线性代数课件黄六

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 欧几里得空间,前面介绍的线性空间，是n维向量空间R的抽象与深化,到目前为止我们在线性空间中只涉及到向量的加法与数乘,然而在三维空间中还有许多重要的几何概念和运算，例如,向量的长度，向量之间的夹角等概念以及向量的内积在线,性空间中都没有涉及及讨论,第一节 欧几里得空间,一、几何空间中向量的内积,1.空间向量及两向量的夹角(回顾),实际问题中,既有大小又有方向的物理量称为,向量,.,几何上用有向线段表示一个向量,线段的长度表示向量的大小.,空间向量为,自由向量.,在直角坐标系下,将向量的起点移至原点,称之为,向径,.,向量,M,(,x,y,z,),OM=,(,x,y,z,),向量,=(,x,y,z,),的,长度,向量的,方向角,将空间两向量,的起点移至一点,o,两有向线段的夹角,(0,)，,称为向量,与,的,夹角,当,时，称,与,垂直(正交)，,记作,.,当,=0 或,时，称,与,平行(共线)，,记作,/,.,o,记为(,a,b,),例如,常力,f,作用于物体,使之产生位移,s,s,f,2.空间向量的内积.,这个力所作的功为,定义:,设,R,3,记,与,的夹角为,称数,为向量,与,的,内积(数量积),记为,即,(1),(勾股定理)设,1,2,k,是,n,维欧氏空间,R,n,中的向量,且,i,j,时,(,i,j,)=0,则,证,与,的夹角,的长度,因为,=,x,1,2,+,y,1,2,+,z,1,2,(,0,).,所以,4.用内积表示向量的长度及向量的夹角,定义:,二、,n,维向量的内积,1.,R,n,中向量内积定义,设,R,n,=(,x,1,x,2,x,n,),=(,y,1,y,2,y,n,),称数,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,+,x,n,y,n,为,与,的,内积.,记为(,),即,(,)=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,+,x,n,y,n,(3),2、内积的性质,设,则,R,n,k,R,则上面定义的内积满足以下性质：,当且仅当,=0 时,等号成立.,性质(1)到(4)的证明可由内积定义直接推得.,(1),(2),(3),(4),定义:,定义:,三、欧氏空间,R,n,称定义了内积的,n,维实向量空间,R,n,为,n,维欧几里得(Euclid)空间,简称欧氏空间,仍记作,R,n,.,三维欧氏空间,R,3,具有直观性,习惯上称之为,几何空间.,R,3,中向量长度及两向量的夹角等概念通过内积可平行推广到,R,n,使,n,维欧氏空间,具有可度量性.,设,=(,x,1,x,2,x,n,),R,n,的,长度,|,|定义为,即,(4),特别地,时,称,为,单位向量.,当,故称,为,的,单位化向量.,=1,定义：,四、标准正交基的概念及意义,1.正交向量组:,如果欧氏空间中的向量组,1,2,m,中任意两个向量都是相互正交的,即,(,i,j,)=0,i,j,i,j,=1,2,m,则称,1,2,m,为,正交向量组(简称正交组.),定理：,欧氏空间中不含零向量的正交向量组是线性无关的.,证,设,1,2,m,是一个正交的向量组,又设,k,1,1,+,k,2,2,+,k,m,m,=0,则,由于,故,k,i,=0,故,1,2,m,线性无关.,定义2,2.标准正交基,设,1,2,n,R,n,如果,则称,1,2,n,是,R,n,的一组,标准正交基.,显然,是,R,n,的标准正交基,.,在,R,3,中,分别为三个坐标轴正向的单位矢量.,五、施密特(Schmit),正交化方法求标准正交基,下面讨论由,R,n,的一组基构造,R,n,的标准正交基的方法,为直观起见,先从,R,3,开始讨论.,o,R,3,在,上的投影为：,在,上的投影向量为：,为了便于讨论,首先介绍一个向量在另一向量上的投影及投影向量.,设,1,2,3,是,R,3,的一组基,令,1,=,1,将,2,在,1,上的投影向量记为,2,则,2,=,k,12,1,其中,2,2,o,再取,则,2,1,.,1,=,1,2,2,o,将,在,1,2,上的投影向量分别记为,3,在,1,2,所在平面上的投影向量为,3,.,则,其中,3,取,则,因此,是两两正交的非零向量组.,再将,单位化,即取,则,就是,R,3,的一组标准正交基.,3,一般地,设,是,R,n,中的一个线性无关组,取,容易验证,两两正交,上述由,得到,的过程称之为,向量组的正交化,将这 个正交化的向量组再单位化,即取,就得到正交的单位向量组,称之为,标准正交组.,上述从线性无关组求得标准正交组的方法称为,施密特(Schmit),正交化方法.,例 1,解,设,R,3,的一组基为,1,=(1,2,1),2,=,(1,3,1),3,=(4,1,0),试用施密特正交化方法构造,R,3,的一组标准正交基.,取,1,=,1,取,便为所求的一组标准正交基.,R,3,中内积,两向量夹角向量长度三角不等式余弦定理勾股定理,几何空间,R,3,中向量积与混合积直线、平面及其方程曲线、曲面及其方程,R,n,中内积,欧氏空间,R,n,标准正交基,内积公理化定义,欧氏空间,V,欧氏空间的正交分解,上一页,