两个平面平行的判定和性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,两个平面平行的判定和性质,高一数学备课组 童良春,一.面、面平行的定义与表示方法,平行平面的定义,：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面.记作,/,.,1.两个平面的位置关系,位置关系,两平面平行,两平面相交,公共点,符号表示,图形表示,没有公共点,有一条公共直线,2.平行平面的,画法,：在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成,平行线,.,一般画法,错误画法,3 平面与平面平行的,判定定理,文字语言,：如果一个平面内有,两条相交,直线都,平行,于另一个平面，那么这两个平面平行.,A,图形语言：,符号语言：,请注意红框中内容：,判定定理简而言之为：两平行，一相交。,证明：假设,c,.,a,a,a,c,.同理,b,c,.,于是在平面内过点,A,有两条直线与,c,平行，这与,平行公理矛盾，,假设不成立.,.,定理证明：,A,练习：判断下列命题是否正确，并说明理由,（1）若平面,内的两条直线分别与平面,平行，则,与,平行；,（2）若平面,内有无数条直线分别与平面,平行，则,与,平行；,（3）平行于同一直线的两个平面平行；,（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；,（5）,a,、,b,为异面直线，且分别在平面和内，若,a/,b,/,则/。,(6)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面,例1.如图，在长方体 中，,求证：平面 平面 .,A,B,D,C,D,C,B,A,证明：,是平行四边形,平面,平面,又,平面,平面,同理：,平面,平面,思考：如果两个平面平行，那么,（1）一个平面内的直线是否平行于另一个平面？,由思考一可以得到证明线面平行的另一种方法，,即可以用面面平行证明线面平行,（2）分别在两个平面内的两条直线是否平行？,（可以由反证法说明）,（线面无交点）,4.平面与平面平行的性质定理:,符号语言：/，=,a,，=,b,，则,a,/,b,.,如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.,与 没有公共,点,与 也没有公共点,证明:,已知：,/，=,a,，=,b,，求证：,a,/,b,.,5.两个平行平面的距离：,公垂线：,公垂线段：,两个平行平面间的距离：,与两个平行平面都垂直的直线,夹在两个平行平面之间的公垂线部分,公垂线段的长度,例2：求证：如果一条直线垂直于两个平行,平面中的一个平面，那么它也垂直于,另一个平面。,已知：求证：,A,b,a,b,a,/,/,=,=,g,b,g,a,b,a,I,I,证明：设 ,在平面 内任取 直线,例3.求证：如果两个平面同时垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。,A,B,C,练习2.（1）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.,已知：平面/平面/平面，两条直线,l,，,m,分别与平面、平面、平面相交于点,A,、,B,、,C,和点,D,、,E,、,F,，,求证：,证明：连接,DC,，设,DC,与平面相交于点,G,，则平面,ACD,与平面，分别相交于直线,AD,，,BG,，,平面,DCF,与平面，分别相交于,直线,GE,，,CF,，,因为/，/，所以,BG,/,AD,，,GE,/,CF,，,于是得,所以,（2）.已知三棱锥,P,ABC,中，,D,，,E,，,F,，分别是,PA,，,PB,，,PC,的中点，求证：平面,DEF,/平面,ABC,。,证明：在,PAB,中，因为,D,，,E,分别是,PA,，,PB,的中点，,所以,DE,/,AB,，,因此,DE,/平面,ABC,，,又知,DE,平面,ABC,，,F,E,D,C,B,A,P,同理,EF,/平面,ABC,，,又因为,DE,EF,=,E,，,所以 平面,DEF,/平面,ABC,。,（3）.已知,a,AB,和,DC,为夹在,、,间的平行线段。,求证：,AB,DC,.,证明：连接,AD,、,BC,AB,/,DC,AB,和,DC,确定平面,AC,又因直线,AD,、,BC,分别是平面,AC,与平面,、,的交线，,AD,/,BC,，四边形,ABCD,是平行四边形.,AB,DC,1.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有_对.,2.如图,设,E,F,E,1,F,1,分别是长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱,AB,CD,A,1,B,1,C,1,D,1,的中点.,求证:平面,ED,1,平面,BF,1,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,E,1,F,F,1,分析,:,在其中一个平面内找两条相交直线平行另一个平面即可.,4,3.已知,a,、,b,为异面直线，求证过,a,、,b,分别存在平面和，且/.,提示：在,a,上取一点,A,，过,A,作直线,b,/,b,，同样在,b,上取一点,B,，作直线,a,/,a,，,则,a,和,b,确定平面，,b,和,a,确定平面，且/.,例1.如图，在长方体 中，E为 上任意一点,求证：AE/平面 .,证明：,是平行四边形,平面,平面,又,平面,平面,同理：,平面,平面,D,C,又因为AE 面,所以AE/平面 .,A,B,D,C,B,A,E,