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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,八年级下册,18.1.1.2,平行四边形的对角线的特征,学习目标,掌握,平行四边形对角线互相平分的,性质,.,经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，,体会图形性质探究的一般思路,.,1,2,一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：,当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗,?,为什么,?,情境导入,探究一：平行四边形的对角线的性质,我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢,?,A,B,C,D,O,如图，,在,ABCD,中，连接,AC,BD,并设它们相交于点,O.,OA,与,OC,OB,与,OD,有什么关系,?,猜一猜,OA=OC,OB=OD,怎样证明这个猜想呢？,活动探究,已知：如图,ABCD,的对角线,AC,、,BD,相交于点,O,.,求证：,OA,=,OC,，,OB,=,OD,.,证明：,四边形,ABCD,是平行四边形，,AD=BC,，,ADBC,1=2,，,3=4,AOD,COB,（,ASA,）,OA=OC,，,OB=OD.,A,C,D,B,O,3,2,4,1,活动探究,A,C,D,B,O,平行四边形的对角线互相平分,.,平行四边形的性质,应用格式：,四边形,ABCD,是平行四边形，,OA=OC,，,OB=OD.,活动探究,例,1,已知,ABCD,的周长为,60cm,，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,AOB,的周长比,DOA,的周长长,5cm,，求这个平行四边形各边的长,解：,四边形,ABCD,是平行四边形，,OB,OD,，,AB,CD,，,AD,BC,.,AOB,的周长比,DOA,的周长长,5cm,，,AB,AD,5cm.,又,ABCD,的周长为,60cm,，,AB,AD,30cm，,则,AB,CD,17.5cm,AD,BC,12.5cm.,归纳：,平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差,典例精讲,如图，在平行四边形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，平行四边形,ABCD,的周长是100cm，,AOB,与,BOC,的周长的和是122cm，且,AC,:,DB,=2,:,1，求,AC,和,BD,的长,解：四边形,ABCD,是平行四边形，,AD,=,BC,，,AB,=,CD,，,OB,=,OD,，,AB,+,BC,=50,.,AOB,与,BOC,的周长的和是122cm，,OA,+,OB,+,AB,+,OB,+,OC,+,BC,=122，,即,AC,+,BD,=122-50=72,.,又,AC,:,DB,=2,:,1，,AC,=48cm，,BD,=24cm,举一反三,例,2,如图,平行四边形,ABCD,中，,AC,、,BD,交于,O,点，点,E,、,F,分别是,AO,、,CO,的中点，试判断线段,BE,、,DF,的关系并证明你的结论,解：,BE,DF,，,BE,DF,.,理由如下：,四边形,ABCD,是平行四边形，,OA,OC,，,OB,OD,OE,OF,.,在,OFD,和,OEB,中，,OE,OF,，,DOF,BOE,，,OD,OB,，,OFD,OEB,，,OEB,OFD,，,BE,DF,，,BE,DF,.,典例精讲,例,3,如图，,ABCD,的对角线,AC,BD,交于点,O,.,点,O,作直线,EF,分别交,AB,CD,于点,E,，,F,.,求证：,OE,=,OF,.,A,B,C,D,F,E,O,证明,:,四边形,ABCD,是平行四边形,ODF,=,OBE,DFO,=,BEO,DOF,BOE,（,AAS,）,AB,CD,OD,=,OB,OE,=,OF,.,思考,改变直线,EF,的位置，,OE,=,OF,还成立吗,?,典例精讲,A,B,C,D,O,E,F,A,B,C,D,O,E,F,A,B,C,D,O,E,F,请判断下列图中，,OE,=,OF,还成立么？,同例,3,易证明,OE,=,OF,还成立,.,归纳：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等,.,活动探究,1.,如图，平行四边形,ABCD,的对角线,AC,，,BD,交于点,O,，若,AD,=16，,AC,=24，,BD,=12，则,OBC,的周长为（）,A,.,26 B,.,34 C,.,40 D,.,52,B,2.,如图，在,ABCD,中，对角线,AC,和,BD,相交于点,O,，,AOB,的周长为15，,AB,=6，则对角线,AC,、,BD,的长度的和是（）,A,.,9 B,.,18 C,.,27 D,.,36,B,强化训练,探究二：,平行四边形的面积,A,B,C,D,O,解：四边形,ABCD,是平行四边形，,根据勾股定理得,BC,=,AD,=8,CD,=,AB,=10.,ABC,是直角三角形,.,又,OA,=,OC,例,4,如图，在,ABCD,中，,AB,=10,，,AD,=8,，,AC,BC,.,求,BC,，,CD,，,AC,，,OA,的长，以及,ABCD,的面积,典例精讲,例,5,如图，平行四边形,ABCD,中，,DE,AB,于,E,，,DF,BC,于,F,，若平行四边形,ABCD,的周长为48，,DE,=5，,DF,=10，求平行四边形,ABCD,的面积,.,解：设,AB,=,x,，则,BC,=24-,x,.,根据平行四边形的面积公式可得5,x,=10,(,24-,x,),，,解得,x,=16,则平行四边形,ABCD,的面积为516=80,归纳：已知平行四边形的高,DE,，,DF,，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解,.,典例精讲,问题 平行四边形的对角线分平行四边形,ABCD,为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？,解：相等,.,理由如下：,四边形,ABCD,是平行四边形，,OA,OC,，,OB,OD,.,ADO,与,ODC,等底同高，,S,ADO,=,S,ODC,.,同理可得,S,ADO,=,S,ODC,=,S,BCO,=,S,AOB,.,还可结合全等来证哟,.,归纳：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等,.,活动探究,A,B,C,D,O,F,E,例,6,如图，,AC,BD,交于点,O,，,EF,过点,O,平行四边形,ABCD,被,EF,所分的两个四边形面积相等吗？,M,N,解：设直线,EF,交,AD,BC,于点,N,M,.,AD,BC,NAO,=,MCO,ANO,=,CMO,.,又,AO,=,CO,NAO,MCO,，,S,四边形,ANMB,=,S,NAO,+,S,AOB,+,S,MOB,=,S,MCO,+,S,AOB,+,S,MOB,=,S,AOB,+,S,COB,=.,S,四边形,ANMB,=,S,四边形,CMND,即平行四边形,ABCD,被,EF,所分的两个四边形面积相等,.,典例精讲,A,B,D,O,E,F,A,B,C,D,O,E,F,C,A,B,C,D,O,E,F,思考 如图，,AC,BD,交于点,O,，,EF,过点,O,平行四边形,ABCD,被,EF,所分的两个四边形面积相等吗？,归纳：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分,.,同例,5,易求得,平行四边形,ABCD,被,EF,所分的两个四边形面积相等,.,活动探究,1.,把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm,2,和12cm,2,，求平行四边形的面积,解：（9+12）2,=212,=42（,cm,2,）,答：平行四边形的面积是42,cm,2,强化训练,2.,如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？,B,M,C,D,A,O,解：如图所示,强化训练,1.,如图，,ABCD,的对角线,AC,、,BD,相交于点,O,且,AC+BD,=16,CD,=6,则,ABO,的周长是,（）,A.10 B.14 C.20 D.,22,B,B,C,D,A,O,2.,如图，在平行四边形,ABCD,中，下列结论中错误的是（）,A,ABO,=,CDO,B,BAD,=,BCD,C,AO,=,CO,D,AC,BD,B,C,D,A,O,D,随堂检测,3.,在,ABCD,中，,AC,=24,BD,=38,AB,=,m,则,m,的取值范围是,(),A.24,m,39 B.14,m,62,C.7,m,31 D.7,m,12,B,C,D,A,O,C,4.,如图，,ABCD,的对角线,AC,，,BD,相交于,O,，,EF,过点,O,与,AD,，,BC,分别相交于,E,，,F,，若,AB,=4，,BC,=5，,OE,=1.5，那么四边形,EFCD,的周长为（）,A,.,16 B,.,14 C,.,12 D,.,10,A,D,C,B,F,E,O,C,随堂检测,5.,如图，平行四边形,ABCD,的面积为20，对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，点,E,，,F,分别是,AB,，,CD,上的点，且,AE,=,DF,，则图中阴影部分的面积为,_,5,6.,如图，平行四边形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,AB,AC,，,AB,=3,，,AD,=5,，则,BD,的长是,.,随堂检测,平行四边形对角线的性质,平行四边形对角线互相平分,两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形,过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等,.,过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分,.,且与对角线围成的三角形相对的两个全等,.,课堂小结,本节课都学到了什么？,1.,如图，平行四边形,ABCD,的对角线相交于点,O,，且,AB,AD,，过,O,作,OE,BD,，交,BC,于点,E,.,若,CDE,的周长为10，则平行四边形,ABCD,的周长是多少？,解：四边形,ABCD,是平行四边形，,AB,=,CD,，,BC,=,AD,，,OB,=,OD,.,OE,BD,，,BE,=,DE,.,CDE,的周长为10，,DE,+,CE,+,CD,=,BE,+,CE,+,CD,=,BC,+,CD,=10，,平行四边形,ABCD,的周长为,2,(,BC,+,CD,),=20,个性化作业,2.,如图，已知,O,是平行四边形,ABCD,的对角线的交点，,AC,=24，,BD,=18，,AB,=16，求,OCD,的周长及,AD,边的取值范围,解：由题意得,OA,=,OC,=12，,OB,=,OD,=9，,CD,=,AB,=16,OCD,的周长为12+9+16=37,.,在,ACD,中，2,4,-16,AD,24+16，8,AD,40；,在,ABD,中，18-16,AD,18+16，2,AD,34；,在,AOD,中，12-9,AD,12+9，3,AD,21,综上所述，,AD,的取值范围应是8,AD,21,与三角形三边关系结合,个性化作业,再见,
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