清华 机械振动1(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,振动 波动和波动光学,第十九章 振动,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,广义振动,：,任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近的往复变化。,振动：,具有时间周期性的运动。,1,9-1,简谐振动,物体振动时，离开平衡位置的位移,x,(,或角位移,),随时间,t,的变化可表示为余弦函数或正弦函数。,一、简谐振动基本方程：,1 理想模型,弹簧振子：,弹簧振子也可以取竖直振动情况,但其坐标原点应取在静止时的平衡位置。,V3,简称谐振动。,振子的受力特点：,振子的加速度特点：,微分方程：,谐振动的三个判据,微分方程的解：,简谐振动方程,2 谐振动的位置时间曲线：,由振动方程可得简谐振动的,x,t,曲线为：,t,o,3 再例单摆：,根据转动定律：,其中：,对转轴的力矩：,其解为：,复摆：,（物理摆）,由图可知细杆的垂直位为平衡位，故建立图示坐标系。,当细杆在任意偏离竖直位置,处，受力如图：,支点位置受力可忽略。,则此时细杆所受力对支点的矩为：,例：质量为,m,长为,L,的匀质细杆，上端可自由转动，下端被一轻,弹簧连着。弹簧的劲度系数为,k,，,细杆处于垂直位置时弹簧,恰好为自由长度。当细杆做微小振动时是何种运动？,解：,由转动定律可得：,由转动定律可得：,上式满足谐振动微分方程，因此，细杆在做谐振动。,二、简谐振动的速度、加速度：,简谐振动方程：,谐振动振子的速度：,谐振动振子的加速度：,（1）谐振子的速度、加速度也呈周期性变化，且周期相同。,但各余弦项中依次增加,/2,超前,（2）速度幅值,V,m,、,加速度幅值,a,m,相应的另一式,滞后,19-2,谐振动的矢量图示法旋转矢量法,V3,旋转矢量法的应用十分广泛。,上面的谐振子的谐振方程，速度、加速度方程都可以用旋转矢量法表示：,19-3,简谐振动的特征量,一、与固有条件有关的物理量：,周期,T,、,频率,、,角频率,其中：,频率，,每秒振动的次数,角频率，,2,p,秒内振动的次数,T,周期，,一次完全振动的时间,弹簧振子：,单摆：,二、与初始条件有关的物理量：,t,=0,时,x,0,V,0,振幅,A,、,初位相,1 振幅,A,：,表示了振动物体离开平衡位置的最大距离。,只能取正值。,2 位相(,t,+,):,又称相位、周相。,决定了物体的振动状态。,t,+,x,V,a,振动状态,0,A,0,-,a,max,振子位于正最大位移，有反向,a,max,V,=0,/2,0,-,V,max,0,振子位于平衡位置，有一指向,x,的,V,max,-,A,0,a,max,振子位于负最大位移，有正向,a,max,V,=0,3,/2,0,V,max,0,振子位于平衡位置，有一指向,x,的,V,max,位相描写了振子在任意时刻的振动状态,位相的物理意义,在旋转矢量法中，任意时刻振幅矢量与,x,正向的夹角为其位相,初始时刻,t,=0,时，振动位相为：,描述了,t,=0,时刻振子的振动状态,初相的物理意义。,初相（初相位）,t,+,x,V,a,振动状态,0,A,0,-,a,max,振子位于正最大位移，有反向,a,max,V,=0,/2,0,-,V,max,0,振子位于平衡位置，有一指向,x,的,V,max,-,A,0,a,max,振子位于负最大位移，有正向,a,max,V,=0,3,/2,0,V,max,0,振子位于平衡位置，有一指向,x,的,V,max,定义：,若存在两个振动,x,1,、,x,2,，其位相分别为：,则称：,=,2,-,1,为,相差,。,且若：,称振动,x,1,、,x,2,同相,称振动,x,1,、,x,2,反相,则,2,对应的振动比,1,对应的振动,超前,相应的，,1,对应的振动比,2,对应的振动,滞后,三、谐振动特征量的有关计算：,例1：,原长为,0.50,m,的弹簧，上端固定，下端连一质量为,0.10,kg,的砝码。砝码静止时，弹簧长,0.60,m。,若将砝码向上推，,使弹簧缩回到原长，然后放手，则砝码做上下运动。,（1）证明砝码的上下运动为谐振动；,（2）求此谐振的振幅、角频率、频率；,（3）若从放手时开始计算时间，求此谐振动的,运动方程（设正方向向下）,解：,由题设知，弹簧长,0.6,m,时系统平衡，此时有,其中：,x,0,=0.1 m,以此处为原点建立正向向下的坐标系,如图示，则在任意位,x,砝码均受两个力作用：重力,mg,，,弹簧的弹性力,f=k,(,x+x,0,),则由牛二律有：,求此谐振的振幅、角频率、频率,由上述推导可知：,系统在做谐振。,若从放手时开始计算时间，求此谐振动的运动方程（设正方向向下）,例,2,:如图示，一质点在做谐振动，在一个周期内相继通过相距,11,cm,的,A,、,B,两点，历时,2.0,s,，,并具有相同的速率；再经历,2.0,s,后，质点又从另一方向通过,B,点。,（1）求质点运动的周期和振幅；,（2）写出质点在任意位置,x,处的速率表达式,V,(,x,),解:(1),由已知，质点在沿同一方向先后经过,A,、,B,点时速度大小相同，说明,A,、,B,两点对称于平衡点，,据此做旋转矢量图。,设与,A,点对应的矢量为,t,=0,时刻，,由旋转矢量图可知,4,s,为半个周期,。,由简谐振动运动学特征可知：,分离变量，两边积分，则有：,（,2,）写出质点在任意位置,x,处的速率表达式,V,(,x,),例,3,:已知,x,0,，,V,0,，,利用旋转矢量法求初相,这类问题的解决分为两步,(1)先由,x,0,找出对应矢量可能出现的两个位置,(2)根据初速度的水平分量,V,0,x,方向做判断,解：,（1）,V,0,x,0,说明,V,0,x,处于,ox,轴正方向，即表明此刻振动矢量在,ox,的投影将向,ox,正向运动。,由于已经设定旋转矢量角频率为逆时针方向，则如图示有：,（2）,同理可得：,例,4,:,质点沿,x,轴做谐振动,，,振幅,A,=2cm，,周期,T,=1s。,质点由,处运动到,处的最短时间为,t,1,，,质点由,x,q,运动到,x,p,的最短时间为,t,2,。,则,t,1,=,？,t,2,=,？,解：,