高等数学第五版第一章

*,极限运算法则,求极限方法举例,小结 思考题 作业,第五节 极限运算法则,第一章 函数与极限,1,定理1,证,(,1),无穷小与函数极限的关系,一、极限运算法则,极限运算法则,2,即常数因子可以提到极限符号外面,.,由无穷小运算法则,得,(,2),极限运算法则,的特例是,b,a,+,+,B,A,+,=,B,A,b,a,=,),(,),(,lim,x,g,x,f,3,定理2,那末,如果,极限运算法则,4,定理3,证,由定理1(1),由保号性定理,即,故,有,极限运算法则,有,5,注意,应用四则运算法则时,要注意条件:,参加运算的是,有限,个函数,它们的极限都,商的,极限要求分母的极限不为0.,不要随便参加运算,因为,不是数,它是,表示函数的一种性态.,存在,极限运算法则,6,解,例,二、求极限方法举例,极限运算法则,7,小 结,则有,则有,极限运算法则,8,解,商的法则不能用,由,无穷小与无穷大的关系,例,极限运算法则,得,9,解,例,消去零因子法,再求极限.,方 法,极限运算法则,分子,分母的极限都是零.,先约去不为零的无穷小因子,10,例,解,无穷小因子分出法,分子,分母的极限均为无穷大.,方 法,先用,去除,分子分母,分出无穷小,再求极限.,先将分子、分母同除以,x,的最高次幂,无穷小分出法,以分出,再求极限.,求有理函数当,的极限时,无穷小,极限运算法则,11,小 结,例,解,极限运算法则,12,例,解,先作恒等变形,和式的,项数随着,n,在,变化,再求极限.,使和,式的,项数固定,原,式=,不能用运算法则.,方 法,极限运算法则,13,例,解,“根式转移”法,化为 型,不满足每一项极限都存在的条件,不能直接,应用四则运算法则.,分子有理化,极限运算法则,14,练习,解,原,式=,解,原,式=,极限运算法则,15,例,解,左右极限存在且相等,左右极限为,极限运算法则,是函数的分段点,16,极限运算法则,设函数,是由函数,与函数,复合而成,有定义,若,且存在,有,则,定理,4,(,复合函数的极限运算法则,),证,有,对上述,有,取,故,取,证,及,同时成立,即,),(,x,g,f,y,=,),(,u,f,y,=,),(,x,g,u,=,),(,x,g,f,y,=,),(,0,u,x,g,h,-,0,),(,u,x,g,0,),(,0,-,u,x,g,0,),(,u,x,g,-,17,极限运算法则,定理,4,(,复合函数的极限运算法则,),设函数,是由函数,与函数,复合而成,有定义,若,且存在,有,则,注,定理中,把,或,而把,),(,x,g,f,y,=,),(,u,f,y,=,),(,x,g,u,=,),(,x,g,f,y,=,),(,0,u,x,g,18,化为,极限运算法则,如果函数,满足,该定理的条件,那么作代换,可把求,例,求极限:,解,可看作,与,复合而成.,并且,因而,19,例,解,原式=,这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法.,极限运算法则,故,20,推论,例,例,则,极限运算法则,21,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法:,对某些不能直接利用四则运算法则的极限,有时可采用下述方法:,(1),利用,无穷小与无穷大互为倒数的关系;,(2),利用,无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质,;,(4),无穷小因子分出法;,(3),消去零因子法;,三、小结,极限运算法则,22,(6),直接利用无穷大的概念判断;,(5),根式转移法;,(7),利用左右极限求分段函数极限.,为了对求极限的方法有全面的了解,指出,(8),利用夹逼定理;,(9),利用连续函数的性质;,(10),利用等价无穷小代换;,(11),利用未定式求极限法.,极限运算法则,还有下述方法:,23,思考题,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？,极限运算法则,解答,没有极限,假设,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,有极限，,为什么？,(,1),24,试确定常数,解,令,则,使,即,极限运算法则,(2),0,),1,(,lim,3,3,=,-,-,x,a,x,x,25,作业,习题1-5(48页),1.(1)(3)(5)(7)(9)(12)(14)2.(1)(3)3.(2),极限运算法则,26,