性质,34,例6.,用定积分表示下列极限:,解,:,定积分的概念与性质,35,3.,定积分的性质,(注意估值性质、积分中值定理的应用),4.,典型问题,(1)估计积分值;,(2)不计算定积分比较积分大小.,六、小结,1.定积分的实质:,特殊和式的极限.,2.定积分的思想和方法:,以直代曲、以匀代变.,四步曲:,分割、,取近似、,求和、,取极限.,思想,方法,定积分的概念与性质,36,思考与练习,1.,用定积分表示下述极限:,解:,或,定积分的概念与性质,37,思考:,如何用定积分表示下述极限,提示:,极限为 0!,定积分的概念与性质,38,2.,P235 题3,3.,P236 题13,(2),(4),题13,(4),解:,设,则,即,定积分的概念与性质,39,作业,习题5-1(234页),4.(3)(4)10.(3)12.(1),定积分的概念与性质,40,