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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,微分方程,*,北京理工大学,第一学期,工科数学分析,第四节 线性微分方程解的结构,一、概念的引入,解,受力分析,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,串联电路的振荡方程,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n,阶线性微分方程,二、二阶线性微分方程解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,注,:,齐次线性方程的解,符合叠加原理,.,例如,线性无关,线性相关,例如,定义,2.,一,阶线性,非齐次,方程的解的结构:,一阶线性非齐次微分方程,对应的齐次方程的通解,非齐次方程的一个特解（与,c,= 0 对应的特解）,结论：一阶线性非齐次微分方程的通解等于它的,一个,特解,与,对应的齐次方程的通解,之和,3,.二阶非齐次线性方程的解的结构:,解的叠加原理,定理 4 通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理,定理 4 同样可以推广到,n,阶非齐次方程的情形,(*),(*),三、二阶线性微分方程的解法,对一般的二阶线性微分方程的求解是困难的，没有一般的解法。,下面介绍的是,已知方程的某些解,的条件下如何求得其通解。,-,降阶法与常数变易法,已知二阶线性齐次方程的一个非零特解，,求其通解,是（1）的一个已知的非零特解,作变量替换：,代入（1）得：,注意:,1. 降阶法-刘维尔公式,-,二阶齐次方程的通解,是（1）的一个已知的非零特解,作变量替换：,作变量替换：,分离变量得:,两边积分得:,是（1）的一个已知的非零特解,作变量替换：,作变量替换：,刘维尔公式,是方程,例1:设,的一个解,试求方程的通解,解: 令,代入方程并化简得,作变量替换：,并将,代入化简得,两边积分得:,是方程,例1:设,的一个解,试求方程的通解,解: 令,作变量替换：,两边积分得:,所以,2.,非齐次线性方程,通解求法,-,常数变易法,已知相对应的线性齐次方程的通解，求二阶线性非齐次方程的特解,常数变易法,如果对应的齐次线性方程,则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：,2. 常数变易法-求非齐次线性方程的特解,有通解:,补充条件:,则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：,补充条件:,所以,代入（1）并化简得,则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：,代入（1）并化简得,解之得：,则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：,若能求得（2）的一个特解,则可按以下步骤求得（1）的通解：,（2）由常数变易法求出（1）的一个特解：,从而得到齐次方程（2）的通解：,（1）由刘维尔公式求出（2）的另一个特解 ，,（3）写出方程（1）的通解,的通解,例2:求方程,解:,由刘维尔公式得,齐次方程（2）的通解为：,由常数变易法，设所求方程的特解为:,由,得,的通解,例2:求方程,解:,由常数变易法，设所求方程的特解为:,解方程组得：,积分并取一个原函数得：,四、小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；,降阶法与常数变易法；,补充内容,可观察出一个特解,作业,P380,1,，,2,，,3,，,4, 5, 6.,练 习 题,练习题答案,
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