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,第,3,讲分类讨论思想、转化与化归思想,一、分类讨论思想,从近五年高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,现已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点,.,高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中,(,尤其导数与函数,),常有一道分类讨论求解的把关题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题,.,1,.,分类讨论思想的含义,分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,首先需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答,.,2,.,分类讨论的原则,(1),不重不漏,;(2),标准要统一,层次要分明,;(3),能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论,.,3,.,分类讨论的常见类型,(1),由数学概念而引起的分类讨论,;(2),由数学运算要求而引起的分类讨论,;(3),由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论,;(4),由图形的不确定性而引起的分类讨论,;(5),由参数的变化而引起的分类讨论,;(6),由实际意义引起的讨论,.,应用一,应用二,应用三,应用一,由数学的概念引起的分类讨论,例,1,已知,a,b,0,且,a,1,b,1,.,若,log,a,b,1,则,(,D,),A,.,(,a-,1)(,b-,1),0,C,.,(,b-,1)(,b-a,),0,解析,:,当,0,a,1,得,ba.,a,1,ba,1,b-a,0,b-,1,0,a-,1,0,(,a-,1)(,a-b,),0,.,排除,A,B,C,.,当,a,1,时,由,log,a,b,1,得,ba,1,.,b-a,0,b-,1,0,.,(,b-,1)(,b-a,),0,.,故选,D,.,应用一,应用二,应用三,思维升华由数学概念引起的分类讨论有,:,绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数、对数函数等,.,应用一,应用二,应用三,突破训练,1,(,2017,湖北武汉二月调考,文,16,),若函数,f,(,x,),=,ln(,ax,2,+x,),在区间,(0,1),内单调递增,则实数,a,的取值范围为,.,解析,:,若函数,f,(,x,),=,ln(,ax,2,+x,),在区间,(0,1),内单调递增,即函数,g,(,x,),=ax,2,+x,在,(0,1),内单调递增,当,a=,0,时,g,(,x,),=x,在,(0,1),内单调递增,符合题意,应用一,应用二,应用三,应用二,由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论,例,2,设等比数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,.,若,S,3,+S,6,=,2,S,9,则数列的公比,q,是,(,C,),应用一,应用二,应用三,思维升华,1,.,在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论,.,2,.,有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的,.,比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论,;,解方程及不等式时,两边同乘一个数是零、是正数、还是负数的讨论,;,二次方程运算中对两根大小的讨论,;,差值比较中的差的正负的讨论,;,有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等,.,应用一,应用二,应用三,突破训练,2,若关于,x,的不等式,(,a-,2),x,2,+,2(,a-,2),x-,4,0,对一切,x,R,恒成立,则,a,的取值范围是,(,C,),A,.,(,-,2B,.,-,2,2,C,.,(,-,2,2D,.,(,-,-,2),解析,:,当,a-,2,=,0,即,a=,2,时,不等式为,-,4,0,恒成立,所以,a=,2;,所以,a,的范围是,a|-,2,a,2,.,应用一,应用二,应用三,应用三,根据字母的取值情况分类讨论,例,3,已知,a,b,R,且,e,x,a,(,x-,1),+b,对,x,R,恒成立,则,ab,的最大值是,(,A,),应用一,应用二,应用三,解析,:,令,f,(,x,),=,e,x,-a,(,x-,1),-b,则,f,(,x,),=,e,x,-a,若,a=,0,则,f,(,x,),=,e,x,-b,-b,0,得,b,0,此时,ab=,0;,若,a,0,函数单调增,x,-,此时,f,(,x,),-,不可能恒有,f,(,x,),0,.,若,a,0,由,f,(,x,),=,e,x,-a=,0,得极小值点,x=,ln,a,由,f,(ln,a,),=a-a,ln,a+a-b,0,得,b,a,(2,-,ln,a,),ab,a,2,(2,-,ln,a,),.,令,g,(,a,),=a,2,(2,-,ln,a,),.,思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括,:(1),含有参数的不等式的求解,;(2),含有参数的方程的求解,;(3),函数解析式中含参数的最值与单调性问题,;(4),二元二次方程表示曲线类型的判定等,.,应用一,应用二,应用三,突破训练,3,(,2017,湖北武汉二月调考,文,12,),若函数,f,(,x,),=a,e,x,-x-,2,a,有两个零点,则实数,a,的取值范围是,(,D,),应用一,应用二,应用三,解析,:,函数,f,(,x,),=a,e,x,-x-,2,a,的导函数,f,(,x,),=a,e,x,-,1,当,a,0,时,f,(,x,),0,恒成立,函数,f,(,x,),在,R,上单调,不可能有两个零点,;,1,.,简化分类讨论的策略,:(1),消去参数,;(2),整体换元,;(3),变更主元,;(4),考虑反面,;(5),整体变形,;(6),数形结合,;(7),缩小范围等,.,2,.,分类讨论遵照的原则是,:,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论,.,
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