测量误差分析

南京工程学院车辆工程系,第六章 测量误差分析,第一节 误差的基本概念,一、误差的定义及表示法,1.真值,某个物理量在某一时刻和某一位置的客观存在的真实值。,实际上，真值不能确定，使用的是约定真值。,例如：使用,更高一级精度仪表的测量值。,用算术平均值代替。,第六章 测量误差分析,2.,误差,测量值的测得值与真值之间的差。,1)绝对误差简称误差,2)相对误差绝对误差与真值之比值,（更说明问题）,相对误差是无名数，通常以百分数（）来表示。,3)离差测量值与有限次测量的平均值之差,4)引用误差绝对误差与仪表的测量上限或仪表的量程之比有限次测量的平均值之差,对于相同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高低，但对于不同的被测量以及不同的物理量，绝对误差就难以评定其测量精度的高低，而采用相对误差来评定较为确切。,例：用两种方法测量L1100mm的尺寸，其测量误差分别为x110,m，x28m，根据绝对误差的大小，可知后者的测量精度高。但若用第三种方法测量L280mm的尺寸，其测量误差为x37m，此时用绝对误差就难以评定它与前两种方法精度的高低，必须采用相对误差来评定。,第一种方法的相对误差为：r1 x1/L1=10 m/100mm=0.01%,第二种方法的相对误差为：r2 x2/L1=8m/100mm=0.008%,第三种方法的相对误差为：r3 x3/L2=7 m/80mm 0.009%,由此可知，第一种方法精度最低，第二种方法精度最高。,使用相对误差来评定测量精度，也有局限性。它只能说明不同测量结果的准确程度，但不适用于衡量测量仪表本身的质量。因为同一台仪表在整个测量范围内的相对误差不是定值。随着被测量的减小相对误差变大。为了更合理地评价仪表质量；采用了引用（满度）误差的概念。,对一台确定的仪表或一个检测系统，最大引用误差就是一个定值,如果以测量仪表整个量程中，可能出现的绝对误差最大值,m,代替,，则可得到最大引用误差,r,0m,。,测量仪表一般采用最大引用误差不能超过的允许值（最大允许误差）作为划分精度等级的尺度。工业仪表常见的精度等级有0.1级，0.2级，0.5级，1.0级，1.5级，2.0级，2.5级，5.0级。精确度等级为1.0的仪表，在使用时它的最大引用误差不超过1.0，也就是说，在整个量程内它的绝对误差最大值不会超过其量程的1。,在具体测量某个量值时，相对误差可以根据精度等级所确定的最大绝对误差和仪表指示值进行计算。,最大允许误差,指示仪表的最大满度误差不许超过该仪表准确度等级的百分数，即,当示值为,x,时可能产生的最大相对误差为,用仪表测量示值为,x,的被测量时，比值越大，测量结果的相对误差越大。选用仪表时要考虑被测量的大小越接近仪表上限越好。被测量的值应大于其测量上限的2/3。,二、误差分类,1.系统误差,在一定测试条件下，按一定规律变化的误差。,如果无法避免，应对测量数据进行修正。如：标准量值的不准确、仪器刻度的不准确引起的误差。,2.随机误差,因许多不确定性因素而随机产生。不明确、无规律，无法消除或修正,多次重复测量，可减少随机误差。,3.粗大误差,超出在规定条件下预期的误差，明显与实际值不符。剔除异常值,如测量时对错了标志、读错了数、用有缺陷的仪器,三、精度,反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度，它与误差的大小相对应。,1.准确度,反映系统误差的影响程度。,2.精密度,反映随机误差的影响程度。,3.精确度（精度）,反映系统误差和随机误差综合的影响程度。,对于具体的测量，精密度高的而准确度不一定高，准确度高的精密度不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。,第二节 随机误差,一、随机误差的产生原因,1.测量装置方面的因素,零部件配合的不稳定性、变形、表面油膜不均匀、摩擦。,2.环境方面的因素,温度的细小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、灰尘、电磁场变化。,3.人员方面的因素,瞄准、读数的不稳定。,第六章 测量误差分析,二、随机误差的正态分布,对称性,绝对值相等的正负误差出现的概率相等,；,单峰性,绝对值小的随机误差比绝对值大的出现的机会多；,有界性,在一定条件下，绝对值不超过一定范围,；,补偿性,当测量次数增加到无限多时，随机误差的算术平均值趋于零。,随机误差的正态分布,标准正态分布：,随机误差的标准差（均方根差）：,正态分布：,分布函数,分布密度,置信系数 置信区间,置信水平：,数学期望：,方差：,三、随机误差的统计分析,1.中心趋势的测量,在系列测量中，被测量的,n,个测得值的代数和除以,n,而得的值。,对于有确定的单元数,N,和值,x,i,的总体，,平均值,被测量按大小次序排列，,中位数是序列中间的值,。如果元素的数量为偶数，中位数是两个中心值的平均值。,众数是对应于事件发生概率峰值的变量的值,。在离散样本空间，众数是出现频率最高的值。在连续的样本空间，众数为频率最高的数据带的中点。,2.分散性的测量,当总体有有限个元素时，,总体的标准差：,样本标准差：,贝塞尔（,Bessel,）公式,用样本的数据估计总体标准离差时，常用样本标准差。而,2,称为总体方差，,s,2,称为样本方差。,测量列算术平均值的标准差,式中，算术平均值标准差（均方根误差）；,测量列中单次测量的标准差；,n 测量次数,当测量次数n愈大时，算术平均值愈接近被测量的真值，,测量精度也越高。,3.测量的极限误差,测量的极限误差是极端误差，检测量结果的误差不超过该极端误差的概率为P，并使出现概率为（-P），误差超过该极端误差的检测量的测量结果可以忽略。,（1）,单次测量的极限误差,随机误差在至范围内概率为：,经变换，(1.3.22）式为,若某随机误差在t 范围内出现的概率为2(),则超出该误差范围的概率为,几个典型 t值的概率情况分析,t,|=t,不超出|的概率,2（）,超出|的概率,1-2（）,0.67,0.67,0.4972,0.5028,1,1,0.6826,0.3174,2,2,0.9544,0.0456,3,3,0.9973,0.0027,4,4,0.9999,0.0001,当t=3时，即|,|=3,时,误差不超过|,|的概率为99.73%,通常把这个误差称为,单次测量列,的极限误差,lim,x,即,lim,x,=3,例：,测量电压时的测量列为：12.123；12.234；12.235；12.133；12.142；12.233；12.222；12.236；12.152；12.255；12.253；12.246。,则其算术平均值是：,它的实验标准差是（由于标准差没法直接计算，实际操作中都用实验标准差来代替,，即用算术平均值代替真值）：,最后得实验标准差为：,若,t,取2，则测量列的,随机误差为土2s(,x,k,)=土0.1016(V)。,（2）,算术平均值的极限误差,测量列的算术平均值与被测量的真值之差,当多个测量列算术平均值误差为正态分布时，得到测量列算术平均值的极限误差表达式为,式中的t为置信系数，为算术平均值的标准差。,通常取t=3,则,第三节 系统误差,一、系统误差的分类,任何测量，首先要把系统误差限制在允许范围内；如果无法补偿系统误差，则应修正测量结果。系统误差属于可消除误差。,1.根据系统误差的变化分类,恒值系统误差,（固定系统误差）,测量中大小和符号都不变。,变值系统误差,在测量中大小或符号按一定规律变化，变化规律可分为三种：,线性，周期性，复杂变化,，例如指数规律。,2.根据误差产生的原因分类,工具误差,测量工具本身不完善产生的误差,装置误差,测量设备和电路的安装、布置及调整不当产生的误差,环境误差,外界环境（温度、湿度、电磁场等）的影响产生的误差,方法误差,测量方法本身形成的误差,人员误差,包括人员视差、观测误差、估读误差和读数误差,二、系统误差对测量结果的影响,1.恒值系统误差对测量结果的影响,系统误差,测量值的算术平均值中包含恒值系统误差，修正的方法是在测量结果中引入与系统误差大小相等而符号相反的修正值,0,。,测量值,不含系统误差的测量值的平均值,由离差的定义，有,可见，可以用包含恒值系统误差的测量值计算离差。,2.变值系统误差对测量结果的影响,系统误差,变值系统误差以平均值的方式影响测量结果，离差：,测量值,由于变值系统误差，离差计算结果不同,。,不含系统误差的测量值的平均值：,三、系统误差的判别,1.离差观察法,等精度测量，按测量顺序把测得值及其离差值列表，观察,离差值及其符号的变化规律,。,若离差数值递增或递减，测量开始和结束时符号相反，则该测量列含有,线性系统误差,。,若在某测量条件下，离差基本上保持相同符号，变为另一条件时均变号，则表明测量中含有随测量条件而变的,恒值系统误差,。,若离差的符号有规律地由正变负，再由负变正，或循环交替变化多次，则可判定该测量序列含有,周期性误差,。,2.离差核算法,n,足够大时,该项约为0,因线性系统误差前后两组的符号相反，所以,值随,n,增大。若,值显著不为零，则说明测量列中含有线性系统误差。,将离差分为前半组,k,个和后半组,n,k,个，两者求和后相减，有,3.阿贝,赫梅特判据,只要测量列满足下式，就认为该测量列含有周期性系统误差。,四、系统误差的消除,1.恒值系统误差的消除方法,代替法,例如用天平称重。平衡后，用标准的可调已知质量代替未知物质量,M,，使之达到原先的平衡。若标准质量为,P,，则有,M,=,P,，消除了因天平两臂不等而带来的误差。,相消法,使已经固定的系统误差在测量中一次正、一次负，从而抵销。例如螺旋测微仪，用往返两个方向的读数的平均值消除由间隙引起的空行程误差。,对换法,采用交换测量的方法消除恒值系统误差。例如天平，在两次测量中交换被测物与砝码的位置，用平均值作为被测值。,2.线性变化系统误差的消除,3.周期性变化系统误差的消除,对称测量法。如果测量参数随时间线性变化，那么中间测量值等于首尾测量的均值。,取相隔半周期两次测量的平均值为测量结果。,4.系统误差已消除的准则,如果系统误差或离差代数和的绝对值不超过测量结果总误差绝对值最后一位有效数字的一半，就认为系统误差已被消除。测量结果的总误差，一般只用一位或两位有效数字表示。,一、粗大误差产生的原因,第四节 粗大误差与异常数据的取舍,1.测量人员的主观原因,错误的读数和记录,2.客观外界条件的原因,测量条件意外改变,（,机械冲击、外界震动、电网供电电压突变、电磁干扰等,）,3.测量仪器内部突然故障,非上述原因造成粗大误差,二、防止与消除粗大误差的方法,1.加强测量者的工作责任心，以严格的科学态度对待测量工作。,2.保证测量条件的稳定，避免在外界条件发生激烈变化时进行测量,三、判别粗大误差的准则,基本思想：,给定一个显著性水平，按一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它不属于随机误差的范畴，而是粗大误差，该数据应予以剔除,求出测量数据的算术,平均值,及,标准差,(均方根误差),将可疑数据的误差与判断准则作,比较,，凡绝对值大于临界值的就舍弃；,重复上述过程，看是否还有超出准则的数据。,1.3,准则（莱以特准则）,n,50,对某个可疑数据 ，若,s,贝塞尔公式计算的标准差,样本数 时适用,含有粗差，可剔除；否则予以保留,在n10的情形，用3准则剔除粗差注定,失效,取n10,恒成立,2.格罗布斯（Grubbs）准则,含有粗差，可剔除；否则予以保留,查表获得,对某个可疑数据 ，若,s,贝塞尔公式计算的标准差,例1：在检定杠杆千分尺的示值极限误差时，用五等标准量块重复测量了20次，20.000，20.002，20.000，20.000，20.001，20.000，19.998，20.000，20.001，19.998，20.002，20.002，20.000，20.004，20.000，20.002，,19.992,，19.998，20.002，19.998。其中 为可疑数据，判断是否该剔除？,解：计算,查表,故应剔除,3.狄克逊(Dixon)准则,正态测量总体的一个样本