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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,菜 单,课后作业,典例探究,提知能,自主落实,固基础,高考体验,明考情,新课标,理科数学（广东专用）,本小节结束,请按ESC键返回,本小节结束,请按ESC键返回,第七节直接证明与间接证明,1,直接证明,内容,综合法,分析法,定义,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的,_,，最后推导出所要证明的结论,_,从要,_,出发，逐步寻求使它成立的,_,，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件,推理论证,成立,证明的结论,充分条件,2.,间接证明,反证法：假设原命题,_(,即在原命题的条件下，结论不成立,),，经过正确的推理，最后得出,_,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法,不成立,矛盾,1,综合法和分析法的区别和联系是什么？,【,提示,】,综合法的特点是：从,“,已知,”,看,“,可知,”,，逐步推向,“,未知,”,，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件分析法的特点：从,“,未知,”,看,“,需知,”,，逐步靠拢,“,已知,”,其逐步推理实际上是寻求它的充分条件在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用,2,反证法的关键是推出矛盾，所谓矛盾主要是指什么？,【,提示,】,反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等,1,(,人教,A,版教材习题改编,),用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于,60”,时，应假设,(,),A,三个内角都不大于,60,B,三个内角都大于,60,C,三个内角至多有一个大于,60,D,三个内角至多有两个大于,60,【,答案,】,B,【,答案,】,D,【,答案,】,b,4,定义一种运算“*”：对于自然数,n,满足以下运算性质：,1*1,1,，,(,n,1)*1,n,*1,1,，则,n,*1,_,【,解析,】,由,(,n,1)*1,n,*1,1,，得,n,*1,(,n,1)*1,1,(,n,2)*1,2,1*1,(,n,1),1,n,1,n,.,【,答案,】,n,定义在,x,0,，,1,上的函数,f,(,x,),若,x,1,0,，,x,2,0,且,x,1,x,2,1,，都有,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),成立，则称函数,f,(,x,),为理想函数,g,(,x,),2,x,1(,x,0,，,1),是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由,【,思路点拨,】,根据理想函数的定义加以判定证明,【,尝试解答,】,g,(,x,),2,x,1(,x,0,，,1),是理想函数,当,x,0,，,1,时，,g,(,x,),2,x,1,是增函数，,2,0,1,g,(,x,),2,1,1,，即,0,g,(,x,),1,，,则函数,g,(,x,)(,x,0,，,1),满足条件,(1),，,当,x,1,0,，,x,2,0,，且,x,1,x,2,1,时，,f,(,x,1,x,2,),2,x,1,x,2,1,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),2,x,1,2,x,2,2,，,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),2,x,1,x,2,2,x,1,2,x,2,1,2,x,1,(2,x,2,1),(2,x,2,1),(2,x,2,1)(2,x,1,1),，,x,1,0,，,x,2,0,，,2,x,1,1,0,，,2,x,2,1,0,，,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),0,，,则,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),满足条件,(2),故函数,g,(,x,),2,x,1(,x,0,，,1),是理想函数,1,综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知,(,从题设到结论,),的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断,(,命题,),出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性,2,综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理,(2012,湖南高考改编,),已知函数,f,(,x,),rx,x,r,(1,r,),，其中,x,0,，,r,为有理数,(1),若,0,r,1,，求函数,f,(,x,),的最小值,(2),试用,(1),的结论证明命题：设,a,1,0,，,a,2,0,，,b,1,，,b,2,为正有理数，若,b,1,b,2,1,，则,a,1,b,1,a,2,b,2,a,1,b,1,a,2,b,2,.,【,解,】,(1),f,(,x,),r,rx,r,1,r,(1,x,r,1,),，,令,f,(,x,),0,，得,x,1,，,【,思路点拨,】,从条件难以向结论转化转换角度从结论出发，寻找使结论成立的充分条件,1,对于无理不等式，常用分析法证明通过反推，逐步寻找结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键,2,对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，优点是利于思考，因为它的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁,即证,2,a,2,ac,c,2,0,，即证,(2,a,c,)(,a,c,)0.,2,a,c,a,b,0,，,a,c,0,，,(2,a,c,)(,a,c,)0,成立，,原命题成立,.,(2011,安徽高考,),设直线,l,1,：,y,k,1,x,1,，,l,2,：,y,k,2,x,1,，其中实数,k,1,，,k,2,满足,k,1,k,2,2,0.,(1),证明：,l,1,与,l,2,相交；,(2),证明：,l,1,与,l,2,的交点在椭圆,2,x,2,y,2,1,上,【,思路点拨,】,第,(1),问采用反证法；,(2),求直线,l,1,与,l,2,的交点坐标，代入椭圆方程验证,1,当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，直用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等,2,用反证法证明不等式要把握三点：,(1),必须否定结论；,(2),必须从否定结论进行推理；,(3),推导出的矛盾必须是明显的,已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，且满足,a,n,S,n,2.,(1),求数列,a,n,的通项公式；,(2),求证：数列,a,n,中不存在三项按原来顺序成等差数列,综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用,1.,用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用,“,要证,(,欲证,),”“,即要证,”“,就要证,”,等分析到一个明显成立的结论,2,利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的,反证法证明的关键：,(1),准确反设；,(2),从否定的结论正确推理；,(3),得出矛盾,从近两年高考试题看，综合法、分析法是高考考查的热点，主要考查考生的观察、抽象概括、联想等思维能力，同时也考查考生运用综合,分析法分析问题、解决问题的能力多在知识的交汇处命题，如数列、立体几何中的平行垂直、不等式、函数、解析几何等都可能考查在具体求解时，应注意运用转化与化归思想寻求解题思路,【,解析,】,中，,a,2,b,2,(,a,b,)(,a,b,),1,，,a,，,b,为正实数，若,a,b,1,，则必有,a,b,1,，不合题意，故正确,【,答案,】,易错提示：,(1),解题时不注意分析题目中条件与结论的差异之处，不能化异为同，从而导致无从下手或无的放矢,(2),忽视命题真假不定，而一味地证明其为真，导致事倍功半，甚至出现错误,防范措施：,(1),注意培养观察能力，即观察条件、结论，且能从数学的角度揭示其差异，如,“,高次低次,”,、,“,分式,(,根式,),整式,”,、,“,多元一元,”,等，从而为我们的化归转化指明方向，奠定基础,(2),注意这类判断命题真假的题目，其解法上既要规范，又要灵活当判断为真时，需严格地推理证明；而判断为假时，只需举一反例即可,1,(2012,江西高考改编,),下列命题中，假命题为,(,),A,存在四边相等的四边形不是正方形,B,z,1,，,z,2,C,，,z,1,z,2,为实数的充分必要条件是,z,1,，,z,2,互为共轭复数,C,若,x,，,y,R,，且,x,y,2,，则,x,，,y,至少有一个大于,1,D,对于任意,n,N,*,，,2,n,都是偶数,【,解析,】,选项,B,中，若,z,1,z,2,为实数，则保证,z,1,，,z,2,虚部互为相反数即可，并不需要,z,1,，,z,2,互为共轭复数，如,z,1,1,i,，,z,2,2,i.,故,B,不对,【,答案,】,B,课后作业（四十二）,
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