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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,高中数学课件球的体积和表面积,第一页，共43页。,1.,通过球的体积和表面积的计算,了解球的体积和表面积公式,.,2.,会利用球的体积和表面积公式解决实际中的问题,.,第二页，共43页。,球的体积和表面积,设球的半径为,R,则球的体积,V=_,表面积为,S=_,4R,2,第三页，共43页。,1.“,判一判”理清知识的疑惑点,(,正确的打“”，错误的打“,”).,(1),决定球的大小因素是球的半径,.(),(2),球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径,.(),(3),直径为,2,的球的体积是直径为,1,的球的体积的,2,倍,.(),第四页，共43页。,提示：,(1),正确,.,因为球的体积为 只与球的半径的立,方有关,.,(2),正确,.,球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大,圆的半径等于球的半径,.,(3),错误,.,因为两个球的体积的比等于相应的半径的比的立,方，故直径为,2,的球的体积是直径为,1,的球的体积的,8,倍,.,答案：,(1)(2)(3),第五页，共43页。,2.“,练一练”尝试知识的应用点,(,请把正确的答案写在横线上,).,(1),半径为,2,的球的体积为,_,(2),设,M,是球,O,的半径,OP,的中点，分别过,M,，,O,作垂直于,OP,的平面，截球面得两个圆面，则这两个圆的面积之比为,_,(3),若一个几何体的三视图是三个直径为,4 cm,的圆，那么该几何体的表面积为,_,；体积为,_,第六页，共43页。,【,解析,】,(1),由,答案：,(2),如图作球的经过球心的一个圆截面，,设球的半径为,2R,，则,OM=R,，所以,MM=,所以两圆面积比为,答案：,第七页，共43页。,(3),由该几何体的三视图为三个圆，所以该几何体为球，直径,为,4 cm,，所以球的表面积为,42,2,=16,；体积为,答案：,16,第八页，共43页。,一、球的体积与表面积,探究：观察球的体积与表面积公式，思考下面的问题,(1),计算球的表面积与体积，关键需要确定哪个量？,提示：,要计算球的表面积和体积，关键是要确定球的半径,R.,第九页，共43页。,(2),若已知球的体积为,V,，则球的表面积,S,如何用,V,表示？,提示：,因为,V=R,3,所以,因此,第十页，共43页。,(3),若两球的半径之比为,R,1,R,2,，那么两球的表面积之比及体,积之比分别是多少？,提示：,第十一页，共43页。,【,探究提升,】,计算球的体积及表面积的两点说明,(1),球的体积和表面积都是关于半径,R,的函数，因此求体积和表面积时，只需求出半径即可,.,(2),确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来已知体积或表面积也可以求其半径,第十二页，共43页。,二、球的截面,探究,1,：用任何一个平面去截球所得的截面是什么形状？,提示：,用任何一个平面去截球，所得的截面是一个圆面,.,探究,2,：球心和截面圆圆心的连线与截面有何关系？,提示：,球心和截面圆圆心的连线垂直于截面,.,探究,3,：若球的半径为,R,，截面圆半径为,r,，则球心到截面的距,离,d,是多少？,提示：,第十三页，共43页。,【,探究提升,】,用一个平面去截球，对所得截面的三点说明,(1),当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径；当截面不过球心时,截面圆的半径都小于球的半径,.,(2),球的截面是圆面而不是圆,注意圆面与圆是两个不同的概念,.,(3),球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用，要注意球的半径与截面圆半径的关系,第十四页，共43页。,类型 一,球的体积和表面积的计算,尝试解答下面的问题，归纳求球的表面积及体积的策略,.,1.,若球的体积扩大到原来的,27,倍，则它的表面积扩大到原来,的,(),倍,B.3,倍 倍,D.9,倍,第十五页，共43页。,2.(宁德高一检测)一平面截一球得到直径是6 cm的圆,面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积为(),3.三个球的半径之比为123，那么最大的球的体积是另外,两个球的体积和的_倍，最大球的表面积是另外两个球,的表面积和的_.,第十六页，共43页。,【,解题指南,】,1.,求出半径扩大的倍数，根据表面积公式，得出表面积扩大的倍数,.,2.,根据球半径、截面圆半径和球心到截面的距离构成直角三角形，可求得球的半径，即可求得体积,.,3.,根据球的半径之比，设出球的半径，表示出体积和表面积，从而判断出它们之间的关系,.,第十七页，共43页。,【,解析,】,1.,选,C.,因为体积扩大到原来的,27,倍，所以,r,变为,3r,，,所以它的表面积扩大为原来的,9,倍,.,2.,选,C.,因为球半径、截面圆半径和球心到截面的距离构成一,个直角三角形，所以球半径为,=5(cm),，所以球的体,积为,第十八页，共43页。,3.,设三个球的半径分别为,r,2r,3r,，则,所以,S,1,=4r,2,S,2,=4(2r),2,=16r,2,，,S,3,=4(3r),2,=36r,2,，,所以,答案：,3,第十九页，共43页。,【,技法点拨,】,求球的体积与表面积的策略,(1),要求球的体积或表面积,必须知道半径,R,或者通过条件能求出半径,R,然后代入体积或表面积公式求解,.,(2),半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了,.,第二十页，共43页。,【,变式训练,】,把半径分别为,6 cm,8 cm,10 cm,的三个铁球熔成,一个大铁球，这个大铁球的半径为,(),A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm,【,解析,】,选,D.,设大铁球的半径为,r,，则：,解得,r=12.,第二十一页，共43页。,类型 二 与球有关的组合体的表面积与体积的计算,通过解答下面的问题，体会与球有关的组合体问题，并总结求解该类问题的技巧.,1.(广东高考)某几何体,的三视图如图所示，它的体积,为(),A.72 B.48,第二十二页，共43页。,2.一个四面体的所有棱长都是 ，四个顶点在同一个球面,上，则此球的表面积为(),3.(天津高考)一个几何体,的三视图如图所示(单位：m)，,则该几何体的体积为_m3.,第二十三页，共43页。,【,解题指南,】,1.,根据三视图准确判断出此几何体的形状，是解决本题的关键,.,显然本题几何体是由一个半球和一个倒立的圆锥组成的组合体,.,2.,将四面体补成一个正方体，该正方体的体对角线长为球的直径,.,3.,由三视图正确判断出组合体的图形是关键,.,第二十四页，共43页。,【,解析,】,1.,选,C.,由三视图可知该组合体由一个半球和一个倒,立的圆锥组成,.,2.,选,A.,以四面体侧棱为正方体的面对角线构造正方体，则正,方体内接于球，正方体的棱长为,1,，体对角线长为球的直径,.,所以,2R=,，,S,球,=4R,2,=3.,第二十五页，共43页。,3.,该组合体的上面是一个长、宽、高分别为,6,，,3,，,1,的长方,体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求的体积,是：,V=2V,球,+V,长方体,=2 (),3,+631=18+9.,答案：,18+9,第二十六页，共43页。,【,互动探究,】,题,3,条件不变，求该组合体的表面积,.,【,解析,】,该组合体的上面是一个长、宽、高分别为,6,，,3,，,1,的,长方体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求的表,面积为,S=2S,球,+S,长方体,=24(),2,+2(63+61+13),=54+18.,第二十七页，共43页。,【,技法点拨,】,解决与球有关的组合体问题的解题技巧,(1),与球有关的组合体问题：解题时要认真分析图形，明确切点位置，明确有关元素间的数量关系，并且作出合适的截面图,.,(2),球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面解题,.,(3),球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、切点或接点作出截面图,.,第二十八页，共43页。,提醒：,解决该类问题，关键是作出截面图形，使相关元素尽可能多地落在截面图形内,.,第二十九页，共43页。,类型 三,有关球的切、接问题,试着解答下列与球的切、接有关的题目,总结常见的几何体与球的切、接问题的解决策略,.,1.,设长方体的长、宽、高分别为,2a,a,a,其顶点都在一个球面上,该球的表面积为,(,),2222,2.,一个半球内切于圆锥,半球的底面在圆锥底面内,.,求证：圆锥侧面积与半球面面积之比等于圆锥体积与半球体积之比,.,第三十页，共43页。,【,解题指南,】,1.,长方体的体对角线等于其外接球的直径,.,2.,设出圆锥的底面半径,母线长及球的半径,分别表示出面积和体积,计算其比值判断即可,.,第三十一页，共43页。,【,解析,】,1.,选,B.,由长方体的长,宽,高分别为,2a,a,a,，则长方,体的体对角线为 与外接球的直径相等，故,2R=a,S,球,=4R,2,=6a,2,.,2.,设圆锥的底面半径为,R,，球半径为,r,圆锥的母线长为,l,则,S,圆锥侧,=2R,l,S,半球,=2r,2,V,圆锥,=R,2,V,半球,=r,3,S,圆锥侧,S,半球,=V,圆锥,V,半球,=,所以,S,圆锥侧,S,半球,=V,圆锥,V,半球,.,第三十二页，共43页。,【,互动探究,】,若题,1,中的长方体改为“三棱锥的三条侧棱两两,垂直，且其长为,2a,a,a”,，能由本例,1,的解法得到此三棱锥的,外接球的体积吗？,【,解析,】,能,.,由题意，此三棱锥的外接球与以三条两两垂直的,侧棱为棱的长方体的外接球相同，故,第三十三页，共43页。,【,技法点拨,】,常见的几何体与球的切、接问题的解决策略,(1),处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等,.,(2),解决球与几何体的切、接问题的关键是根据,“,切点,”,和,“,接点,”,，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算,.,第三十四页，共43页。,(3),具体解题流程,第三十五页，共43页。,【,拓展延伸,】,与球有关的组合体中的数量关系,(1),长方体内接于球：,(R,为球的半径，,a,b,c,为,长方体的长、宽、高,).,(2),正方体内接于球：,2R=a(R,为球的半径，,a,为正方体的棱,长,).,(3),球内切于正方体：,2R=a(R,为球的半径，,a,为正方体的棱长,).,(4),球与正方体的每条棱都相切：,2R=a(R,为球的半径，,a,为,正方体的棱长,).,第三十六页，共43页。,【,变式训练,】,正方体的内切球和外接球的半径之比为,(),【,解析,】,选,D.,设正方体的棱长为,a,则内切球半径为,外接球,半径为 所以半径之比为,1 =3.,第三十七页，共43页。,1.,如果两个球的表面积之比为,49,那么这两个球的体积之比为,(,),A.827,B.23,C.49,D.29,【,解析,】,选,A.,因为,S,1,S,2,=49,所以,r,1,r,2,=23,所以,V,1,V,2,=827.,第三十八页，共43页。,2.,将棱长为,2,的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为,(,),【,解析,】,选,B.,由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为,2,再用表面积公式求出表面积即可,.,所以表面积是,41,2,=4,应选,B.,第三十九页，共43页。,3.,已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半,径为,_.,【,解析,】,设球的半径为,
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