65Gauss求积公式课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.5 Gauss 求积公式,1.,Gauss 求积公式,设插值型的数值积分公式：,前面讲述的方法（,lagrange,插值型数值积分法）是事先给定积分节点,x,k,。,例如,Newton-Cotes,公式把区间,a,b,的等分点作为求积节点，这样所求积分公式的代数精度至多为,n+1,。,现在取消对积分节点的,限制,，让它与,A,k,一样，作为一个待定常数，这样在数值积分公式,(1),中需要确定的系数为,x,k,和,A,k,（,k,= 0, 1, ,n,），,共,2,n,+2,个系数。根据代数精度的概念，要确定这,2,n,+2,个系数（,x,k,和,A,k,），,需要解如下,2,n,+2,个方程构成的非线性方程组,其中,。,若有解，则得到的,插值型的数值积分公式（,1,）至少有,2,n,+1,次代数精度。,1.,Gauss 求积公式,但是，考虑,2,n,+2,次多项式：,它只在节点,x,i,（,i,= 0,1,n,）,处为零，在其它点处均大于零，所以,而,.,故插值型的数值积分公式（,1,）对于,2,n,+2,次多项式 不准确成立，可知其代数精度仅为,2,n,+1,。,1.,Gauss 求积公式,定义,6.5.1,若插值型求积公式,则称该求积公式是,Gauss,求积公式,相应的求积节点,x,k,(,k,= 0, 1,n,),称为,Gauss,点,。,其中,，,具有,2,n,+1,次代数精度,例,6.5.1,确定下列求积公式中的待定参数,A,0,A,1,x,0,和,x,1,：,解：令,f,(,x,),=,1, x,1, x,2, x,3,则有下列方程组,此求积公式具有,3,次代数精度,由前面的定义可知，,此求积公式,为,Gauss,求积公式,因此,。,确定,Gauss,求积公式的关键在于确定,Gauss,点,。,因为如果先确定了,Gauss,点，,再确定其求积系数,A,k,(,k,= 0, 1,. . .,n,),时将变为线性方程组。,解线性方程组要比解非线性方程组方便得多,。,如上例，若事先知道 和 ，则,求积公式变为,再计算,A,0,和,A,1,时，它们已成为线性关系，取,f,(,x,) = 1,和,x,可得到,解得,A,0,=,A,1,=1,。,当然也可以由关系式,来确定。,定理,6.5.1,插值型求积公式中的求积节点,x,k,(,k,= 0, 1,n,),是,Gauss,点的充分必要条件是,与任意次数不超过,n,的多项式,P,(,x,),均正交,即满足,推论,6.5.1,在区间,a,b,上,n,+ 1,次正交多项式,g,n+1,(,x,),的零点即为,Gauss,点,。,关于,Gauss,点的求法,有如下定理。,2.,G,a,uss-Legendre 求积公式,在,-1, 1,上,权函数,(,x,) =1,的,n,+1,次Legendre,多项式,的零点即为,Gauss,点,.,以,P,n,+1,(,x,),的零点,x,k,(,k,= 0, 1,. . .,n,),为求积节点,建立的,Gauss,求,积公式,称为,Gauss-Legendre,求积公式,，,其,求积系数,(6.5.9),这是因为,:,设 的首项系数为 ，则,于是,常见,Gauss-Legendre,求积公式,当,n =,0,时，一次勒让德,(Legendre),多项式,P,1,(,x,) =,x,的零点（,Gauss,点）,x,0,= 0,，,取其为求积节点，由,(6.5.9),确定出,A,0,= 2,。,从而得到一点,Gauss-Legendre,求积公式,即,A,0,由,来确定。,常见,Gauss-Legendre,求积公式,当,n,= 1,时，二次勒让德（,Legendre,）,多项式,它有两个零点,(Gauss,点,) ,取它们为求积节点，由（,6.5.9,）确定出,A,0,=,A,1,= 1,。,从而得到二点,Gauss-Legendre,求积公式,常见,Gauss-Legendre,求积公式,一点,Gauss-Legendre,求积公式,二点,Gauss-Legendre,求积公式,三点,Gauss-Legendre,求积公式,15 个节点的,Gauss-Legendre,求积系数,n,1,2,4,3,0,x,k,A,k,15 个节点的,Gauss-Legendre,求积系数（真值）,n,x,k,A,k,0,0,2,1,1,2,0,续,Gauss-Legendre,求积系数（真值）,n,x,k,A,k,3,4,0,对于一般的区间,a, b,，,可作坐标变换,得到,对上式,右端,的积分可采用标准,Gauss-Legendre,求积公式进行计算。,例,6.5.3,利用三点,Gauss-Legendre,求积公式计算积分,结果保留六位小数。,，,解,:,令 ，则,例,6.5.4,构造 的,Gauss-Legendre,求积公式,使其具有,7,次代数精度,.,解,:,由,2,n,+1=7,求得,n,= 3,这表明有,4,个求积节点, 3,个小区间,.,作变量置换令,x,= 2,t,+ 4,则有,由上表有,20.3478548,f,( 2(-0.8611363) + 4),+ 0.3478548,f,(2(0.8611363) + 4),+ 0.6521452,f,(2(-0.3398810) + 4),+ 0.6521452,f,(2(0.3398810) + 4) ,3.,带权的Gauss 求积公式,考虑带权的积分 其中 为权函数,.,若,即为通常的积分,.,则,设,f,(,x,),在插值节点,处的函数,值为,f,(,x,k,),作,n,次,Lagrange,插值多项式,(6.5.13),其中,(6.5.15),上式称为,带权的插值积分公式,A,k,是其求积系数,.,从而有, (6.5.14),定义,6.5.2,若带权的插值型求积公式具有,2,n,+1,次代数精度,则称其为,Gauss,求积公式,相应的求积节点,x,k,(,k,= 0, 1,. . .,n,),称为,Gauss,点,.,与不带权的,Gauss,点的求法类似,有如下定理,.,定理,6.5.2,带权的插值求积公式中的,求积节点,x,k,(,k,= 0, 1,. . .,n,),是,Gauss,点的充分必要条件是,与任意次数不超过,n,的多项式,P,(,x,),均在区间,a,b,带权 正交,即满足,推论,6.5.2,在区间,a,b,上,带权 的,n,+ 1,次正交多项式,g,n+1,(,x,),的零点即为,Gauss,点,.,Gauss-Chebyshev 求积公式,其,Gauss,点为,n,+1,次,Chebyshev,多,项式,T,n+1,(,x,),的,零点，,即,在区间,-1, 1,权函数为,建立的,Gausss,求积公式,为,称为,Gauss-,Chebyshev,求积公式,.,其,求积系数,为,同理可以求出相应的,Gauss-,Laguerre,公式,与,Gauss-,Hermite,公式,.,显然仅对于某些特殊,的区间,和特殊的权函数,可以利用正交多项式的零点来确定,Gauss,点。,综上，,Gauss,求积公式,构造,的方法有二：,待定系数法，即,解,关于,A,k,和,x,k,的非线性方程组；,先,确定,Gauss,点，然后再确定,其求积系数。,4.,Gauss 求积公式的,余项,收敛性与稳定性,定理,6.5.3,设函数,f,(,x,),C,2n+2,a,b,则,Gauss,求积公式的余项为,Gauss,求积公式求积系数有如下性质,:,即,Gauss,求积公式求积系数都是正的,.,由,余项公式可直接得出, (6.5.14),Gauss 求积公式的数值稳定性,设,f,(,x,k,),的近似值为,记,由,Gauss,求积公式和,A,k, 0,则有误差估计,令,其中,是一个大于零的常数,.,由此可知,Gauss,求积公式是数值稳定的,.,定理,6.5.4,对任意的,f,C,a,b,则,Gauss,求积公式均收敛,即有,对于,Gauss,求积公式的收敛性,有如下的定理,6.6,数值微分,本节讨论数值微分。即对于定义在区间,a,b,上，由列表给出的函数,y,=,f,(,x,),：,x,k,x,0,x,1,x,n,y,=,f,(,x,k,),f,(,x,0,),f,(,x,1,),f,(,x,n,),如何计算函数,f,(,x,),的导数？,1.,插值型数值微分公式,由上述列表函数,我们可以建立,f,(,x,),的,n,次,Lagrange,插值多项式,L,n,(,x,),根据,f,(,x,),L,n,(,x,),可以得到插值型数值微分公式,能否举个例子说明这样做,不总是合理的？,由于,Lagrange,插值多项式,L,n,(,x,),的余项为,其中,且依赖于,x,.,对式,(6.6.3),两边求导得,(6.6.4),误差估计式中含有不确定函数,(,x,),的导数,可记为,但当计算插值节点处的导数时,因,n,+1,(,x,k,) = 0,这时数值导数的余项公式可以表示为,从而可以对,节点,处,误差作出适当的估计,.,下面,我们在等距节点情况下讨论函数,f,(,x,),在插值节点处导数的求法,.,(6.6.4),2.,两点数值微分公式,已知在两个插值节点,x,0,x,1,上的函数值,f,(,x,0,),f,(,x,1,),要计算,f,(,x,),在,x,0,x,1,处的导数,.,由线性插值公式,令,h,=,x,1,x,0,将上式求导得,由余项公式,(6.6.5),可得,带余项的两点数值微分公式,若略去余项,可得,两点数值微分公式,截断误差为,O,(,h,) .,注：,h,=,x,1,x,0,类似可得,3.,三点数值微分公式,已知,f,(,x,),在三点 处的函数值分别为,f,(,x,0,),f,(,x,1,),和,f,(,x,2,).,上式对,x,求导数得,次,Lagrange,插值多项式,则由二,从而由,有,由式,(6.6.5),可得,带余项的三点数值微分公式,若略去余项,有,三点数值微分公式,截断误差均为,O,(,h,2,) .,还可以建立高阶导数的数值微分公式,.,对,(6.6.9),再求导一次，有,故有二阶三点数值微分公式,利用式,(6.6.2),由余项公式,(6.6.3),可得带余项的二阶三点数值微分公式,而对于,可以利用,Taylor,公式推出,4.,利用三次样条插值函数求数值导数,基本思想,就是在区间,a,b,上,根据互异的节点,a,=,x,0,x,1,x,2, . . . ,x,n,=,b,及,函数值,y,k,=,f,(,x,k,) (,k,= 0, 1, , n) ,构造三次样条函数,S,(,x,),于是,f,(,x,),S,(,x,).,从而,所以可以利用它们来计算,f,(,x,),的各阶数值导数,(,一阶,二阶和三阶,).,以三弯矩公式为例,有,这里,这样,从而,在插值节点处的导数有,用三次样条插值函数计算,数值导数,在一定条件下,（如,f,(,x,),有连续四阶导数）有如下误差估计式：,其中 表示的同阶无穷小量,.,因此，用三次样条插值函数求数值导数比用插值多项式可靠性大,具体解法如下：,首先构造一个三次样条插值函数，,然后对其求导，用计算出的导函数作为,f,(,x,),的近似值,.,5.,数值微分的外推算法,由三点数值微分公式,( 6.6.11 ),下面研究上式的截断误差,.,有,由,Taylor,公式有,上两式相减整理后,得,上两式相减整理后,得,即得,由,对于固定的,x,上式的误差估计式正好符合,Richardson,外推算法,.,是与,h,无关的常数,.,由,外推算法,选取,有,其中 逼近于 的误差为,.,此算法的控制条件是,是预先给定的精度,本章小结,数值积分的基本概念、思想与理论,数值积分公式、插值型数值积分公式、余项、代数精度、收敛阶,插值型数值积分及其数值稳定性,Newton-Cotes,公式，,复化求积,公式,、变步长的求积,公式,、,Richardson外推算法与,Romberg,求积公式、,Gauss,求积公式,数值微分,的思想与各种方法,两点、三点数值微分公式、样条插值函数求数值导数、外推算法,本章结束,准备复习考试了！,