《大学数学》辅导讲义稿

第三章,线性方程组,1,大学数学,辅导讲义稿,贺家顺,2001-9-7,2001,春开放教育,计算机,专科第二学期,总目录,前言,辅导进度,第一章,多元函数的微积分,辅导提纲,第二章,矩阵,辅导提纲,第三章,线性方程组,辅导提纲,第四章,随机事件与概率,辅导提纲,第五章,随机变量及其数字特征,辅导提纲,第六章,统计推断,辅导提纲,总复习提纲,前言,相信自己的能力，提高学习信心；,加强自学，降低依赖心；,抓住重点，突破难点；,注意学习方法，联系前面所学知识，化“厚”为“薄”，多看多练；,结合生产、生活，深入书中，其乐无穷。,辅导进度表,编号,日期,内容,1,2001-9-9,1,。,0,1,。,5,2,2001-9-23,1,。,6,1,。,9,3,2001-10-14,第一章复习小结,4,2001-10-21,2,。,1,2,。,5,5,2001-10-28,2,。,6,2,。,9,和第二章复习小结,6,2001-11-4,3,。,1,3,。,3,7,2001-11-11,3,。,4,3,。,5,和第三章复习小结,8,2001-11-18,4,。,1,4,。,4,和第四章复习小结,9,2001-11-25,5,。,1,5,。,4,和第五章复习小结,10,2001-12-2,6,。,1,6,。,4,和第六章复习小结,11,2001-12-16,总复习一,12,2001-12-30,总复习二,第一章辅导提纲（,1,）,一、学习重点,：,1,、求偏导数、全微分的方法；复合函数的微分法和求隐函数的偏导数的方法；用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。,2,、直角坐标系、极坐标系下二重积分的计算方法,3,、曲顶柱体的体积和曲面围成的空间的体积的求法。,第一章辅导提纲（,2,）,二、注意,二元函数,的微积分和,一元函数,微积分的联系、区别,注意二元函数的微积分和一元函数微积分联系起来，会达到事半功倍的学习效果，但也要几点区别，不能一概而论；要善于把二元函数的微积分化为一元函数微积分。二元函数的微积分和一元函数微积分联系、,区别如下表,：,第二章,矩阵,辅导提纲,矩阵及矩阵的运算；逆矩阵和求法；,方阵行列式及计算方法；,线性方程组的克莱姆法则；,矩阵的秩和矩阵的秩的大小判定；,分块矩阵和运算,一、矩阵的概念和几种运算,1,、矩阵的概念,A,）矩阵、元素和表示；,B,）,n,阶矩阵、主对角线、次对角线；,C,）零矩阵、字母,O,表示；负矩阵；单位矩阵,方阵,D,）同型矩阵,矩阵及矩阵的运算,二、矩阵的运算,1,、矩阵相等；,2,、矩阵的加法；,3,、数与矩阵的乘法；,4,、矩阵的乘法；,5,、矩阵的转置；,三、几种特殊的矩阵（方阵）,A,）数量矩阵；,B,）对角矩阵；,C,）三角矩阵；,D,）对称矩阵；（乘不封闭）,矩阵及矩阵的运算,N,阶矩阵的行列式,n,阶矩阵的行列式的定义；展开；,n,阶矩阵的行列式的性质；,3,、,5,、,7,、,2,推论,n,阶矩阵的行列式的计算；（二三阶、高阶）,方阵行列式定理。,NO119,第三章,线性方程组,辅导,主要内容,求线性方程组的一般解的高斯消元法；,向量的线性运算；,齐次线性方程组的通解的求法；,非线性方程组的通解的求法。,第三章,线性方程组,1,一、高斯消元法,1,、,基本概念和定理,1,）线性方程的一般形式和矩阵表示：,不全为零 时，称（*）为非齐次线性方程组；,时，称（*）齐次线性方程组。,*,*,如,如,第三章,线性方程组,2,矩阵表达式：,设,则（*）简写为：,为增广,矩阵,A,为,系数矩阵,；,X,为,未知数矩阵,；,B,为,右端矩阵,（*）为,第三章,线性方程组,3,2,）,基本定理：,P185,定理,3.1,。意义：利用初等行变换把增广矩阵,A|B,化为阶梯矩阵简化线性方程组的求解过程。,2,、,例题与练习,例,1,：求下列线性方程组的（通）解,解法,1,：,1x-1=2,初等解法得,x=1,y=2,。,解法,2,：因为系数矩阵 用克莱姆法则：,第三章,线性方程组,4,解法,3,：高斯消元法,最后矩阵相当于方程组,注：,1,）对增广矩阵的,初等行变换,过程,线性方程,同解变形,过程,2,）可根据最后一个矩阵直接写出结果,第三章,线性方程组,5,例题,2,：求下列线性方程组的（通）解,注：不能用克莱姆法则,解,1,：即,x+y=1,有,2-1,个自由未知量，一般解为,x=1-y,令,y=k,通解为,x=1-k,，,y=k,（,k,为任意实数）。,解,2,：高斯消元法,也可写作：,第三章,线性方程组,6,例,3,：求下列线性方程组的（通）解,解法,1,：得,0=-1,，无解,解法,2,：,无解,注：例,1,、,2,线性方程组称为相容线性方程组；例,3,为不相容线性方程组。另外，高斯消元法比克莱姆法则更具有通用性。,第三章,线性方程组,7,例,4,：求下列线性方程组的（通）解,解：,有三个独立的方程，五个未知量，因而有,5-3=2,个自由未知量，一般解为：,第三章,线性方程组,8,(,令,x,4,=k,1,x,5,=k,2),矩阵表示式由来后面详讲,第三章,线性方程组,9,二、,n,维向量及相关定理,1,、把二维、三维向量推广到,n,维,P195,（定义、表示、分量）,2,、,n,维向量的线性运算,设,为两个同维向量，则,n,维向量和,的矩阵本质相同；一个矩阵可看作若干个列（行）向量组成。,第三章,线性方程组,10,3,、相关定义、定理：,1,）线性组合（表出）的概念（,P198,）,2,）线性表出的充要条件、组合系数的求法（,P199,及,P200,例,4,）,例,4,设,（以下略）,3,）,向量组,的线性相关性和无关性定义、判定定理（不全为零、全为零）,4,）,向量组,的,极大无关组,与向量组的,秩,的概念和求法、常用线性无关组,注：,1),向量组的秩,=,矩阵的秩,2),由于初等行变换不改变向量组线性相关性，,极大无关组,由主元不为零组成（可构成上三角矩阵）,第三章,线性方程组,11,三、齐次线性方程组（*）解的结构,1,、预备知识,：线性方程（*）组相容性定理；解的个数定理。,P218,、,P219,2,、齐次线性方程组（*）解的结构,1,）平凡解、非平凡解及有关结论,P224,2,）解的结构,基础解系的线性组合、通解,3,、齐次线性方程组（*）解的非平凡解的求法（,P225,）,例：求下面齐次线性方程组的解的通解,第三章,线性方程组,12,解：,由此可见,x,4,x,5,为自由元。于是,令,x,4,=1,x,5,=0,和,x,4,=0,x,5,=1,得解向量,原方程组的通解为,第三章,线性方程组,13,三、非齐次线性方程组（*）解的结构,1,、有关结论：,P230,2,、解的结构（无穷解时）,通解,=,（*）,特解,+,齐次线性方程组（*）,通解,3,、（*）通解求法,例,4,：求下列线性方程组的（通）解,第三章,线性方程组,14,解：,因为系数矩阵的秩,=,增广矩阵的秩,=35,，所以原方程组有无穷解，且有,2,个自由变元,x,4,x,5,。令,x,4,=x,5,=0,，和,x,4,=1,x,5,=0,和,x,4,=0,x,5,=1,可得,1,个特解和相应,齐次线性方程组的基础解系,通解为,第三章,线性方程组,15,作业：,P202 No.1 No.3,P209 No.1 No.7,P217 No.1(1)No.2,P223 No.6,P234 No.1,第三篇概率论与数理统计,学习的意义,学习内容：,第四章：,随机事件与概率,古典实用的概率论,；（古典、与贝努里概型貌 的,概率,第五章,：随机变量及数字特征,用随机变量刻划随机事件；研究,概率,。,第六章：,统计推断,用样本,（的数字）,特征推断总体,（的数字,）特征,第四章随机事件与概率,4-1,一、基本概念,随机现象与随机事件,1,）,随机现象及统计规律,2,）,随机试验及特点,：为研究随机的统计规律，表示：,E,；三个特点,3,）,随机事件及特点,：,基本事件,（样本点）：随机试验中，每一可能发生的不能再分解的 基本结果。表示：,样本空间,：,U,随机事件,：,U,的子集。表示：,A,、,B,、,C,、,D,。,如：,U=,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,A=,出现三点,=3,，,B=,出现,3,点或,4,点,=3,，,4,，,C=,出现偶数点,=2,，,4,，,6,等，是,U,的子集为随机事件。,第四章随机事件与概率,4-2,事件的关系和运算,(,重点是把事件符号化，利于后面的计算）,1,）,事件的包含和相等：,2,）,事件的和：,A+B,3,）事件积：,AB,（和包含不同,）？,4,）事件的差：,A-B,5,）互不相容事件：（互斥事件）,6,）对立事件：（和互斥事件不同）,7,）完备事件组：两两互不相容且和是必然事件,第四章随机事件与概率,4-3,概率及其性质,1,）频数、频率、概率的稳定性、概率：,P,（,A,）,2,）概率的性质,频率,完全可加性：两两互不相容，则,第四章随机事件与概率,4-4,二、,古典概型及概率的计算,1,）古典概型：试验结果个数有限；试验结果出现的可能性相同；,基本事件互不相容。,2,）古典概型的概率的计算：,P,（,A,）,=,简单算法：,P270,例,2,、例,3,、例,4,（,1,）,排列组合算法：例,4,（,2,）（,3,）,概率的运算及法则：,复杂事件的概率 简单事件概率,事件,A,包含的基本事件的个数,基本事件的总数数,1,）,2,）,3,）,4,）,5,）若,A,1,，,A,2,，,A,3,构成完备事件组：,P295,第四章随机事件与概率,4-5,三、,贝努里概型及概率的计算,事件的独立性：,P,（,A|B,）,=P,（,A,）,两事件独立,P,（,AB,）,=P,（,A,）,P,（,B,）,贝努里概型：,若 试验,E,：结果只有两个 ；在相同条件下,独立,的重复,n,次；,n,次 试验中 事件,A,恰好发生,k,次的概率：,例题：,P291,例,6,第五章随机变量及数字特征,5-1,一、随机变量（函数）及分布、期望、方差,;,二、常用随机变量的分布,三、二维随机变量及其联合分布、期望、方差、；,第五章随机变量及数字特征,5-2,一、,随机变量及其分布,1,、随机变量的概念及和事件的关系,#,取值是随机，事前并不知道取到哪一个值；,#,所取的每一个值，都对应于某一事件；,#,所取的每一个值的概率大小是确定的。,例题,1,：掷一骰子，,A=,出现,1,点,，,B=,出现,2,点,，,C=,出现,3,点,F=,出现,6,点,，,G=,出现,2,点或出现,3,点,，,H=,出现,1,点或出现,2,点或出现,3,点,；,X,表示掷此骰子出现的点数，则,X,可能的取值为,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,是随机的且,所以,X,可能的取值是有限个或可数个,离散型随机变量,第五章随机变量及数字特征,5-3,例题,2,：,P309,例题,3,连续型随机变量,（非离散型随机变量中常见的一种）,2,、随机变量的分布：取值规律,离散型随机变量取值规律用：,或列表,连续型随机变量取值规律用密度函数刻划：,性质：,性质：,例题,3,：例题,1,的随机变量,X,的分布列,X,1,2,3,4,5,6,P,k,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,第五章随机变量及数字特征,5-4,二、分布函数：（累加概率）,离散型随机变量分布函数：,连续型随机变量分布函数：,性质：,例题,4:,例题,1,的分布函数是：,第五章随机变量及数字特征,5-5,三、随机变量的函数的分布,1,、概念：,对 于例题,1,中的中随机变量,X,，设,Y,是,X,的函数，,Y,也是随机变量,2,、随机变量的函数的分布：,例题,6,：例题,1,中，设,Y=2X+1,，求随机变量,X,的函数,Y,的分布。,解：,X,的可能取值为：,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,。所以,Y,的可能取值为,