3.3.2利用导数研究函数的极值 (2)

单击此处编辑母版文本样式,第一章,1.3,第,2,课时,成才之路,高中新课程,学习指导,人教,B,版,数学,选修,2-2,1.,3,导数的应用,第,2,课时利用导数研究函数的极值,第一章,苏轼,题西林壁,中的诗句,“,横看成岭侧成峰，远近高低各不同,”,，描述的是庐山的高低起伏，错落有致在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点,那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？,1.,如何利用导数求函数的单调区间？,答案：,1.,在函数定义域内，由,f,(,x,)0,可得函数的增区间，由,f,(,x,)0,可得函数的减区间,一、函数的极值,1,函数极值的概念,已知函数,f,(,x,),，设,x,0,是定义域,(,a,，,b,),内任一点，如果对,x,0,附近的所有点,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,0,),，则称函数,f,(,x,),在点,x,0,处取极小值，记作,y,极小,f,(,x,0,),，并把,x,0,称为函数,f,(,x,),的一个极小值点,极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点,注意,：,1.,（,1,）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点,及左、右两侧区域而言的。在函数的整个定义区间内可能有,多个极大值或极小值，且极大值 不一定比极小值大，如图,点,x,1,、,x,3,是极大值点，,x,2,、,x,4,是极小值点，且在点,x,1,处的极大值小于在点上,x,4,处的极小值,(2),极值点是自变量的值，极值指的是函数值,(3),函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点,(4),若,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内有极值，那么,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值,2,极值与导数的关系,如图,(1),，若,x,0,是极大值点，则在,x,0,的左侧附近,f,(,x,),只能是增函数，即,f,(,x,)0,，在,x,0,的右侧附近,f,(,x,),只能是减函数，即,f,(,x,)0.,如图（,2,），若,x,0,是极小值点，则在,x,0,的左侧附近,f(x),只能是减函数，即,f(x)0.,综合以上情形，可以得到：若,x,0,满足,f(x,0,)=0,，且在,x,0,的两侧,f(x),的导数异号，则,x,0,是,f(x),的极值点，,f(x,0,),是极值。若,f(x),在,x,0,的两侧满足“左正右负”，则,x,0,是,f(x),的极大值点，,f(x,0,),是极大值；若,f(x),在,x,0,的两侧满足“左负右正”，则,x,0,是,f(x),的极小值点，,f(x,0,),是极小值。,注意：可导函数的极值点，必须是导数为,0,的点，但导数为,0,的点不一定是极值点。,一 求极值问题,求函数,f,(,x,),x,3,3,x,2,9,x,5,的极值,变式训练,1,：,二 含参数的极值问题,已知函数,f,(,x,),x,3,ax,2,bx,c,，当,x,1,时，取得极大值,7,；当,x,3,时，取得极小值，求这个极小值及,a,，,b,，,c,的值,变式训练,2,：,变式训练,3:,已知,f(x)=x,3,+3ax,2,+bx+a,2,在,x=-1,时有极值为,0,，,求常数,a,，,b,的值,辨析,根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证,x,1,两侧函数的单调性,正解,由错解得当,a,1,，,b,3,时，,f,(,x,),3,x,2,6,x,3,3(,x,1),2,0,，,所以,f,(,x,),在,R,上为增函数，无极值，故舍去,当,a,2,，,b,9,时，,f,(,x,),3,x,2,12,x,9,3(,x,1)(,x,3),当,x,(,3,，,1),时，,f,(,x,),为减函数，,当,x,(,1,，,),时，,f,(,x,),为增函数，,所以,f,(,x,),在,x,1,处取得极小值，因此,a,2,，,b,9.,课后作业：,