3.1.3空间向量的数量积运算(不错)（教育精品）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.3空间向量的数量积运算,平面向量数量积的相关知识,复习：,平面向量的夹角：,A,O,B,A,B,叫做向量 a与 b的夹角。,已知两个非零向量 a 和 b，,在平面上取一点O，,作,OA,= a,OB,= b,则,平面向量的数量积的定义：,平面向量的数量积,已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos,叫做向量a, b的数量积，记作,即,并规定 0,你能类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律,概念,1） 两个向量的夹角的定义,O,A,B,2）两个向量的数量积,注意：,两个向量的数量积是数量，而不是向量.,零向量与任意向量的数量积等于零。,3)空间向量的数量积性质,注意：,性质2）是证明两向量垂直的依据；,性质3）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量 ，有：,4)空间向量的数量积满足的运算律,注意：,数量积不满足结合律,思考,1.下列命题成立吗?,若 ,则,若 ,则,应用,由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决.,(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.,(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到.,典型例题,例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.,分析,：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！,证明：,如图,已知:,求证：,在直线,l,上取向量 ,只要证,为,逆命题成立吗,?,分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.,变式,设A,、B、C、D是空间不共面的四点,且满足,则BCD是 ( ),A.钝角三角形 B.直角三角形,C.锐角三角形 D.不确定,C,分析：,要证明一条直线与一个平面,垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的,任意一条直线,都垂直.,例2,:(,试用,向量方法证明直线与平面垂直的判定定理,),已知直线,m,n,是平面 内的两条相交直线,如果 ,m, ,n,求证:, .,m,n,g,取已知平面内的任一条直线,g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?,怎样建立向量的条件与向量的目标的联系,?,共面向量定理,m,n,g,解:,在 内作不与,m,n,重合的任一直线,g,在,上取非零向量 因,m,与,n,相交,故向量,m,n,不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使,例2:已知直线,m,n,是平面 内的两条相交直线,如果 ,m, ,n,求证:, .,例3 如图，已知线段在平面 内，线段,，线段 ，线段， ，如,果，求、之间的距离。,解：由，可知.,由 知 .,课堂练习,A,B,A,1,C,1,B,1,C,1.如图,在正三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,中,若AB= BB,1,则AB,1,与C,1,B所成角的大小为( ),A. B. C. D.,2.已知在平行六面体中，,求对角线的长。,B,小 结：,通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：,1、证明两直线垂直;,2、求两点之间的距离或线段长度;,3、求两直线所成角.,作业,P98 A组 3 4 5,B组 1 2,