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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Copyright,Lin,Hui,2006,Department of Finance,Nanjing,University,金融工程与风险管理,第,3,章 金融工程的基本分析方法,11/28/2024,1,3.1,无套利定价法,套利（,Arbitrage,）：能带来利润的零风险和零净投资的战略。,零投资（,zero investment,）：构建一个自融资组合（,self-financing portfolio,）。,无风险（,risk free,）,正收益（,positive return,）,例如：某人从,A,银行以,5%,的年利率借入，同时以,6%,的年利率存入,B,银行，这就构成了套利。,11/28/2024,2,两种套利途径：,当前时刻净支出为,0,，将来获得正收益（收益净现值为正）,当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为,0,）。,套利,=,免费的午餐。通过套利将市场从非均衡拉向均衡，故金融资产的均衡价格是无套利条件下给出，形成了,无套利定价原则,。,一个均衡的市场是不存在套利机会的，金融资产的均衡价格不可能提供套利机会。,无套利并不需要市场参与者一致行动，实际上只要少量的理性投资者就可以使市场无套利。,11/28/2024,3,案例,2-1,假设现在,6,个月即期年利率为,10%,（连续复利，下同），,1,年期的即期利率是,12%,。如果有人把今后,6,个月到,1,年期的,远期利率,定为,11%,，试问这样的市场行情能否产生套利活动？,答案是肯定的。,11/28/2024,4,回顾：连续复利的概念,若名义利率为,r,，一年（期）平均付息,m,次，则相应的有效利率,r,m,为,后者为连续复利，如果是,T,年（期），则,11/28/2024,5,套利过程是：,交易者按,10%,的利率借入一笔,6,个月资金（假设,1000,万元）,签订一份协议（远期利率协议），,该协议规定该交易者可以按,11%,的利率，在,6,个月后从市场借入资金,1051,万元（等于,1000e,0.100.5,）。,按,12%,的利率贷出一笔,1,年期的款项金额为,1000,万元。,1,年后收回,1,年期贷款，得本息,1127,万元（等于,1000e,0.121,），,并用,1110,万元（等于,1051e,0.110.5,）,偿还,1,年期的债务后，交易者净赚,17,万元（,1127,万元,-1110,万元）。,这是哪一种套利？,11/28/2024,6,无套利的定价法的应用原理：,无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。,如果两种资产（组合）的现金流特征完全相同，根据无套利原理，二者可以相互复制,如果,A,资产（组合）与,B,资产（组合）的风险完全相同，则已知,A,资产的收益，就可以推断,B,的收益，从而得到,B,的资产的定价。,11/28/2024,7,3.2,金融工程的基本假设,金融工程需要通过建立模型来实现风险的定量化，为此，需要对现实的世界做出一定的假设,市场无摩擦性（,frictionless,）,无交易成本、无卖空限制，简化金融工具的定价分析过程，并由理想的市场进一步到现实的市场。,无对手风险（,counterpart risk,）：交易的任何一方无违约,市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。,市场不存在套利机会。这是金融工程最重要的假设。,11/28/2024,8,案例,2-2,无套利定价法运用到期权定价中,假设一种不支付红利的股票，目前的市价为,10,元，我们知道在,3,个月后，该股票价格要么是,11,元，要么是,9,元。,假设现在的无风险年利率等于,10%,，,问题：求一份,3,个月期执行价格为,10.5,元的该股票欧式看涨期权的价值。,11/28/2024,9,为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权,空头,和,m,单位的标的股票多头组成的组合。,若股票价格,11,，则该期权执行，则组合价值为,11m,0.5,若股票价格,9,，则该期权不执行，则组合价值为,9m,为了使该组合在期权到期时无风险，,m,必须满足下式：,11m,0.5,9m,，即,m=0.25,组合价值为,2.25,元,11/28/2024,10,由于该组合中有一单位看涨期权空头和,0.25,单位股票多头，而目前股票市场价格为,10,元，因此，从无套利出发，期权费,f,（期权的价值）必须满足,根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风险利率，所以组合的现值为,11/28/2024,11,无套利定价法的应用,金融工具的模仿（,mimicking,）,即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。,注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不同。,金融工具的合成（,compound,）,即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同价值。,合成是建立在模仿的基础上,11/28/2024,12,案例,2-3,：模仿股票（,the mimicking stock),模仿股票：一个买权多头和一个卖权空头的组合。,假设,t,时刻，股票买权和卖权的价格分别是,c,t,和,p,t,，,两个期权的执行价格都是,X,S,t,（,t,时刻股票的价格），到期日股票价格为,S,T,。,则到期日的收益为,11/28/2024,13,股票,模仿股票,模仿股票与实际股票有所区别！,11/28/2024,14,案例,2-4,合成股票（,compound stock,）,合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，一个看跌期权的空头,+,无风险债券多头。,为消除模拟股票与股票之间的差异（,-c,t,p,t,），,需要购买的无风险债券的数量为：,-c,t,p,t,则到期日，组合的价值为,max(0,S,T,-X)-max(0,X-S,T,)=S,T,-X,11/28/2024,15,3.3,风险中性定价法,无风险资产的收益是确定的，其风险为零，而风险资产的收益具有随机性,各种状态的出现具有一定的概率，故具有补偿风险的超额收益率。,风险资产的效用需要考虑人的风险偏好，而无风险资产只需要考虑收益，与风险偏好无关,启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的回报率等于无风险收益率,超额收益率为,0,。,11/28/2024,16,风险中性定价原理,风险中性定价原理,：在这个改变了,概率,的世界里，所有证券的预期收益率都等于无风险利率,r,，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。,风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定,联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的效用？,11/28/2024,17,应用案例,2-2,，在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为,p,，下跌的概率为,1-p,。（虽然有实际的概率，但可以不管），如果风险中性，则该股票无超额收益，这个风险中性世界的概率是,同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则期权的现值为,两种方法求得结果是等价的,风险中性定价本质上仍是无套利定价。,11/28/2024,18,风险中性定价法的含义,对于两个资产组合,1,和,2,，其均值和方差分别如下,在上述的这种情况下，我们无法比较哪种资产组合占优，此时就将这两种资产组合放入一个,风险中性的世界,，比较他们的收益的大小。,11/28/2024,19,比较两种定价方法,假设一个无红利支付的股票，当前时刻,t,，股票价格为,s,，基于该股票的某个期权的价值是,f,，,期权的有效期是,T,，,在这个有效期内，股票价格或者上升到,su,（,u1,），或者下降到,sd,（,1d0,）。,当股票价格上升到,su,时，我们假设期权的收益为,f,u,，,如果股票的价格下降到,sd,时，期权的收益为,f,d,。,11/28/2024,20,无套利定价法的思路,首先，构造由,m,股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的,m,值。,11/28/2024,21,如果无风险利率为,r,，则该无风险组合的现值为,在无套利假定下，构造组合的成本满足,将（,3.1,）代入（,3.2,）整理得到,11/28/2024,22,总结：风险中性定价的思路,假定风险中性世界中股票的上升概率为,p,，由于股票的期望值按无风险利率贴现，其现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：,11/28/2024,23,由上式可见，期权价值只与无风险利率、股票上涨（下跌）的幅度和时间有关，而不依赖于股票上涨的,实际概率,。这完全违反直觉！,期权的价值依赖于标的资产的上涨（下跌），但未来上升和下跌的概率已经包含在股票的价格中！,11/28/2024,24,3.3,状态价格定价技术,定义：在特定的状态发生时回报为,1,，否则回报为,0,。,如果未来时刻有,N,种状态，而这,N,种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。,该方法是无套利定价原则和证券复制技术的具体运用。,11/28/2024,25,案例,2-5,A,是有风险证券，当前的价格,P,A,，一年后其价格要么上升到,uP,A,，,要么下降到,dP,A,。,这就是市场的两种状态：上升状态（概率是,q,）,和下降状态（概率是,1-q,），由,A,证券的价格变化可以构造两个基本证券。,uP,A,dP,A,P,A,q,1-q,11/28/2024,26,1,、构造两个基本证券（单位证券）。,基本证券,1,在证券市场上升时价值为,1,，下跌时价值为,0,；基本证券,1,现在的市场价格是,u,，,基本证券,2,恰好相反，在市场上升时价值为,0,，在下跌时价值为,1,。基本证券,2,的价格是,d,。,1,0,u,q,1-q,0,1,d,q,1-q,11/28/2024,27,q,1-q,u,uP,A,+,d,dP,A,1uP,A,0dP,A,uP,A,0uP,A,1dP,A,dP,A,uP,A,dP,A,P,A,q,1-q,2,、令基本证券的现金流等价于证券,A,。,购买,uP,A,份基本证券,1,和,dP,A,份基本证券,2,组成,一个假想,的证券组合,根据无套利假设,11/28/2024,28,由此可见，该组合在,T,时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券,A,一样的现金流，所以,两个基本证券的组合,是证券,A,的复制品。,根据无套利原理，复制品与被复制对象的市场价格应该相等，即,或者,（,3.3,）,11/28/2024,29,3,、求两个基本证券当前的价值,在,T,时刻无论出现什么状态，各,1,个单位基本证券构成的组合其终值为,1,元。,q,1-q,1,u,+1,d,11,01,1,01,11,1,因此，该组合是无风险的，根据无套利原理该基本证券组合的收益率，只能是无风险收益率，若无风险收益率为,r,，则,（,3.4,）,t,T,11/28/2024,30,所以由（,3.3,）和（,3.4,）联立得到,注意：在上述的两个等式中，实际的概率并没有在等式中出现？,状态价格定价技术,：（,1,）由市场上已知证券的状态得到基本证券,；（,2,）由基本证券来模拟未知的证券，使他们终值相等，从而得到未知证券的现值。,11/28/2024,31,例子：状态价格法定价技术,假设有价证券的市场情况如下：,P,A,100,，,r,2,，,u,1.07,，,d,0.98,，,T,t,1,，若另外有一个证券,B,，其价格,1,年后可能上升为,103,，也可能下降为,98.5,元，求证券,B,的合理价格。,计算步骤,：,由证券,A,构造基本证券,1,和基本证券,2,；基本证券来复制证券,B,：,uP,B,份的基本证券,1,和,dP,B,份的基本证券,2,。,11/28/2024,32,11/28/2024,33,结论：,只要有具
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