直线、圆的位置关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.2,直线、圆的位置关系,主要内容,4.2.2,圆与圆的位置关系,4.2.3,直线与圆的方程的应用,4.2.1,直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,问题,一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西,70km,处，受影响的范围是半径长为,30km,的圆形区域已知港口位于台风中心正北,40km,处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？,O,为解决这个问题，我们以台风中心为原点,O,，东西方向为,x,轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取,10km,为单位长度,港口,轮船,这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为,O,的圆的方程为,轮船航线所在直线,l,的方程为,问题归结为圆心为,O,的圆与直线,l,有无公共点,O,港口,轮船,P126 问题,x,y,O,B,A,C,D,想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？,平面几何中，直线与圆有三种位置关系：,（,1,）直线与圆相交，有两个公共点；,dr,(1)利用圆心到直线的距离,d,与半径,r,的大小关系判断：,直线与圆的位置关系的判定方法,d,r,d,=,r,d,r,直线与圆相离,直线与圆相切,直线与圆相交,(2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断：,直线与圆相离,n,=0,0,直线,l,：,Ax+By+C=,0，圆,C,：(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,(r0),d,例1.已知直线 与圆,判断,l,与圆的位置关系,x,y,O,C,B,A,解：,几何法,圆心（0，1）,设C到直线,l,的距离为d,所以直线,l,与圆相交,有两个公共点,小结：判断直线和圆的位置关系,几何方法,求圆心坐标及半径r,（,配方法,）,圆心到直线的距离d,（,点到直线距离公式,）,例1.已知直线 与圆,判断,l,与圆的位置关系,x,y,O,C,B,A,解：,代数法,联立圆和直线的方程得,由得,把上式代入,所以方程有两个不相等的实根,x,1,，,x,2,把,x,1,，,x,2,代入方程,得到,y,1,，,y,2,所以直线,l,与圆有两个不同的交点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),小结：判断直线和圆的位置关系,代数方法,消去y（或x）,解法一：（求出交点利用两点间距离公式）,x,y,O,A,B,2,已知直线 y=,x,+1,与圆 相交于,A,B,两点，求弦长|,AB,|的值,2,已知直线 y=,x,+1,与圆 相交于,A,B,两点，求弦长|,AB,|的值,题型二 弦长问题,解法二：（弦长公式）,x,y,O,A,B,2,已知直线 y=,x,+1,与圆 相交于,A,B,两点，求弦长|,AB,|的值,题型二 弦长问题,解,三：,解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形,）,设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则,x,y,O,A,B,d,r,2,已知直线 y=,x,+1,与圆 相交于,A,B,两点，求弦长|,AB,|的值,练习：求直线3x+4y+2=0被圆,截得的弦长。,题型二 弦长问题,（）,针对性训练,解：将圆的方程写成标准形式，得,如图，因为直线,l,被圆所截得的弦长是 ，所以弦心距为,例,2,已知过点 的直线被圆,所截得的弦长为 ，求直线的方程,即圆心到所求直线的距离为,因为直线,l,过点 ，所以可设所求直线,l,的方程为,即,根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线,l,的距离,因此,即,两边平方，并整理得到,解得,所以，所求直线,l,有两条，它们的方程分别为,或,即,直线方程化为一般式,题型 三:直线和圆的相切问题,变式,测点专练,D,2.,1.,设点,M(x,0,，,y,0,),为圆,x,2,y,2,=r,2,上一点，如何求过点,M,的圆的切线方程？,M,x,o,y,x,0,x+y,0,y=r,2,思考题,2.,设点,M(x,0,，,y,0,),为圆,x,2,y,2,=r,2,外一点，如何求过点,M,的圆的切线方程？,M,x,o,y,思考题,小结,1.,直线和圆的位置关系的判断,2.,会求弦长和圆的切线,代数法,几何法,圆心到直线的距离和半径的关系,解直线和圆方程联立的方程组,判断直线和圆的位置关系,几何方法,求圆心坐标及半径,r,（,配方法,）,圆心到直线的距离,d,（,点到直线距离公式,）,代数方法,消去,y,（或,x,）,圆与圆的位置关系,思考？,圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？,圆与圆的位置关系,外离,O,1,O,2,R+r,O,1,O,2,=R+r,R-rO,1,O,2,R+r,O,1,O,2,=R-r,0,O,1,O,2,R-r,O,1,O,2,=0,外切,相交,内切,内含,同心圆（内含）,如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。,外切,内切,几何方法,两圆心坐标及半径,（,配方法,）,圆心距,d,（,两点间距离公式,）,比较,d,和,r,1,，,r,2,的大小，下结论,代数方法,消去,y,（或,x,）,两个圆的方程联立解方程组，根据解的个数判定两圆的位置关系,.,例,1,已知圆,C,1,：,x,2,y,2,2x,8y,8,0,，圆,C,2,：,x,2,y,2,4x,4y,2,0,，判断圆,C,1,与圆,C,2,的位置关系,.,分析：方法一 圆,C,1,圆,C,2,有几个公共点，由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定；,方法二，可以依据连心线的长与两个半径长的和,r,1,+r,2,或两半径长的差的绝对值,|r,1,-r,2,|,的大小关系，判断两圆的位置关系,.,例3、已知圆C,1,:x,2,+y,2,+2x+8y-8=0和 圆C,2,：x,2,+y,2,-4x-4y-2=0，试判断圆C,1,与圆C,2,的位置关系.,解法一,：,圆C,1,与圆C,2,的方程联立，得方程组,(1)-(2)，得,所以，方程(4)有两个不相等的实数根x,1,x,2,因此圆C,1,与圆C,2,有两个不同的公共点,所以圆C,1,与圆C,2,相交，它们有两个公共点A，B.,解法二,：,把圆C,1,和圆C,2,的方程化为标准方程：,例3、已知圆C,1,:x,2,+y,2,+2x+8y-8=0和 圆C,2,：x,2,+y,2,-4x-4y-2=0，试判断圆C,1,与圆C,2,的位置关系.,所以圆C,1,与圆C,2,相交，它们有两个公共点A，B.,思考？,比较上述两种解法的优劣？如果例,1,中要求公共点的坐标，用哪求法比较合适？,显然上述例子中只要判断两圆的位置关系，用几何方法比较简单，但如果要求公共点的坐标，必须用代数方法求解方程组,.,例2.求经过点M(3,-1),且与圆,切于点N(1,2)的圆的方程.,y,O,C,1,M,N,C,x,D,分析：求圆的方程主要找到圆心,C,（,a,b),和半径,r,即可,.r=CM,显然,圆心,C,在已知圆圆心,C,1,和切点,N,的连线上，同时圆心,C,又在,MN,的垂直平分线上,.,所以只要写出直线,C,1,N,方程和,MN,的垂直平分线方程即可联立求得圆心,.,例,3,已知一个圆的圆心为,M,（,2,，,1,），且与圆,C,：,x,2,y,2,3x,0,相交于,A,、,B,两点，若圆心,M,到直线,AB,的距离为 ，求圆,M,的方程,.,x,2,y,2,4x,2y,1,0,A,B,M,C,D,例4.求圆 关于直线,对称的圆的方程.,C,E,D,(,a,b,),解：,设对称圆圆心为,D,（,a,b),半径同圆,C.,满足,1.,若两圆,C,1,：,x,2,+y,2,+D,1,x+E,1,y+F,1,=0,和,C,2,：,x,2,+y,2,+D,2,x+E,2,y+F,2,=0,相交，则其公共弦所在直线的方程是,(D,1,-D,2,)x+(E,1,-E,2,)y+F,1,-F,2,=0,，,那么过交点的圆系方程是什么？,m(x,2,+y,2,+D,1,x+E,1,y+F,1,)+n(x,2,+y,2,+D,2,x+E,2,y+F,2,)=0,拓展,2.,若两圆,C,1,:x,2,+y,2,+D,1,x+E,1,y+F,1,=0,和,C,2,:x,2,+y,2,+D,2,x+E,2,y+F,2,=0,相切，则方程,(D,1,-D,2,)x+(E,1,-E,2,)y+F,1,-F,2,=0,表示的直线是什么？若两圆相离呢？,拓展,小结,两圆的位置关系,相离、外切、相交、内切、内含,判断两圆位置关系的方法,代数法：,公共点个数,几何法,：半径和圆心距的代数关系,步骤:计算两圆的半径,R,、,r,;,计算两圆的圆心距,d,;,根据,d,与,R,、,r,之间的关系,便可,判断两圆的位置关系,O,1,M,O,2,P,N,o,y,x,例,4,如图，圆,O,1,和圆,O,2,的半径都等于,1,，圆心距为,4,，过动点,P,分别作圆,O,1,和圆,O,2,的切线，切点为,M,、,N,，且使得,|PM|=|PN|,，试求点,P,的运动轨迹是什么曲线？,分析：建立适当的坐标系，求出点,P,的轨迹方程，在依据方程判断点,P,的运动轨迹,.,