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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,的应用,解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和“测量”。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。,解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。,我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的,周髀算经,里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪，我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦,鹿邑三高 史琳,正弦定理,余弦定理,（,R,为三角形的外接圆半径）,A,B,C,a,c,b,例,1,海上有,A,、,B,两个小岛相距,10,海里，从,A,岛望,C,岛和,B,岛成,60,的视角，从,B,岛望,C,岛和,A,岛成,75,的视角，那么,B,岛和,C,岛间的距离是,。,A,C,B,10,海里,60,75,答：,海里,解斜三角形,解：应用正弦定理，,C=45,BC/sin60=10/sin45,BC=10sin60/sin45,知道它有多远吗？,请回答下列问题：,（,1,）什么是解三角形，我们学了哪些相关的定理？,（,2,）关于解斜三角形，你掌握了,哪几种类型？,例,2,.,为了开凿隧道,要测量隧道口,D,E,间的距离,为此在山的一侧选取适当的点,C(,如图,),测得,CA=482m,CB=631.5m,ACB=56,0,18,又测得A,B两点到隧道口的距离AD=80.12,m,BE=40.24m (A,D,E,B,在一直线上,).,计算隧道,DE,的长,A,B,C,D,E,解斜三角形,由余弦定理可解,AB,长。进而求,DE,。,析：,思,1,：能否直接解三角形,ABC,？,2,：能否保证,A,、,D,、,E,、,B,在一直线上？,知道它有多宽吗？,解斜三角形理论在实地测量中的应用,解斜三角形,解三角形的应用,-,实地测量举例,例,3,、,为了测定河对岸两点,A,、,B,间的距离，在岸边选定,1,公里长的基线,CD,，,并测得,ACD,=90,o,，,BCD,=60,o,，,BDC,=75,o,，,ADC,=30,o,，,求,A,、,B,两点的距离,.,A,B,C,D,知道它有多长吗？,练习,1,、一艘船以,32.2n mile/hr,的速度向正北航行。在,A,处看灯塔,S,在船的北偏东,20,o,的方向，,30min,后航行到,B,处，在,B,处看灯塔在船的北偏东,65,o,的方向，已知距离此灯塔,6.5n mile,以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？,练习,2,自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算,油泵顶杆,BC,的长度已知车厢的最大仰角是,60,，油泵顶点,B,与车厢支点,A,之间的距离为,1.95m,，,AB,与水平线之间的夹角为,6,20,，,AC,长为,1.40m,，,计算,BC,的长（精确到,0.01m,）,最大角度,最大角度,最大角度,最大角度,已知,ABC,中,AB,1.95m,，,AC,1.40m,，,夹角,C,AB,6620,，求,BC,解：由余弦定理，得,答：顶杆,BC,约长,1.89m,。,C,A,B,解斜三角形应用举例,小结,实际问题,抽象概括,示意图,构造三角形,演算,解三角形,实际问题的解,还原说明,注意合理性！,教室,A,B,围墙,试试看,！,。,，试求云的高度,的仰角为,湖中的象）,，而湖中云之影（云在,角为,处，测得云的仰,米的,在离湖面高为,H,A,h,b,a,知道它有多高吗！,例,6,，试求云的高度。,的仰角为,湖中的象）,，而湖中云之影（云在,角为,处，测得云的仰,米的,在离湖面高为,10,A,知道它有多高吗！,例,6,如何在平地上测量位于山上的灯塔顶部离地面的高度？,知道它有多高吗？,例,7,：,例,8 AB,是底部,B,不可到达的一个建筑物，,A,为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度,AB,的方法,分析：由于建筑物的底部,B,是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点,C,到建筑物的顶部,A,的距离,CA,并测出由点,C,观察,A,的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出,CA,的长,。,解：选择一条水平基线,HG,使,H,G,B,三点在同一条直线上。由在,H,G,两点用测角仪器测得,A,的仰角分别是,，,，,CD=a,测角仪器的高是,h.,那么，在,ACD,中，根据正弦定理可得,例,8 AB,是底部,B,不可到达的一个建筑物，,A,为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度,AB,的方法,例,9,在山顶铁塔上,B,处测得地面上一点,A,的俯角,54,40,，在塔底,C,处测得,A,处的俯角,50,1,。已知铁塔,BC,部分的高为,27.3m,，求出山高,CD(,精确到,1m),分析：根据已知条件，应该设法计算出,AB,或,AC,的长,解：在,ABC,中，,BCA=90+,ABC=90,-,BAC=,-,BAD=,.,根据正弦定理，,CD=BD-BC177-27.3=150(m),答：山的高度约为,150,米。,例,10,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到,A,处时测得公路南侧远处一山顶,D,在东偏南,15,的方向上，行驶,5km,后到达,B,处，测得此山顶在东偏南,25,的方向上，仰角,8,，求此山的高度,CD.,分析：要测出高,CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出,BC,的长。,例,10,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到,A,处时测得公路南侧远处一山顶,D,在东偏南,15,的方向上，行驶,5km,后到达,B,处，测得此山顶在东偏南,25,的方向上，仰角,8,，求此山的高度,CD.,解：在,ABC,中，,A=15,C=25-15=10.,根据正弦定理，,CD=BCtanDBCBCtan81047(m),答：山的高度约为,1047,米。,例,11,一艘海轮从,A,出发，沿北偏东,75,的方向航行,67.5n mile,后到达海岛,B,然后从,B,出发，沿北偏东,32,的方向航行,54.0n mile,后到达海岛,C.,如果下次航行直接从,A,出发到达,C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到,0.1,距离精确到,0.01n mile,）,?,解：在,ABC,中，,ABC,180,75,32,137,，根据余弦定理，,所以，,CAB=19.0,75,CAB=56.0.,答：此船应该沿北偏东,56.0,的方向航行，需要航行,113.15n mile.,例,12,在,ABC,中，根据下列条件，求三角形的面积,S(,精确到,0.1cm,),(1),已知,a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;,(2),已知,B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;,（,3,）已知三边的长分别为,a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.,例,13,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为,68m,88m,127m,，这个区域的面积是多少（精确到,0.1cm,）,?,解：设,a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，,练习,3,任一 中，求证：,练习,4,在,ABC,中，若,B=60,2b=,a+c,试判断,ABC,的形状。,Thanks for your coming!,
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