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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,充分条件与必要条件,请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？,（,1,）若,x,y,，则,x,2,y,2,（,2,）若,ab,=0,，则,a,=0,（,3,）若,x,2,1,，则,x,1,（,4,）若,x,1,或,x,2,，则,x,2,3,x,2,0,一般的，如果命题“若,p,则,q”,为真，是指由,p,通过推理可以得到,q,。这时我们就说，由,p,可推出,q,，记作,p q,，,并且说,p,是,q,的,充分,条件，,q,是,p,的,必要,条件。,如果命题“若,p,则,q”,为假，则记作,p q,。此时，我们说,p,不是,q,的充分条件，,q,不是,p,的必要条件。,例,1,下列,“,若,p,，则,q,”,形式的命题中，那些命题中的,p,是,q,的充分条件？（,1,）若,x=1,，则,x,2,-4x+3=0,；（,2,）若,f,（,x,）,=x,则,f,（,x,）在（,，,）上 为增函数；（,3,）若,x,为无理数，则,x,2,为无理数。,例,2,下列,“,若,p,，则,q,”,形式的命题中，哪些命题中的,q,是,p,的必要条件？,（,1,）若,x=y,，则,x,2,=y,2,；,（,2,）两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；,（,3,）若,ab,，则,ac,bc,思考：,已知,p,：整数,a,是,6,的倍数，,q,：整数,a,是,2,和,3,的倍数。,那么,p,是,q,的什么条件？,q,又是,p,的什么条件？,这个问题中，,p q,，所以,p,是,q,的充分条件，,q,是,p,的必要条件。,另一方面，,q p,，所以,p,也是,q,的必要条件，,q,也是,p,的充分条件。,此时，我们说，,p,是,q,的充分必要条件，简称充要条件。显然，如果,p,是,q,的充要条件,，那么,q,也是,p,的充要条件,。,概括的说，如果,p q,，那么,p,与,q,互为,充要条件,。,“,p,是,q,的充要条件”也说成“,p,等价于,q”“q,当,且仅当,p”,例,3,下列各题中，哪些,p,是,q,的充要条件？,（,1,）,p,：,b=0,，,q,：函数,f,（,x,）,=ax,2,+bx+c,是偶 函数；,（,2,）,p,：,x0,y0,q,：,xy,0;,（,3,）,P,：,ab,q,：,a+c,b+c,例,4,已知：,O,的半径为,r,，圆心,O,到直线,L,的距离为,d,。求证：,d=r,是直线,L,与,O,相切的充要条件。,证明：,（,1,）,充分性,（,p q,）,:,作,OPL,于点,P,，则,OP=d,。若,d=r,，则点,P,在,O,上。在直线,L,上任取一点,Q(,异于点,P),，链接,OQ,。在,RtOPQ,中，,OQOP=r.,所以，除点,P,外，直线,L,上的点都在,O,的外部，即直线,L,与,O,仅有一个公共点,P,。因此，直线,L,与,O,相切。,（,2,）,必要性,（,q p,）：若直线,L,与,O,相切，不妨设切点为,p,，则,OP L,。因此,d=OP=r,。,认清条件和结论。,考察,p q,和,q p,的真假。,可先简化命题。,将命题转化为等价的逆否命题后再判断。,否定一个命题只要举出一个反例即可。,判别步骤：,判别技巧,：,判别充要条件问题应,注意,充要性包括：充分性,p q,和必要性,q p,两个方面。,练习：,1,、已知,A=,xx,满足条件,p,，,B=,xx,满足条件,q,（,1,）如果,A B,，那么,p,是,q,的什么条件；,（,2,）如果,B A,，那么,P,是,q,的什么条件；,（,3,）如果,A=B,，那么,P,是,q,的什么条件；,（,4,）如果,AB=,，那么,P,是,q,的什么条件。,1,、充分且必要条件,2,、充分非必要条件,3,、必要非充分条件,4,、既不充分也不必要条件,各种条件的可能情况,小结,:,1,、充分条件与必要条件的定义；,2,、充要条件的定义；,3,、各种条件的可能性。,定义,:,如果,则说,p,是,q,的充分条件,(sufficient condition),q,是,p,的必要条件,(necessary condition).,定义,:,如果,则说,p,是,q,的充要条件,(sufficient and,necessary,condition),定义,:,如果,且,q p,则说,p,是,q,的充分不必要条件,定义,:,如果,p,q,且 ，则说,p,是,q,的必要不充分条件,定义,:,如果,p,q,且,q p,，,则说,p,是,q,的既不充分也不必要条件,a=0,ab,=0,。,要使结论,ab,=0,成立，只要有条件,a=0,就足够了，“足够”就是“充分”的意思，因此称,a=0,是,ab,=0,的,充分条件,。另一方面如果,ab0,，,也不可能有,a =0,，,也就是要使,a=0,，,必须具备,ab,=0,的条件，因此我们称,ab,=0,是,a=0,的,必要条件。,充分条件与必要条件的判断,（,2,）利用等价命题关系判断：“,p q”,的等价命题是“,q p”,。,即“若,q p,成立，则,p,是,q,的充分条件，,q,是,p,的必要条件”,（,1,）直接利用定义判断：即“若,p q,成立，则,p,是,q,的充分条件，,q,是,p,的必要条件”,.,（条件与结论是相对的）,例,1,：指出下列各组命题中，,p,是,q,的,什么条件，,q,是,p,的什么条件：,（,1,）,p,：,x,-1=0,；,q,：,(,x,-1)(,x,+2)=0.,（,2,）,p,：,两条直线平行；,q,：,内错角相等,.,（,3,）,p,：,ab,；,q,：,a,2,b,2,（,4,）,p,：,四边形的四条边相等；,q,：,四边形是正四边形,.,例,2,：,如图,1,，有一个圆,A,，,在其内又含有一个圆,B.,请回答,命题：若“,A,为绿色”，则“,B,为绿色”中，“,A,为绿色”是“,B,为绿色”的什么条件；,“,B,为绿色”又是“,A,为绿色”的什么条件,.,命题：若“红点在,B,内”，则“红点一定在,A,内”中，“红点在,B,内”是“红点在,A,内”的什么条件；,“红点在,A,内”又是“红点在,B,内”的什么条件,.,小结：,1,、当,p q,时，,p,是,q,的,充分条件，,q,是,p,的必要条件。,2,、充分条件的特征是：当,p,成立时，必有,q,成立，但当,p,不成立时，未必有,q,不成立。因此要使,q,成立，只需要条件,p,即可，故称,p,是,q,成立的充分条件,。,3,、,必要条件的特征是：当,q,不成立时，必有,p,不成立，但当,q,成立时，未必有,p,成立。因此要使,p,成立，必须具备条件,q,，故称,q,是,p,成立的必要条件。,
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