线性控制系统的运动分析讲解课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,第二章 线性控制系统的运动分析,线性定常齐次状态方程的解,矩阵指数函数,状态转移矩阵,线性定常非齐次状态方程的解,2024/11/28,1,预备知识：,线性定常系统的运动,1、自由运动,：线性定常系统在没有控制作用，即,u0,时，由初始状态引起的运动称自由运动。,齐次状态方程的解,：,2、强迫运动：,线性定常系统在控制,u,作用下的运动，称为强迫运动。,非齐次状态方程的解：,2024/11/28,2,第一节 线性定常齐次状态方程的解,2024/11/28,3,满足初始状态 的解是：,一、直接求解：,1、标量齐次微分方程：,满足初始状态 的解是：,满足初始状态 的解是：,2、齐次状态方程,其中：,定义为,矩阵指数函数,，和,A,一样也是,nn,阶方阵,线性定常齐次状态方程的求解方法：直接求解，拉氏变化求解,2024/11/28,4,求解过程,：仿标量方程求解,将式(4)代入式(1)，即可得到通解为：,（5）,式(3)左右两边,t,的同次幂的系数两两相等得：,（4）,(1)(2)代入状态方程得：,（3）,设齐次状态方程的解为,当 时，由上式可得,此处,（1）,式(1)左右求导得：,（2）,标量齐次状态方程,2024/11/28,5,二、拉氏变换求解：,两边取拉氏变换得：,整理得：,齐次状态方程：,初始状态为：,与直接求解的结果(5)比较，由解的唯一性得：,仿标量系统得：,拉氏反变换得：,（6）,本节,小结：,2024/11/28,6,第二节 矩阵指数函数的性质和计算方法,2024/11/28,7,一、矩阵指数函数的性质：,2、,证明：,矩阵指数函数定义中，令,t0,即可得证,3、总是非奇异的，必有逆存在，且：,证明：,1、设,A,为,nn,阶矩阵，,t1,为,t2,两个独立自变量，则有：,证明：,根据定义证明,2024/11/28,8,5、对,有：,4、对于,nn,阶方阵,A,和,B：,如果,A,和,B,可交换,，,即,AB=BA，,则,如果,A,和,B,不可交换,，,即,AB,BA，,则,6、如果,P,是非奇异阵，即 存在，则必有,：,证明：,根据定义证,和,注意：,用途,：,此性质经常用于计算,2024/11/28,9,7、如果,A,是,nn,阶对角阵，则 也是,nn,阶对角阵,：,则有：,如果：,证明,：根据定义证,2024/11/28,10,8、如果 是,mm,阶的约当块,：,则有：,证明,：略。根据定义证,。,2024/11/28,11,其中 是约当块,其中 是对应约当,块 的矩阵指数函数。,9、当,A,是约当矩阵时,：,则有：,例如：,2024/11/28,12,二、矩阵指数函数的计算,：,直接求解法：根据定义,拉氏变换求解：,标准型法求解：对角线标准型和约当标准型非奇异变换,待定系数法：凯莱哈密顿（简称,C-H）,定理,求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。,1、,根据矩阵指数函数的定义求解：,对所有有限的,t,值来说，这个无穷级数都是收敛的,2024/11/28,13,2、用拉氏变换法求解：,关键是必须首先求出（,sI-A）,的逆，再进行拉氏反变换。,3、,标准型法求解,：,思路,：根据矩阵指数函数性质6：,对,A,进行非奇异线性变换，得到：,联立上两式，得到：,有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵,2024/11/28,14,其中：,P,为使,A,化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。,（1）当,A,的特征值 为两两相异时：,对角线标准型,对角线标准型法求矩阵指数函数的步骤：,1）先求得,A,阵的特征值 。,2）求对应于 的特征向量 ，并得到,P,阵及,P,的逆阵。,3）代入上式即可得到矩阵指数函数的值。,2024/11/28,15,（2）,当,A,具有,n,重特征根 ：,约当标准型,其中：,Q,为使,A,化为约当标准型的非奇异变换矩阵。,约当标准型法求矩阵指数函数的步骤,：,此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵,Q,。,说明,：对于所有重特征值 ，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据矩阵指数函数的性质8和9，求得 。,2024/11/28,16,4、待定系数法,：将 化为,A,的有限项多项式来求解,：,说明,：在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。,设,nn,维矩阵,A,的特征方程为：,（1）凯莱哈密顿（以下简称,C-H）,定理：,则矩阵,A,满足其自身的特征方程，即：,2024/11/28,17,由定理知,：,A,所有高于(,n-1),次幂都可由,A,的0(,n-1),次幂线性表出。,并令 即可得到如下的,结论,：,即：,将此式代入 的定义中：,其中：,为,t,的标量函数，可按,A,的特征值确定。,（2）将 化为,A,的有限项多项式来求解,根据,C-H,定理，可将 化为,A,的有限项表达式，即封闭形式：,2024/11/28,18,1）,A,的特征值 两两相异时，,注意求逆,推导,：利用了,A,可化为对角阵的矩阵指数函数求法。,注意,：,推导时可看到：,2024/11/28,19,注意求逆,2）,A,的特征值为 (,n,重根）,推导,：此时只有一个方程：,缺少,n-1,个独立方程，对上式求导,n-1,次，得到其余,n-1,个方程,说明,：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。,特征值互异时，对于每个特征值，直接得到方程,(3),；特征值为,n,重根时，则式,(3),针对 求导,n-1,次，补充缺少的,n-1,个方程。联立求出系数。,2024/11/28,20,例,：求以下矩阵,A,的矩阵指数函数,解：,1）用第一种方法定义求解：(略）,2）用第二种方法拉氏变换法求解：,2024/11/28,21,3）,用第三种方法标准型法求解：,得：，具有互异特征根，用对角线标准型法。且,A,为友矩阵形式。,先求特征值：,2024/11/28,22,2024/11/28,23,4）,用第四种方法待定系数法求解.,在第3种方法中已经求得特征根，所以得：,求得矩阵指数函数如下：,2024/11/28,24,或者,：由 和,得到：从而求出系数,2024/11/28,25,例,：求以下矩阵,A,的矩阵指数函数,分析：,用,C,H,定理求解,先求特征值：,求得：,当 时，有,当 （二重根）时，有,上式对 求导,1,次，得到另一个方程：,2024/11/28,26,得到方程组：,写成矩阵形式为：,整理得：,2024/11/28,27,可以求出：,所以：,可以求出矩阵指数函数。,本节小结：矩阵指数函数的9个性质，4种计算方法,2024/11/28,28,第三节 状态转移矩阵,2024/11/28,29,一、线性定常系统的状态转移矩阵,线性定常系统的齐次状态方程：,满足初始状态 的解是：,满足初始状态 的解是：,已知,：,线性定常系统的状态转移矩阵,令：则有：,2024/11/28,30,说明1,：状态转移矩阵须满足以下条件，否则不是状态转移矩阵,1）状态转移矩阵初始条件：,2）状态转移矩阵满足状态方程本身：,说明2,：线性定常系统的状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身,说明3,：状态转移矩阵的物理意义：,从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地,作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵,2024/11/28,31,二、状态转移矩阵的性质,1、对于线性定常系统：,说明,：此性质的含义是，从,t,0,到,t,0,的转移，相当于不转移，转移后的状态转移矩阵仍是它自己。,不变性,2、对于线性定常系统：,3、对于线性定常系统：,传递性,说明,：此性质表明，从,t,0,到,t,2,的转移可以分为两步：,先从,t,0,转移到,t,1,，再从,t,1,转移到,t,2,。,2024/11/28,32,4、对于线性定常系统：,可逆性,说明,：此性质表明，状态转移过程在时间上可以逆转。,说明,：由性质1、3证明,5、对于线性定常系统：,分解性,说明,：由 去证明,。,6、对于线性定常系统：,2024/11/28,33,三、与状态转移矩阵相关的问题,1、,已知齐次状态方程的解，求状态转移矩阵,：,方法是利用 直接求解。,2、,利用矩阵指数函数的求解方法求状态转移矩阵,。,由 可得,3、,已知状态转移矩阵，求系统矩阵,A,阵,说明,：利用状态转移矩阵性质2求,4、,已知某时刻系统状态，求其它时刻的状态,。,本节,小结,：,2024/11/28,34,例,已知某二阶系统齐次状态方程为：，其解为：,试求状态转移矩阵 。,解,：,设 ，则：,则有：,所以：,2024/11/28,35,第四节 线性定常非齐次状态方程的解,2024/11/28,36,若,线性定常系统的,非奇次状态方程,的解存在，则解形式如下：,一、直接求解法,初始状态引起的响应，零输入响应,输入引起的响应,零状态响应,说明,：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。,2024/11/28,37,证：,1）先把状态方程 写成,3）对上式在 区间内进行积分，得:,直接求解法的关键：求状态转移矩阵或矩阵指数函数,2）两边左乘 ，再利用 的性质,2024/11/28,38,对非齐次状态方程 两边进行拉氏变换得：,二、拉氏变换求解法,整理得：,结论：,例,：已知状态方程为：,其初始状态为：,求系统在单位阶跃输入作用下状态方程的解。,2024/11/28,39,解：,1）直接求解：(作为课后练习）,2）拉氏变换法求解：,先求,由于：,所以：,2024/11/28,40,拉氏反变换得方程解为：,本节,小结,：,定常、时变系统状态转移矩阵，性质，求解方法,可以得到：,阶跃响应拉氏变换：,2024/11/28,41,