椭圆定义及标准方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 圆锥曲线与方程,问,:,解析几何要解决的两类基本问题是什么,?,答,:,(1),已知曲线研究其方程,;,(2),已知曲线方程研究其曲线的性质,.,回顾圆的定义及标准方程的学习过程及求法,:,1,、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,2,、,求轨迹方程的基本步骤：,（,1,）建立,适当,的坐标系，用,(x,y),表示曲线上任意一点,M,的坐标；,（,2,）写出适合条件,P,的点,M,的集合,(,可以省略,);,（,3,）将条件,P,（,M,）坐标化，列出方程,;,（,4,）对方程化简；,（,5,）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点,(,可以省略不写,如有特殊情况，应当,适当,予以,说明,).,设想：,平面内与两定点的距离的和等于,定长的点的轨迹是什么呢？,返回求方程,返回解例,2,2.1,椭圆定义及标准方程,仙女座星系,星系中的椭圆,-“,传说中的”飞碟,平面内,与两个,定点,F,1,、,F,2,的距离的,和,等于,常数,(,大于,|,F,1,F,2,|),的点的轨迹叫做,椭圆,。,这两个定点叫做,椭圆的焦点,两焦点之间的距离叫做,椭圆的焦距,。,问题,1,：当常数等于,|F,1,F,2,|,时，点,M,的轨迹是,;,问题,2,：当常数小于,|F,1,F,2,|,时，点,M,的轨迹是,.,线段,F,1,F,2,不存在,一、椭圆定义：,二、椭圆的标准方程：,设,M(x,y),是椭圆上任一点，,由定义知：,(,),(,),a,y,c,x,y,c,x,2,2,2,2,2,=,+,-,+,+,+,如图建立直角坐标系,椭圆的焦距为,2,c,(,c,0),，则,F,1,(-,c,0),、,F,2,(c,0),，,M,与,F,1,、,F,2,的距离的和等于常数,2,a,。,分析：,（,2,）如何建系，,使得椭圆的,方程较简单？,（,1,）求椭圆的方,程出发点？,（定义）,回顾求轨迹方程步骤,将方程移项后平方得：,两边再平方得：,由椭圆定义知：,(,),(,),a,y,c,x,y,c,x,2,2,2,2,2,=,+,-,+,+,+,这个方程叫做,椭圆的标准方程,，它所表示的椭圆的焦点在,x,轴上，焦点是,F,1,(-c,，,0),、,F,2,(c,，,0),，其中,c,2,=a,2,-b,2,.,如果用类似的方法，建系时让椭圆的焦点在,y,轴上，,可得出它的方程为：,它也是椭圆的标准方程。,两边同除以 得：,y,o,F,1,F,2,M,x,y,x,o,F,1,F,2,M,二、椭圆的标准方程,：,*,两种椭圆图形的异同点,:,两种椭圆相对于坐标系的位置不 同，它们的焦,点坐标也不同,x,、,y,下的分母大小不同。,同,:,异：,形状相同,大小相同，,a,c,几何意义相同，并且：,其中,a,最大,b,c,大小无法确定。,椭圆的标准方程的再认识：,（,1,）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是,1,（,2,）椭圆的标准方程中三个参数,a,、,b,、,c,满足,a,2,=c,2,+b,2,。,（,3,）由椭圆的标准方程可以求出三个参数,a,、,b,、,c,的值。,（,4,）椭圆的标准方程中，,x,2,与,y,2,的分母哪一个大，则焦点在,哪一个轴上，（,a,总是最大）,或看焦点坐标来决定,a,、,b,。,y,o,F,1,F,2,M,x,y,x,o,F,1,F,2,M,二、椭圆的标准方程,：,1,：判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴，并指明,a,2,、,b,2,，写出焦点坐标。,答：在,x,轴，,答：在,y,轴。,答：在,y,轴。,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：,焦点在分母大的那个轴上。,课堂练习：,a,2,=25,b,2,=16;,（,3,，,0,）,.,a,2,=169,b,2,=144;,（,0,，,5,）,a,2,=m,2,-1,b,2,=m,2,;,（,0,，,1,）,2,椭圆上一点,P,到一个焦点的距离为,5,，,则,P,到另一个焦点的距离为（,）,A.5 B.6 C.4 D.10,A,3.,已知椭圆的方程为 ，焦点在,X,轴上，,则其焦距为（）,A 2 B 2,C 2 D 2,A,焦点在,y,轴上的椭圆的标准方程,是,_.,跳到注,小结：,本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点,:,椭圆的定义中,a,、,b,、,c,皆正，,a,2,=b,2,+c,2,其中,2c,是,椭圆焦距；,要注意特征量,a,、,b,、,c,的几何意义,它们确定椭圆的形状,.,焦点的位置由椭圆的标准方程中,x,2,y,2,的分母大小,或焦点坐标来决定；,求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确,定代入哪个方程解题,.,作业,:,1,、,课,P33,练习,1,、,2,P39,习题,1,。,2,、,世纪金榜,P18-19,基础达标,1,、,3,、,4,3,、,补充：若,表示椭圆，求,k,的取值范围,再见！,注,：,1.,标准方程中的两个参数,a,和,b,，确定了椭圆的,形状和大小，是椭圆的,定形,条件。,3.,由椭圆的定义和标准方程可知：确定椭圆的,标准方程需要三个条件：焦点位置、,a,、,b,的值。,2.,焦点,F,1,、,F,2,的位置，是椭圆的,定位,条件，它,决定椭圆焦点在坐标系里的位置和标准方程的类型，,也就是说，知道了焦点的位置，标准方程只有一种形,式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型。反,过来，只要知道方程的形式，就可以判定焦点位置。,一般先定位后定形！,例 求适合下列条件的椭圆的标准方程,两个焦点的坐标分别是 、,椭圆上一点到两焦点距离的和等于,10,小结,两个焦点的坐标分别是,(0,2),、,(0,-2),并且经过,解法,1,解法,2,求焦点在坐标轴上，且经过,A,（,-2),和,B,（，,1,）,两点的椭圆的标准方程。,分析：由题设条件焦点在哪一个坐标轴上不明确，椭圆的标准方,程有两种情形，为了计算方便，可含糊地设其方程为,mx,2,+ny,2,=1(m,、,n0,且,mn),其中,m,、,n,的大小先不做确定，,即先不考虑焦点位置，根据已知所给条件求出,m,、,n,值后,再行判断其焦点位置。,：求焦点在坐标轴上，且经过,A,（,-2),和,B,（，,1,）两点的椭圆的标准方程。,解：,设椭圆方程为：,mx,2,+ny,2,=1(m,、,n0),因为椭圆过点,A,（,-2),和,B,（，,1,），,故得,3m+4n=1,与,12m+n=1,所以，,所以，椭圆的方程为,反思,：在不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常要进行,分类讨论，但计算较 为复杂。一般可先设其方程,为,mx,2,+ny,2,=1(m,、,n0,且,mn,),，只是此时,m,、,n,的大,小还未确 定，用已知的条件来求出其值即可确定,X,、,Y,型。,所以像这种求椭圆方程先假设其方程,然后根据题目,条件得出所求方程的方法,我们称之为,待定系数法,。,：求焦点在坐标轴上，且经过,A,（,-2),和,B,（，,1,）两点的椭圆的标准方程。,1,2,x,y,o,F,F,M,y,x,o,F,2,F,1,M,定 义,图 形,标准方程,焦 点,F(c,，,0),F(0,，,c),a,b,c,的关系,c,2,=a,2,-b,2,|MF,1,|+|MF,2,|=2a (2a2c0),椭圆的标准方程,焦距为,2c,焦距为,2c,1,、椭圆 的焦距为,所表示的曲线是,2,、,3,、已知方程 表示焦点在,y,轴上的椭圆，则,m,的取值范围是,4,、已知椭圆 上一点,P,到其中一个焦点的距离为,3,，,则点,P,到另一个焦点的距离是,5,、已知,F,1,，,F,2,是椭圆 的两焦点，过,F,2,的直线交椭圆,于点,A,，,B,，若 ，则,右半个,X,型椭圆,（,8,25,）,7,11,练习：,例,2,、已知点,P,是椭圆,4y,2,+5x,2,=20,上的一点，,F,1,与,F,2,是焦点，且,F,1,PF,2,=60,0,，求,F,1,F,2,P,的周长与面积。,回顾求轨迹方程步骤,例,3,：已知圆,A,：,(x,3),2,y,2,100,，圆,A,内一定点,B(3,，,0),，圆,P,过,B,点且与圆,A,内切，求圆心,P,的轨,迹方程,圆,P,与圆,A,内切，圆,A,的半径为,10,两圆的圆心距,PA,10,r,，,2a,10,，,2c,AB,6,，,a,5,，,c,3,b,2,a,2,c,2,25,9,16,即点,P,的轨迹方程为,1,解：设,PB,r,即,PA,PB,10,点,P,的轨迹是以,A,、,B,两点为焦点的椭圆,(,大于,AB,),练习：已知,B,、,C,是两个定点，,|BC|=6,，且,ABC,的,周长等于,16,，求顶点,A,的轨迹方程,.,A,B,C,x,y,O,解：,建系如图，,由题意,|AB|+|AC|+|BC|=16,，,|BC|=6,，,有,|AB|+|AC|=10,，,由椭圆的定义知,：,点,A,的轨迹是椭圆,，,2c=6,2,a,=10,，,c=3,，,a,=5,，,b,2,=a,2,-c,2,=5,2,-3,2,=16,.,故顶点,A,的轨迹方程是：,(y,0),小结：,1,、先定位后定量；,2,、设方程技巧：焦点位置不确定时，不妨设其标准,方程为,mx,2,+ny,2,=1(m,、,n0,且,mn),3,、设方程技巧：与,有相同焦点的椭圆方,程不妨设为,4,、求动点的轨迹方程时：,若无法判断曲线类型：用求曲线方程一般步骤,;,若可由,定义法,判断出曲线类型：可直接套用现成结论。,求出曲线的方程之后，要验证方程是否有,增根,，如有，,应在方程后,注明限制条件,。,椭圆过点,A(2,3),，且与椭圆,9x,2,+4y,2,=36,有相同的焦点。,求该椭圆的标准方程,补充作业：,若,表示椭圆，求,k,的取值范围,平面内两个定点的距离是,8,，写出到这两个定点的距离,的和是,10,的点的轨迹方程,在平面直角坐标系中，已知,ABC,中,B(-3,0),，,C(3,0),且三边,|AC|,|BC|,|AB|,长依次成等差数列，求顶点,A,的,轨迹方程。,练习：在平面直角坐标系中，已知三角形 中,B(-3,0),，,C(3,0),且三边,|AC|,|BC|,|AB|,长依,次成等差数列，求顶点,A,的轨迹方程。,分析：因为,B,（,-3,，,0,），,C,（,3,，,0,）所以,|BC|=6,又三边,|AC|,|BC|,|AB|,长依次成等差数列,A,B,C,解：（根据例题同理可知）,A,点的轨迹方程是,因为椭圆的焦点在,轴上，所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知：,，又,，,所以所求椭圆的标准方程为：,解：,返回,解,:,设所求的标准方程为,依题意得,解得,:,所以所求椭圆的标准方程为,:,返回,