复变函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*, 复变函数与解析函数, 复变函数的积分, 复变函数的级数与留数定理,复变函数,1,11.1,复数及其运算,11.2,复变函数,11.3 解析函数,第,11,章 复变函数与解析函数,11.4 初等函数,2,11.1,、复数及其运算,1,、复数的定义,(2),复数的定义,对任何实数,x,y,称,z,=,x,+,yi,复数，,x,和,y,分别称为,z,的实部和虚部.,记作,x,=Re(,z,),y,=I,m,(,z,),2、,两个复数相等，当且仅当其实部和虚部分别相等；,4、,两个复数,不能比较大小,。,3、,z,=0,等价于,x,=0,且,y,= 0,；,注：,1、,由定义知，复数是实数的,推广,；,一、复数及其表示法,3,(1) 复平面,2、复数的几何意义,4,5,称含“无穷远点”的复平面为,扩充复平面,；,6,7,3 欧拉公式,其各项的模构成的级数：,易知其处处收敛，从而级数（1）在复平面上绝对收敛。,在,x,轴上（即,z,=,x,），级数（1）表示指数函数,e,x,在复平面上，用它定义复变量的指数函数：,8,当,x,=0,即,z,=,iy,时，（3）式变为：,欧拉公式,9,由（4），（5）可得：,由指数函数定义式及幂级数的乘法运算，不难推出：,10,3、,复数的三种表示法,11,二、复数的运算,1、复数的代数形式的四则运算,12,2、,共轭复数,13,3、复数的三角、指数形式的运算,14,问题,:给定复数,z,=,re,i,，求所有的满足,n,=z,的复数,当,z,0时，有,n,个不同的值与,z,相对应，每一,个这样的,值都称为,z,的,n,次方根，,15,注：,16,17,18,19,20,21,i,开,4,次方的,几何意义,22,三、平面曲线的复数方程,1、,曲线方程的定义,在复平面上，复变量满足的方程式称为,曲线方程,。,定义,23,2、常见曲线的复数形方程,24,25,(3),简单曲线：,没有重点的连续曲线,。,26,四、复平面区域,由有限个点或无限个点的集合称为点集。复平面上的点集可视为复数的集合。,1,、平面点集：,2,、邻域：,27,(2),开集,如果,G,内的每一个点都是它的内点，那么称,G,是开集。,3,、区域：,(1),内点,(3),连通,若平面点集,G,中的任何两点，都可用完全属于,G,的一条折线连接起来，则称集,G,是,连通的。,(4),区域,若平面点集满足下列条件：,G,是开集 ,G,是连通的,那么称,G,是区域。,28,(2),闭区域,(3),有界区域,4、闭,区域,(1),边界,29,单连通区域,复连通区域,30,31,本讲内容归纳,32,