离散型随机变量及其概率分布

单击此处编辑母版标题样式,2.,3,离散型随机变量及其概率分布,定义 若随机变量,X,的可能取值是有限多个或,无穷可列多个，则称,X,为,离散型随机变量,描述离散型随机变量的概率特性常用它的,概率,分布,或,分布律,，即,概率分布的性质,离散型随机变量的概念,非负性,规范性,F,(,x,),是分段阶梯函数，在,X,的可能取值,x,k,处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，,在间断点处有跃度,p,k,离散型随机变量的分布函数,例1,设一汽车在开往目的地的途中需经过 4 盏,信号灯，每盏信号灯独立地以概率,p,允许,汽车通过。令,X,表示首次停下时已通过的,信号灯的盏数，求,X,的概率分布与,p =,0.4,时的分布函数。,出发地,目的地,解,0,1,2,3,4,x,x,k,p,k,0 1 2 3 4,0.6,0.4,0.6,0.4,2,0.6,0.4,3,0.6,0.4,4,当,0,1,2,3,4,x,F,(,x,),o,o,1,o,o,o,概率分布或分布函数可用来计算有关事件的,概率,例2,在上例中，分别用概率分布与分布函数计,算下述事件的概率：,解,或,或,或,此式应理解为极限,对离散型随机变量用概率分布比用分布函数,计算这些概率更方便,或,或,例3,一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须,被击中,r,次才能被摧毁。若每次击中目标的,概率为,p,(0 ,p, 1),且各次轰击相互独立，,一次一次地轰击直到摧毁目标为止。求所需,轰击次数,X,的概率分布。,解,P,(,X,=,k,) =,P,(,前,k ,1,次击中,r ,1,次，,第,k,次击中目标),注,利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质,当,归纳地,令,(1),0 1 分布,X = x,k,1 0,P,k,p,1,- p,0 ,p,1,注 其分布律可写成,2.4,常见的离散型随机变量的分布,凡是随机试验只有两个可能的结果，,应用场合,常用0 1分布描述，如产品是否格、人口性别统,计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.,(2),二项分布,背景：,n,重,Bernoulli,试验中，每次试验感兴趣,的事件,A,在,n,次试验中发生的次数 ,X,是,一离散型随机变量,若,P,(,A,) =,p,则,称,X,服从,参数为,n,p,的二项分布,，记作,0 1 分布是,n,= 1,的二项分布,二项分布的取值情况,设,.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000,0 1 2 3 4 5 6 7 8,0,.,273,由图表可见 , 当,时，,分布取得最大值,此时的 称为最可能成功次数,x,P,0,1,2,3,4,5,6,7,8,设,.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .001,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20,x,P,1,3,5,7,9,0,2,4,6,8,10,20,由图表可见 , 当 时，,分布取得最大值,0.22,二项分布中最可能出现次数的定义与推导,则称 为最可能出现的次数,当(,n,+ 1),p =,整数时，在,k,= ,(,n,+ 1),p,与,(,n,+ 1),p, 1,处的概率取得最大值,对固定的,n,、,p,P,(,X,=,k,),的取值呈不对称,分布；,固定,p,随着,n,的增大，其取值的分布趋于,对称,当(,n,+ 1),p,整数时，在,k,= ,(,n,+ 1),p,处的概率取得最大值,例4,独立射击5000次，每次的命中率为0.001,求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；,(2) 命中次数不少于2 次的概率.,(2) 令,X,表示命中次数，则,X, B( 5000,0.001 ),解,(1),k,= ,(,n,+ 1),p, = ,( 5000,+ 1)0.001 = 5,问题,如何计算 ？,本例启示,小概率事件虽不易发生，但重复次,数多了，就成大概率事件,.,由此可见日常生活中“提高警惕, 防火防盗”的,重要性,.,由于时间无限, 自然界发生地震、海,啸、空难、泥石流等都是必然的，毫不奇怪,.,同样，人生中发生车祸、患绝症、考,试不及,格、炒股大亏损等都是十分正常的,大,可不必,怨天尤人，更不要想不开而跳楼自杀,.,Possion,定理,则对固定的,k,设,Poisson,定理说明：若,X B,(,n,p,),则当,n,较大，,p,较小，而 适中，则可以用近似公式,证,记,类似地，从装有,a,个白球，,b,个红球的袋中,不放回地任取,n,个球，其中恰有,k,个白球的,概率为,当,时，,对每个,n,有,结论,超几何分布的极限分布是二项分布,二项分布的极限分布是,Poisson,分布,解,令,X,表示命中次数，则,X, B( 5000,0.001 ),令,此结果也可直接查,P.378,附表2,Poisson,分布表,得到，它与用,二项分布算得的结果,仅,相差千分之二点四,.,利用,Poisson,定理再求,例4,(2),例5,某厂产品不合格率为0.03，现将产品装箱，,若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100,个合格品，则每箱至少应装多少个产品？,解,设每箱至少应装100+,n,个，每箱的不合格,品个数为,X,，,则,X, B ( 100 +,n, 0.03 ),应用,Poisson,定理,由题意,3,(100+,n,)0.03=3+0.03,n,取 = 3,查,Poisson,分布表 =3一栏,得,n,+1 = 6 ,n,= 5,所以每箱至少应装105个产品,才能符合要求,.,在实际计算中，当,n, 20,p,0.05,时，可用上,述公式近似计算；而当,n, 100,np,10,时, 精度,更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,按二项分布 按,Possion,公式,k,n=,10,p=,0.1,n=,20,p=,0.05,n=,40,p=,0.025,n=,100,p=,0.01,=,np=,1,解,(1) 设 需要配备,N,个维修工人,设,X,为90 台,设备中发生故障的台数，则,X B,( 90, 0.01),设有同类型设备90台，每台工作相互独立，,每台设备发生故障的概率都是 0.01,.,在通常,情况下，一台设备发生故障可由一个人独立,维修，每人同时也只能维修一台设备,.,问至少要配备多少维修工人，才能保证当设,备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,(2),问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负,责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？,例6,令,则,查附表2得,N =,4,三个人共同负责90台设备发生故障不能,及时维修的概率为,设30台设备中发生故障的台数为,Y, B,( 30,0.01),设每个人独立负责30台设备，第,i,个人负责的,30台设备发生故障不能及时维修为事件,A,i,则,三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时,维修为事件,故,三个人共同负责90 台设备比各自负责好！,在,Poisson,定理中，,由此产生了一种离散型随机变量的概率分布,Poisson,分布,(3),Poisson,分布,或,或,若,其中,是常数，则称,X,服从,参数为,的,Poisson,分布,，记作,在一定时间间隔内：,一匹布上的疵点个数；,大卖场的顾客数；,应用场合,电话总机接到的电话次数；,一个容器中的细菌数；,放射性物质发出的粒子数；,一本书中每页印刷错误的个数；,某一地区发生的交通事故的次数,都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件，则称为,Poisson,流, 在,长为,t,的时间内出现的质点数,X,t, P,(,t,),市级医院急诊病人数；,等等,例7,设一只昆虫所生虫卵数为随机变量,X P,(,),每个虫卵发育成幼虫的概率为,p,.,设各个虫卵,是否能发育成幼虫是相互独立的. 求一只昆虫,所生的虫卵发育成的幼虫数,Y,的概率分布.,解,昆虫,X,个虫卵,Y,个幼虫,已知,由全概率公式,故,