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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、正项级数及其审敛法,若,定理,1.,正项级数,收敛,部分和序列,有界,.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界,.,则称,为,正项级数,.,单调递增,收敛,也收敛,.,证,:,“”,“”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,都有,定理,2,(,比较审敛法,),设,且存在,对一切,有,(1),若,强,级数,则,弱,级数,(2),若,弱,级数,则,强,级数,证,:,设对一切,则有,收敛,也收敛,;,发散,也发散,.,分别表示,弱,级数和,强,级数的部分和,则有,是两个,正项级数,(,常数,k,0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故,不妨,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),若,强,级数,则有,因此对一切,有,由定理,1,可知,则有,(2),若,弱,级数,因此,这说明,强,级数,也发散,.,也收敛,.,发散,收敛,弱,级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,讨论,p,级数,(,常数,p,0),的敛散性,.,解,:,1),若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知,p,级数,发散,.,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知,p,级数收敛,.,时,2),若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,调和级数,与,p,级数,是两个常用的比较级数,.,若存在,对一切,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明级数,发散,.,证,:,因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散,.,例,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,3.,(,比较审敛法的极限形式,),则有,两个级数同时收敛或发散,;,(2),当,l,=,0,(3),当,l,=,证,:,据极限定义,设两正项级数,满足,(1),当,0,l,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由,定理,2,可知,同时收敛或同时发散,;,(3),当,l,=,时,即,由,定理,2,可知,若,发散,(1),当,0,l,时,(2),当,l,=,0,时,由,定理,2,知,收敛,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是两个,正项级数,(1),当 时,两个级数同时收敛或发散,;,特别取,可得如下结论,:,对正项级数,(2),当 且 收敛时,(3),当 且 发散时,也收敛,;,也发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的敛散性,.,例,3.,判别级数,的敛散性,.,解,:,根据比较审敛法的极限形式知,例,4.,判别级数,解,:,根据比较审敛法的极限形式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,4,.,比值审敛法,(,Dalembert,判别法,),设,为正项级数,且,则,(1),当,(2),当,证,:,(1),收敛,时,级数收敛,;,或,时,级数发散,.,由比较审敛法可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,所以级数发散,.,时,(2),当,说明,:,当,时,级数可能收敛也可能发散,.,例如,p,级数,但,级数收敛,;,级数发散,.,从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,讨论级数,的敛散性,.,解,:,根据定理,4,可知,:,级数收敛,;,级数发散,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对任意给定的正数,定理,5.,根值审敛法,(Cauchy,判别法,),设,为正项级,则,证明提示,:,即,分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确,.,数,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,级数可能收敛也可能发散,.,例如,p,级数,说明,:,但,级数收敛,;,级数发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,证明级数,收敛于,S,似代替和,S,时所产生的误差,.,解,:,由定理,5,可知该级数收敛,.,令,则所求误差为,并估计以部分和,S,n,近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为,交错级数,.,定理,6,.,(,Leibnitz,判别法,),若交错级数满足条件,:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于,S,且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,收敛,用,Leibnitz,判别法,判别下列级数的敛散性,:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛,?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、绝对收敛与条件收敛,定义,:,对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛,.,均为绝对收敛,.,例如,：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,7.,绝对收敛的级数一定收敛,.,证,:,设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,证明下列级数绝对收敛,:,证,:,(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),令,因此,收敛,绝对收敛,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其和分别为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质,.,*,定理,8.,绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和,.,(P203,定理,9),说明,:,证明参考,P203,P206,这里从略,.,*,定理,9.,(,绝对收敛级数的乘法,),则对所有乘积,按,任意顺序,排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,但需,注意条件收敛级数不具有这两条性质,.,(P205,定理,10),机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.,利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.,利用正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz,判别法:,则交错级数,收敛,概念,:,绝对收敛,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛,?,提示,:,由比较判敛法可知,收敛,.,注意,:,反之不成立,.,例如,收敛,发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P206 1,(1),(3),(5);,2,(2),(3),(4);,3,(1),(2);,4,(1),(3),(5),(6);,5,(2),(3),(5),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.,判别级数的敛散性,:,解,:,(1),发散,故,原级数发散,.,不是,p,级数,(2),发散,故原级数发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,则,级数,(,A,),发散,;(,B,),绝对收敛,;,(,C,),条件收敛,;(,D,),收敛性根据条件不能确定,.,分析,:,(,B,),错,;,又,C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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