等比数列的概念及通项公式(一)课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4.1等比数列概念及通项公式,学习目标,1.,掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念,2,掌握等比数列的通项公式及推导过程,3,能应用等比数列的定义及通项公式解决问题,回顾与复习,1,、等差数列定义：,如果一个数列从第二项开始，每一项与,前一项的差等于,同一个常数,，这个数列,叫做,等差数列,。,数学表达式：,d=a,n,-a,n-1,(n2),或,d=a,n+1,-a,n,2,、等差数列的通项公式：,a,n,=a,1,+(n-1)d(,nN,*),3,、等差数列通项公式的推导方法：,a,n,=,a,m,+(n-m)d,(,n,mN,*),一、引入新课：,1.,细胞分裂个数组成数列,:,2.“,一尺之棰,日取其半,万世不竭,.”,得到数列,:,3.,病毒感染的计算机数构成的数列,:,（,1,）,1,，,2,，,2,2,，,2,3,，,观察下列数列的相邻两项，并说出它们的,特点,.,1,、定义：,如果一个数列从第,2,项,起，每一项与它的前一项的比都等于同一个,常数,，,那么这个数列就叫做,等比数列，,这个常数叫做,公比,，记为,q,(,q,0,).,数学语言：,探究：等比数列的定义,名 称,等差数列,等比数列,定 义,如果一个数列从第,2,项起，每一项与前一项的,差,都等于,同一个常数,，那么这个数列叫做等差数列,.,这个常数叫做等差数列的公差，用,d,表示,如果一个数列从第,2,项起，每一项与它,前,一项的,比,都等于,同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,.,这个常数叫做等比数列的公比，用,q,表示,.,课堂互动,(1),1,，,3,，,9,，,27,，,81,，,(3),5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,5,，,(4),1,，,-1,，,1,，,-1,，,1,，,是,公比,q=3,是,公比,q=x,是,公 比,q=-1,(7),(2),是,公比,q=,观察并判断下列数列是否是等比数列,:,是,公比,q=1,(5),1,，,0,，,1,，,0,，,1,，,(6),0,，,0,，,0,，,0,，,0,，,不是等比数列,不是等比数列,1.,各项不能为零,即,2.,公比不能为零,即,4.,数列,a,a,a,时,既是等差数列,又是等比数列,;,时,只是等差数列,而不是等比数列,.,3.,当,q0,，各项与首项,同号,当,q0,，各项符号,正负相间,对等比数列的理解,等比中项,如果在,a,与,b,中间插入一个数,G,，使,a,，,G,，,b,成等比数列，那么,G,叫做,a,与,b,的,等比中项,。,思考,：,1,、若,G,2,ab,，则,a,，,G,，,b,一定成等比数列吗？,提示：,不一定，若,a,G,b,0,时，不满足,所以,a,，,G,，,b,成等比数列,G,2,ab,(,ab,0),等比数列通项公式的推导,:,等比数列通项公式的推导（归纳法）,1,1,-,=,n,n,q,a,a,等差数列通项公式的推导,(,归纳法,),证明：,将等式左右两边分别相乘可得,：,化简得：,即：,此式对,n=1,也成立,累乘法推导,等比数列通项公式的推导,:,在等比数列,a,n,中，若已知某一项为,a,m,公比为,q,求该数列的任意项,a,n,。,等比数列通项公式的,推广公式：,a,n,a,m,q,n-m,（,a,m,0,a,n,0,m,n,Z,）,+,等比数列的,通项公式,：,（,nN,q,0,）,例如：数列,a,n,的首项是,a,1,=1,公比,q=2,则通,项,公式是：,上式还,可以写成,可见，这个等比数列,的图象都在函数,的图象上，如右图所示。,0 1 2 3 4 n,a,n,8,7,6,5,4,3,2,1,思考：,等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？,结论,:,等比数列的图象与指数函数之间的关系,:,巩固知识 典型例题,6.3,等比数列,例,1,在等比数列,中，,求,解,由,有,（,2,）除以（,1,）得,将,代人（,1,），得,所以，数列的通项公式为,本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法,(1),(2),变形、,等比数列,a,n,中,a,1,=2,q=-3,求,a,8,与,a,n,.,变形,2,、,等比数列,a,n,中,a,1,=2,a,9,=32,求,q.,变形、,等比数列,a,n,中,a,1,+a,3,=10,a,4,+a,6,=5/4,求,q,的值,.,变形、,等比数列,a,n,中,a,3,+a,6,=36,a,4,+a,7,=18,a,n,=1/2,求,n.,解：,定义法，只要看,已知数列,a,n,满足,a,1,1,，,a,n,1,2,a,n,1.,(1),求证：数列,a,n,1,是等比数列；,(2),求数列,a,n,的通项公式,【,思路点拨,】,将递推公式变形，然后利用等比数列的定义判定,例,4,(2),由,(1),知，,a,n,1,是以,a,1,1,为首项，,2,为公比的等比数列,所以,a,n,1,22,n,1,2,n,，,即,a,n,2,n,1.,【,名师点评,】,已知数列的递推关系求通项公式时，要先判断该数列是否为等差数列或等比数列，若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将递推公式变形，构造一个等差或等比数列，从而求出通项公式,数 列,等 差 数 列,等,比,数 列,定,义,公差（比）,定义变形,通项公式,一般形式,小结：填写下表,a,n,+1,-,a,n,=,d,d,叫,公差,q,叫,公比,a,n,+1,=,a,n,+d,a,n,+1,=,a,n,q,a,n,=,a,1,+,(,n,-1),d,a,n,=,a,1,q,n-,1,a,n,=,a,m,+,(,n,-,m,),d,a,n,=,a,m,q,n-m,