概率统计试题解析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论与数理统计试题解析(05.1),一、选择题(本题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.),1.设A,B为任意两个事件,且A,B,P(B)0,则下列选项必然成立的是:,(A)P(A),P(A|B);,(D)P(A),P(A|B);,解 因为,P(A|B)P(AB)/P(B),P(A)/P(B),P(A),B,2.已知“A不发生或者B发生”的概率是0.4，则“A发生而B不发生”的概率是:,(A)0.16;,(B)0.4;,(C)0.6;(D)0.8.,解 因为,A+B=AB 德摩根律,所以,P(AB)1P(A+B)10.4=0.6,C,或采用特值法：取AB=,则：AB=A 0.4，,于是：AB=A=10.4=0.6,S,A,B,B,A,A,B=,3.设随机变量X的分布律为:PX=-1=0.4,PX=0=0.2,PX=1=0.4,则概率PX,2,=1等于,(A)0.2;,(B)0.4;,(C)0;(D)0.8.,4.参数为5的泊松分布的期望和方差是,(A)5,25;,(B)1/5,1/25;(C)5,1/5;(D)5,5.,解 PX,2,=1PX=1PX=10.4+0.4=0.8,D,解 若,(),则E(X)=,D(X)=,D,5.设随机变量X服从参数为1/3的指数分布,则PX1等于,(A)13e;(B)1e,3,;(C)1e,3,;(D)13e.,解,PX1=,C,6.设随机变量X服从正态分布N(,2,),则随着,的增大,概率P|X,|,(A)增减不定;(B)单调减小;(C)单调增大;(D)保持不变.,D,解 P|X,|,2,(1)1,7.均值为,方差为,2,的独立同分布的随机变量X,1,X,2,X,n,的算术平均值 ,当n充分大时,近似地服从,(A)指数分布;(B)二项分布;(C)泊松分布;(D)正态分布.,解,由独立同分布的中心极限定理知：,D,8.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X2Y的方差是,(A)8;,(B)16;(C)28;(D)44.,9.设随机变量X和Y都服从标准正态分布,则,(A)X+Y服从正态分布;(B)X,2,+Y,2,服从,2,分布;,(C)X,2,和Y,2,都服从,2,分布;(D)X,2,/Y,2,服从F分布。,解 D(3X2Y)D(3X)+D(2Y)=9D(X)+4D(Y),D,解 由,2,分布的定义知X,2,和Y,2,都服从,2,(1),分布.,C,10.设相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则,(A)PX+Y,0=1/2,;(B)PX+Y,1=1/2,;,(C)PXY,0=1/2,;(D)PXY,1=1/2,。,解 由于随机变量X和Y相互独立，所以,XYN(1,2),XYN(1,2),于是,PXY,1=,PXY1,0=(0)=1/2,B,二、计算题(本题共2小题,每小题5分,满分10分.),1.两两相互独立的三个事件A,B,C满足条件:ABC=,P(A)=P(B)=P(C)0),，二次方程y,2,4yX=0无实根的概率为1/2,求,。,解 由二次方程y,2,4yX=0无实根得：,4X(4,)/,=1,(4,)/,于是有：(4,)/,0,即：,4,求f,X,(x)。,2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,解 0 x1时，,f,X,(x),即 f,X,(x),求PX+Y,1,。,3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,解 PX+Y,1,x,y,o,1/2,1,1,4.设随机变量X的概率密度为 ,求随机变量Y,=e,X,的概率密度f,Y,(y),。,解 由于Y=e,X,1,所以y1时有：,F,Y,(y)=PY,y,Pe,X,y=,PX,lny,f,Y,(y),F,Y,(y)=,y,2,即,f,Y,(y),1.已知随机变量X与Y的分布律分别为PX=0=0.4,PX=1=0.6和PY=1=0.2,PY=0=0.3,PY=1=0.5,且X与Y相互独立.求随机变量X与Y的联合分布律以及随机变量Z=maxX,Y的分布律.,四、计算题(本题共5小题,每小题6分,满分30分.),解 X与Y的联合分布律为：,Y X,1,0,1,0,1,Z只取0,1两个值，其分布律为：,PZ=0=PX=0,Y=1+PX=0,Y=0=0.2,PZ=1=PX=1+PX=0,Y=1=0.8,0.08,0.12,0.2,0.12,0.18,0.3,2.已知随机变量X与Y的联合分布律为,求X与Y的协方差Cov(X,Y)。,Y X,1,2,0,0.2,0.4,1,0.3,0.1,解 E(X)=0,(0.2+0.4)+1(0.3+0.1)=0.4,E(Y)=1,(0.2+0.3)+2(0.4+0.1)=1.5,E(XY)=0,(0.2+0.4)+,1,0.3+20.1=0.5,于是有,Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y),=0.1,3.设随机变量Xb(8,0.5),试根据切比雪夫不等式估计P|XE(X)|,2。,解 由于Xb(8,0.5),所以有D(X)=2,由切比雪夫不等式有：,P|XE(X)|,2,D(X)/2,2,=0.5,4.已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),求,的置信度为0.95的置信区间.,(注:标准正态分布函数值,(1.96)=0.975,(1.645,)=0.95),解 由于,所以,由于z,0.025,1.96，于是，,的一个置信度为0.95的置信区间为,(39.51,40.49),5.设X,1,X,2,X,n,是来自参数为,的泊松分布总体X的简单随机样本,试求参数,的矩估计量和最大似然估计量。,解,1,=,E(X)=,用A,1,代替,1,，得,的矩估计量为,设x,1,x,2,x,n,是相应于样本X,1,X,2,X,n,的一个样本值,X的分布律为,PX=x=,故似然函数为,令,解,得,的最大似然估计值为,所以,的最大似然估计量为,1P(A)P(AB),五、证明题(本题满分6分.),设A、B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1.证明:PB|A=PB|,A是事件A与B独立的充分必要条件.,证明 必要性：设PB|A=PB|,A,则有：P(AB)/P(A)=P(,AB)/P(,A),于是：P(A)P(,AB)P(,A)P(AB),即：P(AB)P(A)P(,AB)P(A)P(AB),P(A)P(,AB)P(AB),=P(A)P(B),所以，事件A与B独立。,充分性：设A与B独立,则有：P(AB)P(A)P(B)，P(,AB)P(,A)P(B),所以 PB|A=P(AB)/P(A)P(B),=P(,AB)/P(,A)PB|,A 证毕,