连续型随机变量及其概率密度

,一、概率密度的概念与性质,二、常见连续型随机变量的分布,三、小结,第三节连续型随机变量及其概率密度,一、概率密度的概念与性质,1.,概率密度函数的定义,存在,概率密度函数,简称概率密度,.,连续型随机变量的分布函数是连续函数,.,2.,概率密度函数的性质,反之，满足（,1,）（,2,）的一个可积函数,f,(,x,),必是某连续型随机变量,X,的概率密度，因此，常用这两条性质检验,f,(,x,),是否为概率密度。,几何意义：曲线,y,=,f,(,x,),与,x,轴之间的面积等于,1,同时得以下计算公式,几何意义：,X,落在区间,(x,1,，,x,2,),的概率,Px,1,0.1,。,解,:,(1),由于,解得,k,=3,.,于是,X,的概率密度为,(2),例,2,确定常数,A,，,B,使得函数,为连续型随机变量,X,的分布函数,并求出,X,的概率密度,.,解,:,由分布函数的性质知,又由连续型随机变量的分布函数的连续性知,F(,x,),在,x,=0,处有,F,(0-0)=,F,(0),即：,A=1-A,，所以：,A,=1/2.,于是,X,的分布函数为：,X,的概率密度为,所以,B=1,.,二、常见连续型随机变量及其概率分布,(,一,),均匀分布,其他,概率密度函数图形,分布函数,均匀分布的意义,例,3,长途汽车起点站于每时的,10,分、,25,分、,55,分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过,10,分钟的概率,.,解：,设,A,为乘客候车时间超过,10,分钟，,X,为乘客于某时,X,分钟到达，,例,4,设随机变量,X,服从区间,-3,，,6,上的均匀分布，试求关于,t,的方程,有实根的概率,解：,随机变量,的概率密度为,方程有实根，当且仅当,即，,解得，,是常数，则称,X,服从参数为,(,二,),指数分布,其他,.,记作,的指数分布,.,随机变量,X,的分布函数为,某些元件或设备的寿命服从指数分布,.,例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布,.,应用与背景,例,6,电子元件的寿命,X(,年）服从参数为,3,的指数分布,(1),求该电子元件寿命超过,2,年的概率。,(2),已知该电子元件已使用了,1.5,年，求它还能使用两年的概率为多少？,解,有,指数分布的重要性质,:“,无记忆性”,.,该性质称为无记忆性,.,的寿命,那么上式表明,:,与从开,这,就是说,练习,设打一次电话所用时间,X,（单位：分钟）是以,1/10,为参数的指数型随机变量,.,如果某人刚好在你前面走进公用电话间，求你需要等待,10,分钟到,20,分钟之间的概率,解：,依题意，可知,X,的密度函数为,令,A=,某人等待时间为,10,到,20,分钟,，则,（三）正态分布,正态分布的概率密度函数,正态分布,.,性质,:,有,轴平移,而不改变其形状,可见正态分布的概率密,为位置参数,.,称轴不变,而形状在改变,图形越高越瘦,图形越矮越胖,.,正态分布的应用与背景,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测,量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等,;,正常,情况下生产的产品尺寸、,直径、,长度、,重量高度,等都近似服从正态分布,.,即有,标准正态分布的图形,性质,证明,解,例,7,证,得,则,由此知,定理,1,正态分布的计算,原函数不是,初等函数,转化为标准正态分布查表计算,有,例,8,设,X,N(1.5,，,2,2,),，求,P-1X2,。,解,:,查表得：,(3-c)/2=0.43,即,c=2.14,例,9,设,X,N(3,4),，求数,c,，使得,PXc=2PXc,.,解,:,从而，,PXc=1-PXc,=2PXc,因此，,PXc=1/3,=1/3,例,10,将一温度调节器放置在贮存着某种液体的,容器内,.,是一个随机变量,(2),若要求保持液体的温度至少,解,(1),所求概率为,即,亦即,故需,例,11,说明：,X N(,2,),落在,(-3,+3),内的概率为,0.9974,这一事实称为“,3,规则”。,2,）,P|X-|2,3,）,P|X-|3,=2(2)-1=0.9544,=2(3)-1=0.9974,=20.8413-1,对于标准正态随机变量,的定义,.,分布函数,三、小结,2.,常见连续型随机变量的分布,均匀分布,正态分布,指数分布,正态分布有极其广泛的实际背景,是自然界和社会现象中最为常见的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态随机变量,.,3.,正态分布是概率论中最重要的分布,二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分布所以，无论在实践中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布,.,