概率论与数理统计第12讲

单击此处编辑母版标题样式,第四节 相互独立的随机变量,随机变量的独立性,离散型随机变量的独立性,连续型随机变量的独立性,正态随机变量的独立性,一、随机变量的相互独立性,随机变量的独立性是概率论中的一,个重要概念.两随机变量独立的定义是：,设F(x,y)及FX(x),FY(y分别是二维随机变,量X，Y的联合分布函数及边缘分布函数，,将事件独立性推广到,随机变量.,两事件A,B独立的定义是：,假设P(AB)=P(A)P(B),那么称事件A,B独立.,设,X,Y,是两个,r.v,，若对任意的,x,y,有,则称,X,Y,相互独立,.,1.定义,用分布函数表示,即,设,X,Y,是两个,r.v,，若对任意的,x,y,有,则称,X,Y,相互独立,.,它说明，两个r.v相互独立时，它们的联合,分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,设,X,Y,是两个,r.v,，若对任意的,x,y,有,则称,X,Y,相互独立,.,X,与,Y,独立,即,连续型,说明:二维随机变量 (X,Y)相互独立,那么边缘分布完全确定联合分布,对一切,i,j,有,离散型,X,与,Y,独立,对任何,x,y,有,二维连续,r,.,v,.(,X,Y,)相互独立,相互独立,命题,(请同学们自学P91),判断独立的一,个重要命题,设 X,Y 为相互独立的 r.v.u(x),v(y),为连续函数,那么 U=u(X),V=v(Y)也,相互独立.,即,独立,r,.,v,.,的连续函数仍然独立,.,下面予以证明.,设 X 与Y 的 d.f.分别为 f X(x),f Y(y),那么,因此，,事实上,设 X,Y 为相互独立的 r.v.u(x),v(y)为连续函数,那么 U=u(X),V=v(Y)也相互独立.,例1,例2:,设(,X,Y,)的概率密度为,问,X,和,Y,是否独立？,x,0,即：,y,0,解,：,解：,由于,X,与,Y,相互独立,例3,因为,X,与,Y,相互独立,解,所以,于是,求随机变量(,X,Y,)的分布律.,例4,设两个独立的随机变量,X,与,Y,的分布律为,例5:,甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果,甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.,乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间,是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时,间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？,解,:设,X,为甲到达时刻,Y,为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,X,U,(15,45),Y,U,(0,60),所求为,P,(|,X,-,Y,|5),及,P,(,X,Y,),解,:设,X,为甲到达时刻，,Y,为乙到达时刻,以12时为起点，以分为单位，依题意，,X,U,(15,45),Y,U,(0,60),甲先到,的概率,由独立性,先到的人等待另一,人到达的时间不超,过5分钟的概率,解：,P,(|,X,-,Y,|5),=,P,(-5,X,-,Y,5),=1/6,=1/2,P,(,X,Y,),二、二维,推广到,n,维随机变量,(2)关于,X,1,的边缘分布，,关于(,X,1,X,2,),的边缘分布，,三、小结,1.假设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,独立性,第五节两个随机变量的函数的分布,一、问题的引入,二、离散型随机变量函数的分布,三、连续型随机变量函数的分布,四、极值的分布,五、小结,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,先讨论两个随机变量的函数的分布问题，,然后将其推广到多个随机变量的情形.,当随机变量X1,X2,Xn的联合分布时，如何求出它们的函数,Yi=gi(X1,X2,Xn),i=1,2,m,的联合分布?,为了解决类似的问题,下面,我们讨论两个随机变量函数的分布.,一、问题的引入,二、离散型随机变量函数的分布,例1,概率,解,等价于,概率,例,2,设相互独立的两个随机变量,X,Y,具有同一,分布律,且,X,的分布律为,于是,解,离散型分布的情形,例3 假设X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求Z=X+Y的概率函数.,解:,=,a,0,b,r,+,a,1,b,r,-1,+,a,r,b,0,由独立性,此即离散,卷积公式,r,=0,1,2,例4,设,X,和,Y,相互独立，,X,B,(,n,1,p,),Y,B,(,n,2,p,),求,Z,=,X,+,Y,的分布.,回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:,我们给出不需要计算的另一种证法:,同样，,Y,是在,n,2,次独立重复试验中事件,A,出现,的次数,每次试验中,A,出现的概率为,p,.,假设X B(n1,p),那么X 是在n1次独立重复试验中事,件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.,故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中,事件A出现的次数，每次试验中A出现的概,率为p，于是Z是以n1+n2，p为参数的,二项随机变量，即Z B(n1+n2,p).,三、连续型随机变量函数的分布,1.,Z,=,X,+,Y,的分布,设,r.v,.(,X,Y,),的联合概率密度为,f,(,x,y,),求,Z,=,X,+,Y,的,概率密度.,这里积分区域,D,=(,x,y,):,x+y,z,是直线,x+y,=,z,左下方的半平面.,那么Z=X+Y的分布函数是:,FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),化成累次积分,得,固定,z,和,y,对方括号内的积分作变量代换,令,x=u-y,得,交换积分次序,由概率,密度与分布函数的关系,即得,Z,=,X,+,Y,的,概率密度为:,由,X,和,Y,的对称性,f,Z,(,z,)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率,密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘,密度分别为fX(x),fY(y),那么上述两式化为:,这两个公式称为,卷积公式,记为,f,X,*,f,Y,。,下面我们用,卷积公式来求,Z,=,X,+,Y,的,概率密度.,例5,设两个独立的随机变量,X,与,Y,都服从标,准正态分布,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度.,得,说明,有限个,相互独立,的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,例如，,设X、Y独立，都具有正态分布，,那么 3X+4Y+1也具有正态分布.,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,例6,若,X,和,Y,独立,具有共同的概率密度,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度.,解:,由卷积公式,也即,y,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示:,也即,于是,y,设随机变量,X,与,Y,相互独立,且其分布密,度分别为,其它.,其它.,求随机变量,Z,=2,X,+,Y,的分布密度.,由于,X,与,Y,相互独立,所以(,X,Y,)的分布密度函数为,解,例7,y,随机变量,Z,的分布函数为,y,所以随机变量,Z,的分布密度为,y,