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NORTH UNIVERSITY OF CHINA,第三章,随机变量的数字特征,(17),第三章,从上一章的讨论中我们知道:,分布函数可全面地描述随,机变量的统计规律性.,然而在实际问题中,，,往往不需要全,面考查随机变量的概率分布情况,只要知道随机变量的某,些特征就够了.,例如,评价某班概率统计的考试成绩时,要知道该班的平均成绩,据就够了.,平均成绩高,偏离度小,就认为该班学习成绩好.,只,以及平均成绩的偏离度这两个数,我们把反映随机变量某些方面特征的参数,量的,数字特征.,其中反映随机变量取值集中程度的数字,特征称为,数学期望,反映随机变量取值分散程度的数字,特征称为,方差.,数学期望,与,方差,是随机变量的两个最重要的数字特征.,称为随机变,第三章,数 学 期 望,第 一 节,一、离散型随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,三、二维随机变量函数的数学期望,四、数学期望的性质,例1.,甲、乙两射手,甲:,击中环数,X,概率,8,0.3,9,0.1,10,0.6,乙:,击中环数,Y,概率,8,0.1,9,0.6,10,0.3,问哪个射手技术较高?,解:,虽然分布律完整地描述了随机变量的概率分布,但我,们很难一眼就看出甲、乙两个射手哪个技术更好些.,一 . 离散型随机变量的数学期望,他们射击中靶的分布律分别为:,若让甲、乙各射击,N,次,则他们击中的总环数大约是:,甲:,乙:,平均起来,甲每次击中9.3环,乙每次击中9.2环,故甲的射击技术略高于乙.,1 .,离散型随机变量的数学期望,设离散型随机变量,X,的分布律为,定义1,若级数,绝对收敛,则称级数,的和,为,X,的数学期望,简称期望或均值.,记为:,注意:,这里要求级数,绝对收敛,收敛),是为了保证级数,的和与其各项的次序无关,从,而使它恒收敛于同一确定数值,2 . 离散型随机变量函数的数学期望,对于随机变量,X,的函数,g,(,X,) 的数学期望有如下结论:,(1),(即,如果,绝对收敛,则有,其中,(2),设,X,的分布律为,例1,求,及,解:,一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五,种,相应的概率分别为0.7 , 0.1 , 0.1 , 0.06及0.04,其产值,分别为6元,5.4元,5元,4元及1元.,求产品的平均产值.,解:,产品产值,X,是一随机变量,它的概率分布如下:,则由式(1)得产品的平均产值(单位：元)为,例2.,定义2,设连续型随机变量,X,的概率密度函数为,并且广义积分,绝对收敛,则称此积分值为,X,的数学期望,记为,这里要求,绝对收敛,收敛),其理由与离散型要求级数,绝对收敛类似.,二 . 连续型随机变量的数学期望,(3),(即,1 .,连续型随机变量的数学期望,对于连续型随机变量,X,的函数,有如下结论:,若广义积分,绝对收敛,则,其中,f,(,x,) 为,X,的概率密度函数.,的数学期望存在,且有,2 . 连续型随机变量函数的数学期望,(4),设随机变量,X,的概率密度函数为,例3.,求,解:,由公式(3),有,三 . 二维随机变量函数的数学期望,设,是二维随机变量,为二元连续函数,则,是一维随机变量,也可对其求数学期望.,1. 二维离散型随机变量函数的数学期望,设二维离散型随机变量,的联合分布律为,若,绝对收敛,则,的数学期望存在,(5),且有,设二维连续型随机变量,的联合概率密度函数为,若,绝对收敛,2. 二维连续型随机变量函数的数学期望,则,的数学期望存在,且有,特例,(6),(7),(8),设,的联合概率密度函数为,求,解:,例4.,性质1.,设,为常数,则,证:,把常数,看成退化成单点的离散型随机变量,其分,由定义即得,设,随机变量,X,的数学期望存在,为常数,则有,证:,设,的概率密度函数为,则,四 . 数学期望的性质,性质2.,布律为,证毕.,证毕.,的联合概率密度函数为,的边缘概率密度函数分别为,推论:,证:,设,性质3.,设随机变量,X,和,Y,的数学期望都存在,则有,则有,证毕.,的边缘概率密度函数分别为,则由,X,与,Y,的,推论:,当,相互独立时,设随机变量,X,与,Y,相互独立,X,与,Y,证:,设(,X,Y,) 的联合概率密度函数为,f,(,x,y,) ,性质4.,相互独立性有,从而有:,有,则有,证毕.,
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