非正弦周期函数的有效值和平均功率

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.非正弦周期函数的有效值和平均功率,重点,3.非正弦周期电流电路的计算,1.周期函数分解为傅里叶级数,第十三章 非正弦周期电流电路,下 页,4.滤波器电路,在实际应用中不一定都是正弦电路，经常会遇到非正弦周期的电源和信号。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。,非正弦周期交流信号的特点,(1)不是正弦波,(2)按周期规律变化,如果电路存在非线性元件，即使电源或信号源是正弦信号，电路中也将产生非正弦的周期电压和电流。,13.1 非正弦周期信号,下 页,上 页,例2,示波器内的水平扫描电压,周期性锯齿波,例1,半波整流电路的输出信号,下 页,上 页,脉冲电路中的脉冲信号,T,t,例3,下 页,上 页,基波（和原,函数同频）,二次谐波,（2倍频）,高次谐波,周期函数展开成付里叶级数：,13.2 周期函数分解为傅里叶级数,直流分量,下 页,上 页,也可表示成：,系数之间的关系为,下 页,上 页,求出,A,0,、,a,k,、,b,k,便可得到原函数,f,(,t,)的展开式。,系数的计算,下 页,上 页,利用函数的对称性可简化系数的确定,（1）偶函数,T/2,t,T/2,f,(,t,),T/2,t,T/2,f,(,t,),（2）奇函数,（3）奇谐波函数,t,f,(,t,),T/2,T,下 页,上 页,周期性方波信号的分解,例,解,图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：,直流分量：,谐波分量：,K,为偶数,K,为奇数,t,T,/2,T,下 页,上 页,的展开式为：,下 页,上 页,t,基波,直流分量,三次谐波,五次谐波,七次谐波,周期性方波波形分解,t,t,下 页,上 页,基波,直流分量,三次谐波,直流分量+基波,直流分量+基波+三次谐波,下 页,上 页,t,T,/2,T,下 页,上 页,等效电源,矩形波的频谱图,t,T,/2,T,A,km,o,为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后包含哪些频率分量以及各分量所占的比重，可用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，成为幅度频谱（线频谱）。,下 页,上 页,1.三角函数的性质,（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。,K,为整数,（2）正弦、余弦信号的平方在一个周期内的积分为,。,13.3 有效值、平均值和平均功率,下 页,上 页,（3）三角函数的正交性,下 页,上 页,2.非正弦周期函数的有效值,若,则有效值:,积分项中包含:,下 页,上 页,利用三角函数的性质：,周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的平方根。,下 页,上 页,3.非正弦周期函数的平均值,则其平均值为：,若,即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。,按上式可求得正弦电流的平均值为：,它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的,绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。,下 页,上 页,4.非正弦周期交流电路的平均功率,利用三角函数的性质，得：,下 页,上 页,平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率,1.计算步骤,（2）对各次谐波信号分别应用相量法进行分析计算；,（1）利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干项不同频率的谐波信号；,（3）将以上计算结果转换为正弦量；,13.4 非正弦周期交流电路,的计算,（4）对时域正弦量进行迭加。,（a）对于直流分量作用时,C,相当于开路、,L,相于短路;,（b）在各次谐波频率单独作用下的,X,L,、,X,C,不同。,注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量直接相加是没有意义的。,下 页,上 页,2.计算举例,例1,方波信号激励的电路。求,u,已知：,解,（1）已知方波信号的展开式为：,代入已知数据：,R,L,C,t,T,/2,T,下 页,上 页,直流分量,基波最大值,五次谐波最大值,角频率,三次谐波最大值,电流源,各频率的谐波分量为：,下 页,上 页,（2）对,各种频率的谐波分量单独计算,（a）直流分量,I,S,0,作用,电容断路，电感短路:,（b）基波作用,X,L,R,R,I,S,0,U,0,R,L,C,下 页,上 页,（c）三次谐波作用,R,L,C,下 页,上 页,（d）五次谐波作用,R,L,C,下 页,上 页,（3）各,谐波分量计算结果化成正弦量并迭加,下 页,上 页,例2,已知,u,(,t,)是周期函数，波形如图，,L,=1/2,H,，,C,=125/,F,，,求理想变压器原边电流,i,1,(,t,)及输出电压,u,2,的有效值。,24,1,0.5,u/V,t/,ms,12,解,当,u,=12V作用时，电容开路、电感短路，有：,*,*,C,2:1,8,L,u,下 页,上 页,*,*,2:1,8,8,下 页,上 页,例3,求,U,ab,、,i,及功率表的读数。,解,一次谐波作用时：,三次谐波作用时：,60,j,20,W,a,b,*,*,下 页,上 页,3滤波器,利用电感和电容元件的感抗和容抗对各次谐波的反应不同，组成含有电感和电容的各种不同电路，将其接在输入和输出之间，让某些所需频率分量顺利通过而抑制某些不需要的频率分量，这种电路为滤波器。,低通滤波器：使低频电流分量顺利通过，抑制高频电流分量。,高通滤波器：使高频电流分量顺利通过，抑制低频电流分量。,低通,高通,下 页,上 页,图示电路中，激励,u,1,(,t,),包含,1,、,2,两个频率分量，且,1,2,，要求响应,u,2,(,t,)只含有,1,频率电压，如何实现？,可由图示滤波电路实现：,C,R,C,2,C,3,L,1,+,_,u,1,(,t,),+,_,u,2,(,t,),并联谐振，相当于开路,串联谐振，相当于短路,例1,解,+,_,u,1,(,t,),u,2,(,t,),下 页,上 页,电路如图所示，已知,=1000,rad,/s，,C,=1,F,，,R,=1，,在稳态时，,u,R,(,t,)中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波,电压相同，求：,（1）,u,s,(,t,)的有效值；,（2）电感,L,1,和,L,2,；,（3）电源发出的平均功率。,例2,解,C,R,L,1,+,_,+,_,u,R,(,t,),L,2,u,s,(,t,),下 页,上 页,若使,u,R,(,t,)中二次谐波与电源二次谐波电压相同，则,L,1,、,L,2,和,C,电路发生串联谐振，即：,（3）,C,R,L,1,+,_,+,_,u,R,(,t,),L,2,u,s,(,t,),下 页,上 页,例3,L,=0.1,H,，,C,3,1,F,，其中,C,1,中只有基波电流，,C,3,中只有三次谐波电流，求,C,1,、,C,2,和各支路电流。,100,L,C,3,C,2,C,1,200,解,C,1,中只有基波电流，说明,L,和,C,2,对三次谐波发生并联谐振。即：,C,3,中只有三次谐波电流，说明,L,、,C,1,、,C,2,对于基波发生了串联谐振。即：,下 页,上 页,基波,直流,三次谐波,100,L,C,3,C,2,C,1,200,100,100,C,3,200,上 页,