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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,函数的极值与导数,1,已知函数 f(x)=2x,3,-6x,2,+7,(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;,【复习与思考】,(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?,2,知识回顾,利用函数的导数 讨论函数 的单调性,解：,令 ，解得 或 ，,当 时，是增函数；,因此，,当 时，是增函数；,再令 ，解得 ，,当 时，是减函数；,因此，,3,分析函数 在 附近的函数值分别与 的关系.,4,设函数y=f(x)在x=x,0,及其附近有定义，,(1)如果在x=x,0,处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即,f(x)f(x,0,),则称,f(x,0,)是函数,y=f(x)的一个,极小值.,记作:,y,极小值,=f(x,0,),极大值与极小值统称为,极值,x,0,叫做函数的,极值点,.,5,y,a,b,x,1,x,2,x,3,x,4,O,x,观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,6,(1)极值是一个,局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;,(2),极值点,是,自变量的值,，,极值,指的是,函数值,;,(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且,函数的极大值未必大于极小值;,【关于极值概念的几点说明】,(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得,。,7,【问题探究】,函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?,y,a,b,x,1,x,2,x,3,x,4,O,x,8,一般地，当函数 在点 处连续时，判断 是极大（小）值的方法是：,f,(x,0,)=0,（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那,么 是极大值,（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那,么 是极小值,注,：导数为0的点不一定是极值点,9,观察与思考：,极值与导数有何关系？,对于,可导,函数,若x,0,是极值点,则 f,(x,0,)=0;,反之,若f(x,0,)=0,则x,0,不一定是极值点.,函数y=f(x)在一点的导数为0是函数在这点取极值的必要条件，,而非充分条件。,函数y=f(x)在x,0,取极值的充分条件是,:,（1）,f(x,0,)=0,(2)在x,0,附近的左侧 f,(x,0,)0(0)，右侧f,(x,0,)0),10,（1）求导数f,/,(x)；,（2）解方程 f,/,(x)=0,（3）通过列表检查f,/,(x)在方程f,/,(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.,【求函数极值的步骤】,11,例,、,求函数 的极值,例题讲解,解：,当,x,变化时，的变化情况如下表：,+,0,0,+,极大值,y,2,(-2,2),-2,x,极小值,令 ，解得,当 时，,y,有极大值，并且,当 时，,y,有极小值，并且,12,13,例,、,求函数 的极值,解：,当,x,变化时，的变化情况如下表：,无极值,极小值0,无极值,y,+,0,+,0,0,1,(0,1),0,(-1,0),-1,x,令 ，解得,当 时，,y,有极小值，并且,14,注意,：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是,局部性质,。因此一个函数在其整个定义区间上可能有,多个极大值或极小值,，并对同一个函数来说，在某,一点的极大值也可能小于另一点的极小值,。,练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为,。,可导函数必有极值；,可导函数在极值点的导数一定等于零；,函数的极小值一定小于极大值,（设极小值、极大值都存在）；,函数的极小值（或极大值）不会多于一个。,15,2、函数,y,=,f,(,x,)的导数,y,/,与函数值和极值之间的关系为(),A、导数,y,/,由负变正,则函数,y,由减变为增,且有极大值,B、导数,y,/,由负变正,则函数,y,由增变为减,且有极大值,C、导数,y,/,由正变负,则函数,y,由增变为减,且有极小值,D、导数,y,/,由正变负,则函数,y,由增变为减,且有极大值,D,练习：,16,函数 在 时有极值10，则,a，b,的值为（）,A、或,B、或,C、D、,以上都不对,C,，,解:由题设条件得：,解之得,通过验证，都合要求，故应选择A。,注意：,f,/,(,x,0,)=0是函数取得极值的必要不充分条件,注意代入检验,3.,17,4.(,2006年,北京卷)已知函数,在点,处取得极大值5,其导函数 的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）,求：,（1）的值；（2）,a,b,c,的值；,.,略解：,(1)由图像可知：,(2),注意：数形结合以及函数与方程思想的应用,18,
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