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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4,.协方差及相关系数,第四章 随机变量的数字特征,协方差的定义,协方差的性质,相关系数的定义,相关系数的性质,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,一、协方差,称,COV,(,X,Y,),=E,(,X EX,)(,Y-EY,),=E XY EX EY,为随机变量,X,Y,的,协方差,.,COV,(,X,X,)=,DX,.,称为随机变量,X,Y,的,相关系数,。,是一个无量纲的量；,1）,协方差的定义,2）相关系数的定义,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,证明：,E XY=EX EY,所以,COV,(,X,Y,),=,0,.,由数学期望的性质,:,定理,：,若,X,，,Y,独立，则,X,Y,不相关。,(反之，不然）,称,X,Y,不相关,，,此时,COV,(,X,，,Y,)=0.,若,X,，,Y,独立，,注意：,若,E,(,X,EX,)(,Y,-,EY,),则,X,，,Y,一定相关，且,X,，,Y,一定不独立。,即,EXY,-,EXEY,二、协方差的性质,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,1),COV,(,X,Y,)=,COV,(,Y,X,),2),COV,(,aX,，,bY,)=,abCOV,(X,，,Y,),；,3),COV,(,X,+,Y,Z,)=,COV,(,X,Z,)+,COV,(,Y,Z,);,5),X,，,Y,不相关,COV,(,X,Y,),=E,(,X EX,)(,Y-EY,),三、相关系数的性质,证明：,令：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,求,a,，,b,使,e,达到最小。,令：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,得：,第四章 随机变量的数字特征,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,返回主目录,即,由上式得,:,4 协方差,现在证明：,由上面知此时,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,从而,所以,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,反之，若存在 使,，,这时,故,则,故,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,说 明,X,与,Y,之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。,X,与,Y,不相关，但不一定相互独立。,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,返回主目录,例1,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,返回主目录,由上述知：,则：,例2,设(,X,，,Y,),服从二维正态分布，求：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,令,：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,返回主目录,第四章 随机变量的数字特征,返回主目录,故,4 协方差,例3,证明：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,2）,则根据切比雪夫不等式有,3）,思考题：,1),第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,小结：,1）协方差的定义和性质；,2）相关系数的定义性质；,3）,不相关的定义及等价条件；,4）独立性与不相关性的关系；,5）二维正态分布的不相关性与独立性等价。,
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