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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高数同济六版,*,目录 上页 下页 返回 结束,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与,曲线的弧长有关,主要内容,:,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第,三,章,11/28/2024,高数同济六版,一、弧微分,设,在,(,a,b,),内有连续导数,其,图形为,AB,弧长,11/28/2024,高数同济六版,则,弧长微分公式为,或,几何意义,:,若,曲线由参数方程表示,:,11/28/2024,高数同济六版,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点,M,开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点,M,处的曲率,注意,:,直线上任意点处的曲率为,0!,转角为,11/28/2024,高数同济六版,例,1.,求半径为,R,的圆上任意点处的曲率,.,解,:,如图所示,可见,:,R,愈小,则,K,愈大,圆弧弯曲得愈厉害,;,R,愈大,则,K,愈小,圆弧弯曲得愈小,.,11/28/2024,高数同济六版,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率,K,的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,11/28/2024,高数同济六版,说明,:,(1),若曲线由参数方程,给,出,则,(,2),若曲线方程为,则,11/28/2024,高数同济六版,例,2.,我国铁路常用立方抛物线,作,缓和曲线,处的,曲率,.,点击图片任意处播放,暂停,说明,:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,且,l,R,.,其中,R,是圆弧弯道的半径,l,是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化,因此铁道的,曲率应连续变化,.,11/28/2024,高数同济六版,例,2.,我国铁路常用立方抛物线,作,缓和曲线,且,l,R,.,处的,曲率,.,其中,R,是圆弧弯道的半径,l,是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,解,:,显然,11/28/2024,高数同济六版,例,3.,求椭圆,在,何处曲率最大,?,解,:,故,曲率为,K,最大,最小,求驻点,:,11/28/2024,高数同济六版,设,从而,K,取最大值,.,这,说明椭圆在点,处,曲率,计算驻点处的函数值,:,最大,.,K,最大,最小,11/28/2024,高数同济六版,三、曲率圆与曲率半径,设,M,为曲线,C,上任一点,在,点,在,曲线,把以,D,为中心,R,为半径的圆叫做曲线在点,M,处的,曲率圆,(,密切圆,),R,叫做,曲率半径,D,叫做,曲率中心,.,在点,M,处曲率圆与曲线有下列密切关系,:,(1),有公切线,;,(,2),凹向一致,;,(,3),曲率相同,.,M,处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点,D,使,11/28/2024,高数同济六版,设曲线方程为,且,求,曲线上点,M,处的,曲率半径及曲率中心,设点,M,处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式,.,11/28/2024,高数同济六版,满足方程组,由此可得曲率中心公式,(,注意,与,异号,),当,点,M,(,x,y,),沿曲线,移动时,的轨迹,G,称为曲线,C,的,渐屈线,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线,C,称为曲线,G,的,渐伸线,.,屈线的参数方程,(,参数为,x,).,点击图中任意点动画开始或暂停,11/28/2024,高数同济六版,例,4.,设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其,内,表面,问选择多大的砂轮比较合适,?,解,:,设椭圆方程为,由例,3,可知,椭圆在,处,曲率最大,即,曲率半径最小,且为,显然,砂轮半径不超过,才不会产生过量磨损,或,有的地方磨不到的问题,.,例3,11/28/2024,高数同济六版,(,仍,为,摆线,),例,5.,求摆线,的,渐屈线方程,.,解,:,代入曲率中心公式,得渐屈线方程,摆线,摆线,摆线,11/28/2024,高数同济六版,摆线,半径为,a,的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停,其,上定点,M,的轨迹即为摆线,.,参数的几何意义,摆线的渐屈线,点击图中任意点动画开始或暂停,11/28/2024,高数同济六版,内容小结,1.,弧长微分,或,2.,曲率公式,3.,曲率圆,曲率半径,曲率中心,11/28/2024,高数同济六版,思考与练习,1.,曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系,?,答,:,有公切线,;,凹向一致,;,曲率相同,.,2.,求双曲线,的曲率半径,R,并分析何处,R,最小,?,解,:,则,利用,11/28/2024,高数同济六版,作业,第八节,P177,4,；,5,；,7,；,8,；,*,9,11/28/2024,高数同济六版,
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