线性代智能化教学系统第1节

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资源描述
Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,第4章 相似矩阵与二次型,本章主要介绍正交矩阵、相似矩阵的概念,矩阵的特征值、特征向量的概念及求法,,n,元二次型、正定二次型的概念,化二次型为标准形以及正定二次型的判别方法等,本章所讨论的矩阵均为方阵,矩阵中元素都是实数,第4.1节 正交矩阵,向量的内积,正交向量组,正交矩阵,正交规范化,在解析几何中,我们曾引进了向量的数量积,4.1.1 向量的内积,并由此定义了非零几何向量的夹角,x,y,=,x,y,cos,,,且在直角坐标系中,有,(,x,1, x,2, x,3,),(,y,1, y,2, y,3,),=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,3,y,3,,,向量的这些概念推广到,n,维向量,定义,n,维向量的内,向量,x,的长度,等概念,,下面我们把几何,积、长度和夹角,设有,n,维向量,显然,当,x,与,y,都是列向量时,有,令,(,x,y,),=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+ +,x,n,y,n,,,称为向量,x,与,y,的,内积,(,x,y,),=,x,T,y,=,y,T,x,(1),(,x,y,) = (,y,x,);,(2),(,x,y,) =,(,x,y,);,(3),(,x + y,z,) = (,x,z,) + (,y,z,);,(4),(,x,x,) 0,且当,x, 0,时有 (,x,x,) 0.,下列性质:,设,x,y,z,为,n,维向量,,为实数,则内积有,令,|,x,| 称为,n,维向量,x,的,长度 (,或,范数 ),.,向量的长度具有下列性质:,(1) 非负性,当,x, 0 时, |,x,| 0;,当,x,= 0,时, |,x,| = 0.,(2) 齐次性,|,x,| = |,| |,x,| ;,(3),三角不等式,|,x + y,| |,x,| + |,y,|.,当 |,x,| = 1 时, 称,x,为,单位向量,.,任一非零向量,除以它的长度后就成了单位向量,将向量单位化,这一过程称为,定义,当,(,x,y,),= 0,时,,,称向量,x,与,y,正交,(或,垂直,),量与任何向量正交.,显然,若,x,= 0, 则,x,与任何向量都正交,即零向,定义,若一个不含零向量的向量组中任,意两个向量都正交,则称此向量组为,正交向量组,4.1.2 正交向量组,正交向量组有以下性质,定理,若,n,维向量,1,,,2,, ,,r,是正交,向量组,则,1,,,2,, ,,r,线性无关,例如向量组,x,y,z,是正交向量组,其几何意义如,图所示,例1,已知3维向量空间,R,3,中两个向量,正交,试求一个非零向量,3,使,1,,,2,,,3,两两正交.,4.1.3 向量组的正交规范化,定义,设,n,维向量,e,1,,,e,2,, ,,e,r,是向量空,间,V,(,V,R,n,),的一个基,,如果,e,1,,,e,2,, ,,e,r,两,两正交,且都是单位向量,,是,V,的一个,规范正交基,例如,是,R,4,的一个规范正交基,则称,e,1,,,e,2,, ,,e,r,若,e,1,,,e,2,, ,,e,r,是,V,的一个规范正交基,那么,V,中任一向量,应能由,e,1,,,e,2,, ,,e,r,线性表示,,设表示式为,=,1,e,1,+ ,2,e,2,+,+ ,r,e,r,,,为求其中的系数,i,(,i,= 1,r,),,,可用,e,i,T,左乘上式,,有,e,i,T,=,i,e,i,T,e,i,=,i,,,即,这就是向量在规范正交基下的坐标计算公式利用这个公式能方便地求得向量的坐标,因此,我们在给向量空间取基时常常取规范正交基,i,=,e,i,T,=(,,,e,i,),设,1,, ,,r,是向量空间,V,的一个基,要求,V,的一个规范正交基,这也就是要找一组两两正交的,单位向量,e,1,,,e,r,,,使,e,1,, ,,e,r,与,1,, ,,r,等价,这样一个问题,称为,把,1,, ,,r,这个,基规范正交化,我们可以用以下办法把,1,,,r,规范正交化.,取,容易验证,1,,,r,两两正交,且,1,,,r,与,1,,,r,等价,然后只要把它们单位化,即,就是,V,的一个规范正交基,等价,还满足:对任何,k,( 1,k,r,),,向量组,上述从线性无关向量组,1,, ,,r,导出正交,向量组,1,, ,,r,的过程称为,施密特,(Schimidt),正交化过程,它不仅满足,1,,,r,与,1,,,r,1,, ,,k,与,1,, ,,k,等价,例2,设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化,4.1.4 正交矩阵,如果,n,阶矩阵,A,满足,A,T,A,=,E,(,即,A,1,=,A,T,),,,那么称,A,为,正交矩阵,,,简称,正交阵,例3,正交矩阵举例,正交矩阵有下述性质,(,i,),若,A,为正交矩阵,则,A,1,=,A,T,也是正交矩阵,,且,|,A,| = 1,或,1,;,(,ii,),若,A,和,B,都是正交矩阵,则,AB,也是正交矩阵,向量组为两两正交的单位向量组,(,iii,),A,为正交矩阵的充分必要条件是,A,的列(行),定义,若,P,为正交矩阵,则线性变换,y,=,Px,称为,正交变换,设,y,=,Px,为正交变换,则有,由于,|,x,|,表示向量的长度,相当于线段的长度,,因此,|,y,| = |,x,|,说明经正交变换线段的长度保持,不变,这是正交变换的优良特性,当,P,= 1,时,,y,=,Px,称为,旋转,,或者称为,第一类的,;,当,P,= 1,时,,y,=,Px,称为,第二类的,例4,设,由,知,,P,为正交矩阵,所以,y,=,Px,为正交变换,且,P,= 1,,,因此为旋转变换,当,时,旋转变换,y,=,Px,把图,5,-,4,中的图像,a,变换为图,像,b,,,如图所示,
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