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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,28 十一月 2024,等差数列（三）,1,等差数列：,a,n,a,n-1,=,d,(,n,2,，,n,N,+,),2,等差数列的通项公式：,(1),a,n,=,a,1,+(,n,-1),d,(2),a,n,=,a,m,+(,n-m,),d,(3),a,n,=,p,n+,q,(,p,、,q,是常数,),3,有几种方法可以计算公差,d,复 习 回 顾,6,.,在等差数列,a,n,中,a,1,+,a,n,=,a,2,+,a,n-,1,=,a,3,+,a,n-,2,=,练习,已知一个无穷等差数列的首项为,a,1,，,公差为,d,：,(1),将数列中的前,m,项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？,(2),取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？,(3),取出数列中所有项数为,7,的倍数的各项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？,解,:(1),是,.,首项为,a,m+1,.,公差为,d,(2),是,.,首项为,a,1,.,公差为,2,d,(3),是,.,首项为,a,7,.,公差为,7,d,例,1,、,四个数成等差数列，其四个数的平方和为,94,，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少,18,，求这四个数,解析：,本题重点在设元的技巧，,如三个数成等差数列，可设这三个数为,a-d,a,a+d,如四个数成等差数列，可设这四个数为,a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样设具有对称性，给运算带来很大方便,例 题 解 析,例,1,、,四个数成等差数列，其四个数的平方和为,94,，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少,18,，求这四个数,解：,设这四个数为,a-3d,a-d,a+d,a+3d,依题意有,解得,所以这四个数为：,-8,，,-5,，,-2,，,1,或,-l,，,2,，,5,，,8,或,1,，,-2,，,-5,，,-8,或,8,，,5,，,2,，,-,1,例,2,、,两个等差数列,5,8,11,和,3,7,11,都有,100,项，求：这两个数列相同项的个数,解法一,：已知两个等差数列,a,n,:5,，,8,，,11,，,公差为,3,a,n,=5+(n,1)3=3n+2,b,n,:3,，,7,，,11,，,公差为,4,b,n,=3+(n,1)4=4n-1,假设,a,n,的第,n,项与,b,n,的第,k,项相同，即,a,n,=,b,k,n,N,*,k,必是,3,的倍数,k,=3,6,9,12,组成新的等差数列,c,n,而相应的,n=3,7,11,组成新的等差数列,d,n,即,a,3,=,b,3,a,7,=,b,6,a,11,=,b,9,a,15,=,b,12,，,则,3,n,+2=4,k,1,又因为这两个数列最多只有,100,项，所以,:,又,nN,*,这两个数列共有,25,项相同。,解法二,:,已知两个等差数列,a,n,：,5,，,8,，,11,，,和,b,n,：,3,7,11,则通项公式分别是,a,n,=5+(n,1)3,b,n,=3+(n,1)4,观察：,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,例,2,、,两个等差数列,5,8,11,和,3,7,11,都有,100,项，求：这两个数列相同项的个数,因此，这两个数列相同项组成一个首项,c,1,=11,公差,d,=12,的等差数列,c,n,又,a,100,=5+(100,1)3=302,b,100,=3+(100,1)4=399,因为，相同的项不大于,a,100,和,b,100,中的较小者，,所以，,c,n,=11+(n,1)12302,又,nN,*,故这两个数列中相同的项共有,25,个。,例,3,、,巳知,:,一 直角三角形三条边长度成等差数 列,求证,:,它们的比为,3:4:5.,将成等差数列的三条边之长按从小到大排列,.,证 法,1:,设三边之长分别为,:,a,a,+,d,a,+2,d,(,a,0,d,0),则由勾股定理可得,a,+(,a,+,d,)=(,a,+2,d,),化简得,a,-2,ad,-4,d,=0,解得,a,=3,d,或,a,=-,d,(,舍去,),a,+,d,=4,d,a,+2,d,=5,d,三边之比为,3:4:5,证法,2:,设三边之长分别为,a,-,d,a,a,+,d,(,a,-,d,0,d,0),同证法,1,同理可得,(,a,-,d,),+,a,=(,a,+,d,),立即可得,a,=4,d,三边之长分别为,3,d,4,d,5,d,.,三 边之比为,3:4:5.,证法,3,:,启 发,:,三个数成等差数列且它们的和为一定值,可设这三个数分别为,a-d,a,a,+,d,;,设三边之长分别为,x,y,(,y,x,0),同证法一同理可得,x,+()=,y,例,4,、设,2,a,=3,，,2,b,=6,，,2,c,=12,，,问数列,a,、,b,、,c,成等差数列吗？如果是，请证明，并指出公差是 多少,?,如果不是，请说明理由,.,答：数列,a,、,b,、,c,成等差数列,证明：由,2,a,=3,，,2,b,=6,，,2,c,=12,得,:,a,=log,2,3,，,b,=log,2,6,c,=log,2,12,于是,b,=1+log,2,3,，,c,=2+log,2,3,(1+log,2,3),log,2,3=(2+log,2,3),(1+log,2,3)=1,即,b,a=c,b,数列,a,、,b,、,c,成等差数列,公差是,1,例,5,、,在等差数列,a,n,中若,a,1,+,a,2,+,a,3,+,a,4,+,a,5,=30,a,6,+,a,7,+,a,8,+,a,9,+,a,10,=80,，求,a,11,+,a,12,+,a,13,+,a,14,+,a,15,.,解,：,6+6=11+1 7+7=12+2 ,2,a,6,=,a,1,+,a,11,2,a,7,=,a,2,+,a,12,(,a,11,+,a,12,+,a,13,+,a,14,+,a,15,)+(,a,1,+,a,2,+,a,3,+,a,4,+,a,5,),=2(,a,6,+,a,7,+,a,8,+,a,9,+,a,10,),(,a,11,+,a,12,+,a,13,+,a,14,+,a,15,),=2(,a,6,+,a,7,+,a,8,+,a,9,+,a,10,)-(,a,1,+,a,2,+,a,3,+,a,4,+,a,5,),=280,30=130,1,已知等差数列的通项公式为,a,n,=11-2n,从哪一项开始它的项为负数,?,2,等差数列,a,n,中，已知,求,a,4,和,d,3.,已知,:,lga,，,lgb,，,lgc,与,lga,lg,2,b,，,lg,2,b,lg,3,c,，,lg,3,c,lga,都是等差数列,.,求,a,：,b,：,c,.,练 习,4,、等差数列,a,n,中,已知,a,10,23.,(1),若,a,25,22,，,问此数列从第几项开始为负？,(2),若数列从第,17,项起各项均为负，求公差,d,的取值范围。,思考,:,等差数列的通项公式涉及四个量：,a,n,a,1,n,d.,用方程的观点看，就是“知三求一”，列方程组,求基本量是解决数列问题的常用方法，但合理,利用等差数列的性质常可以简化运算,.,小 结,
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