内积空间与希尔伯特空间讲稿

机动 目录 上页 下页 返回 结束,第,*,页,第五章 内积空间与希尔伯特,空间,内积空间与,希尔伯特空间,内积空间,+,完备性,希尔伯特空间,欧氏空间,线性空间,+,内积,内积,空间,元素的长度（范数）,两向量夹角与正交,内积空间特点,：,1,内积与内积空间,一、内积空间与希尔伯特空间的概念,定义,1,设,H,是数域,K,上的线性空间,，定义函数,:,H,H,K,使得：对,x,y,z,H,K,满足,则称,为数域,K,中,x,与,y,的内积,而称定义了内积的空间,H,为内积空间。,注,：,1),当数域,K,为实数域时，称,H,为实的内积空间；,当数域,K,为复数域,C,时，则称,H,为复的内积空间。,2,由内积诱导的范数及由内积诱导的距离,定义,2 (1),范数,称为由内积诱导的范数。,(2),距离函数,称为由内积诱导的距离。,(2),内积与由内积诱导的范数的等式关系：,(3),由内积诱导的范数满足范数公理,内积空间按照由内积导出的范数,是线性赋范空间。但反之不然,注,:,(1),内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系,许瓦兹不等式,3,线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的充分必要条件,定理,1,线性赋范空间,X,是内积空间,x,yX,有,|,x+y,|,2,+|,x,-,y,|,2,=2|,x,|,2,+2|,y,|,2,(,平行四边形公式或中线公式,),定义,3,设,H,是内积空间，若,H,按照由内积诱导的范数成为,Banach,空间，则称,H,是希尔伯特空间。,4,希尔伯特空间,例,1,n,维欧氏空间,R,n,按照内积,是内积空间。,R,n,中由内积导出的距离为,R,n,按照由内积导出的范数,因而是,Hilbert,空间。,是,Banach,空间，,l,2,按照由内积导出的范数,是,Banach,空间，因而是,Hilbert,空间。,l,2,中由内积导出的距离为,例,2,l,2,空间按照内积,是内积空间。,(,许瓦兹不等式,),例,3,L,2,a,b,空间按照内积,是内积空间。,L,2,a,b,按照由内积导出的范数,是,Banach,空间，因而是,Hilbert,空间。,L,2,a,b,中由内积导出的距离为,C,a,b,中范数不满足平行四边形公式，,例,4,C,a,b,按照范数,是线性赋范空间，,但,C,a,b,不是内积空间,.,证 取,x,=,1,y,=(,t-a,)/(,b-a,),C,a,b,|,x,|=,1,|,y,|=,1,|,x+y,|=,max,|,1,+(,t-a,)/(,b-a,)|=,2,|,x-y,|=,max,|,1,-(,t-a,)/(,b-a,)|=,1,|,x+y,|,2,+|,x-y,|,2,=54=2(|,x,|,2,+|,y,|,2,),因而不是由内积导出的范数,C,a,b,不是内积空间,5,内积空间中的极限,证,x,n,x,|,x,n,-x,|,0,y,n,y,|,y,n,-y,|,0,|,-,|,-,|+|,-,|,|,x,n,-x,|,y,n,|+|,x,|,|,y,n,-y,|,0,(,n,),定义,4,（极限）设,X,是内积空间，,x,n,X,x,X,及,y,X,定理,2,设,H,是希尔伯特空间，则,H,中的内积,是,x,y,的连续函数,即,x,n,、,y,n,H,x,y,H,若,x,n,x,y,n,y,则,.,注,：距离函数、范数、内积都是连续函数,（线性运算对内积的连续性）,6,内积空间的完备化,定义,5,(,内积空间的同构,),设,X,Y,是同一数域,K,上的内积空间，若存在映射,T:X,Y,保持线性运算和内积不变,即,x,y,X,K,有,(1),T,(,x+y,)=,Tx+Ty,(2)=,则称内积空间,X,与,Y,同构,而称,T,为内积空间,X,到,Y,的同构映射。,定理,3,设,X,是内积空间，则必存在一个,Hilbert,空间,H,，使,X,与,H,的稠密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的,Hilbert,空间是唯一的。,二、内积积空间中中的正交交分解与与投影定定理,在解析几几何中，有向量量正交和和向量投投影的概概念，而而且两个个向量正正交的充,充分必,要,要条件,是是它们的的内积等等于,0,，而向量量,x,在空间中中坐标平平面上的,的正交,投投影向量量,x,0,是将向量量的起,点,下面将把把正交分分解和正正交投影影的概念念与推广广到一般般的内积积空间中中。其中中的投影影定理是是一个理理论和应应用上都都极其重重要的定定理，利利用投影影定理可可以将内内积空间间分解成成两个字字空间的的正交和和。这是是内积看看所特有有的性质质，这个个定理在在一般的的巴拿赫赫空间中中并不成成立（因因为巴拿拿赫空间间中没有有正交性性的概念念）。在在实际应应用中，投影定定理还常常被用来来判定最最佳逼近近的存在在性和唯唯一性。,x,0,x,1,x,1,正交的概概念,定义,5,(,正交,),设,H,是内积空空间,x,y,H,M,N,H,.,(1),x,y,(2),x,M,y,M,都有,=,0,;,(3),M,N,xM,，,yN,都有,=0,.,定理,4,(,勾股定理理,),设,H,是内积空空间,若,x,y,H,且,x,y,则,|,x+y,|,注,:,1,）,在一般的的内积空空间中，若,x,y,，,则有,勾股定理理,|,x+y,事实上，,|,x+y,|,2,=|,x,|,2,+|,y,|,2,+2,Re,(,x,y,),2）,在实内积积空间中中，,x,y,|,x+y,|,2,=|,x,|,2,+|,y,|,2,，,定义义,6,(,正交交补补,),设,H,是内内积积空空,间,间,M,H,M,=,x,|,x,y,y,M,为,M,在,H,中的正交补。,注：正正,是,H,的,闭闭线线性性子子空空间间，即即,H,的,完备备子,事实,=,+,=,0,M,M,为,H,线性子空间,x,n,L,x,n,x,z,M,=,lim,=,0,x,M,M,为,H,的闭子空间,x=,x,0+,x,1 （1）,则,称,x,0,为,x,在,M上的正交投影，而,称,(,1,)式,为,x关,于,M,的正交分,解。,2,正交交分分解解与与正正交交投投影影,定理理,14,(,投影影定定理理,),设,M,是希希尔尔,x,=,x,0,+,x,1,(,其中,x,1,M,).,y,n,M,使得得,|,y,n,-x,|,d,(,n,),(,下确确界界定定义义,),证,x,H,令,x,到,M,的距离,M,是,H,的线线性性子子空空间,间,y,m,y,n,M,有,0,|,y,m,-y,n,|,2,=|(,y,m,-x,)+(,x-y,n,)|,2,=|(,y,m,-x,)+(,x-y,n,)|,2,+|(,y,m,-x,)-(,x-y,n,)|,2,-|(,y,m,-x,)-(,x-y,n,)|,2,=2|,y,m,-x,|,2,+2|,x-y,n,|,2,-|(,y,m,+,y,n,)-2,x,|,2,(,平行四边形公式,),2|,y,m,-x,|,2,+2|,x-y,n,|,2,-4,d,2,0 (,m,n,),2,),证明明,1),证,M,是,Hilbert,空间间的的闭闭线线性性子子空空间间,M,是完备的,x,0,M,使,y,n,x,0,|,y,n,-x,|,x,0,-,x,|,(,n,),x,n,是基本列,3),证明,x,0,是,x,在,M,中的正交投影影,记,x,1,=,x-x,0,z,M,z,C,x,0,+,z,M,特取,4),证明,x,0,是唯一的，从从而上述正交交分解式也是是唯一的,设 是,x,在,M,上的两个正交投影，则,注：,1),由定理的证明明过程易知,只要,M,是,H,的完备子空间间,而,H,本身不完备,定理结论也,2),设,e,n,是内积空间,H,的标准正交系系,x,H,c,k,=,即对任何数组组,1,2,n,有,是,x,在内积空间,H,上的正交投影影,2,正交投影的应应用,最佳逼近问题题,(1),最佳逼近问题题的一般提法法,:,设,H,是,Hilbert,空间,x,x,1,x,2,x,n,H,要求寻找出,n,个数,1,2,n,使得,即要求出,使得,|,x-x,0,|,最小。,(2),最佳逼近问题题的几何解释释：,记,M,=span,x,1,x,2,x,n,H,则,表示,x,到,M,上某点的距离,表示,x,到,M,的最短距离,表示,x,在,M,上的正交投影,最佳逼近问题题实际上就是是求正交投影影的问题,(2),最佳逼近问题题的求解步骤骤：,设,x,n,M,线性无关，记记,M,=span,x,1,x,2,x,n,H,唯一的,x,0,:,使得,|,x-x,0,=,0,(,x,k,M,k=,1,2,n,),=(,x,k,M,k=,1,2,n,),M,是,H,的闭线性子空空间,三、内积空间间中的正交系系与傅立叶级级数,1,正交系的概念,念,在解析几何中中，向量,i,j,k,起着坐标架的的作用,他们两两正交交,R,3,中一切向量,x,都能由他们线线性表示：,x=x,1,i+x,2,j+x,3,k,。这是解析几几何的基础。,R,3,中的向量正正交概念 一般般内积空间间中的向量量正交概念念,定义,7,(,正交集与标标准正交系系,),设,H,是内积空间间,M,H,(1),如果对,x,y,M,xy,都有,=,0,，,则称,M,是,H,中的正交系系。,(2),设,e,n,则称,e,n,是,H,中的标准正正交系。,2,正交的性质质,例如,(,1),i,j,k,是,R,3,中的标准正正交系。,是,L,2,-,(3),e,1,=(,1,0,0,0,0,),e,2,=(,0,1,0,0,0,),e,n,=(,0,0,0,1,0,),定理,4,(,勾股定理,的推广,),设,H,是内积空间间，若,x,1,x,2,.,x,n,H,是正交系,，则,|,x,1,+,x,2,+,x,n,|,2,=|,x,1,|,2,+|,x,2,|,2,(2),是,l,2,中的标准正正交系。,定理,7,设,H,是内积空间间，若,M,=,e,1,e,2,.,e,n,H,是标准正交交系,则,e,1,e,2,e,n,证,n,令,1,e,1,+,n,e,n,=,0,j,=,j,=,0,e,1,e,n,线性无关,e,1,e,n,是线性独立系。,定理,8,(,Gram-Schmidt,正交化,定理,8,设,H,是内积,记,M,n,=span,e,1,e,n,.,即为,x,在,M,n,上的正交交投影。,(2),若,则,（最佳逼逼近定理理）,(3),(1),若,则,y,M,证,(1)=,i,=,i,(2),显然,x,n,=,e,1,+,e,n,M,n,=,(,i,=,1,2,n,),x-x,n,M,n,x-x,n,e,1,e,n,两两正交交,且,=,0,(,i=,1,2,n,).,|,x,n,|,2,=|,e,1,+,e,n,|,2,=|,e,1,|,2,+|,e,n,|,2,=|,2,+,|,x,|,2,=|(,x-x,n,)+,x,n,|,2,=|,x-x,n,|,2,+|,x,n,|,2,|,x-x,n,|,2,=|,x,|,2,-|,x,n,|,2,定理,9,(,贝塞尔,(,Bessel,),不等式,),设,H,是内积空空间,e,1,是标准正交系，则,x,H,有,证由定理,8,有,x,n,=,e,1,+,e,n,x,H,|,x,|,2,=|,x,-,x,n,|,2,+|,x,n,|,2,|,2,+|,2,|,x,|,2,|,2,+|,2,+|,x,|,2,(,n,),推论设,H,是内积空空间,e,1,e,2,.,e,n,H,是标准正正交系,则,x,H,有,证,根据定理,9,，级数,|,2,收敛,3,内积空间间中的傅傅立叶级级数,定义,8,(,Fourier,级数,),设,H,是内积空空间,e,n,(,n,=,1,2,),是,H,中的标准准正交系系,x,H,则称,c,n,=(,n,=,1,2,),为,x,关于,e,n,为,x,关于,e,n,的,F