杨辉三角形及组合数的性质课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、杨辉三角形的构造：,二、杨辉三角形与组合数的性质：,三、杨辉三角形的其他性质：,1.递推法,2.通项公式法,1.对称性,2.,增减性,3.,拆并性,4.可和性,109 杨辉三角形及组合数的性质,1.杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏),2.杨辉三角与纵横图,3.其他,概率与统计简述,总 体,样 本,抽样,估计,推断,回归分析,相关分析,分布列及期望,概率,计数,计数问题总述,复杂的计数问题,简单的计数问题,排列组合型,计数原理,型,十大题型,两理两数四原则,十大题型递推法,相邻,捆绑法,错排：,二元1种；三元2种；四元9种,不邻,(相离),插空法,分组,相同元素,0-1法,不同元素,公式法,染色,递推法,定序,倍缩法(等概率法)；,插空法,两理两数四原则,十大题型,递推法,在与不在,含与不含,至多与至少,特殊优先直接法 正难则反间接法,分配,均匀分配,非均匀分配,先分组后分配,分 组,1.,相同,元素的,分组：,2.,不同,元素,的,非均匀,分组：,3.,不同,元素,的,均匀,分组：,4.,不同,元素,的,混合,分组：,将2,n,个不同元素均匀的分成2组,共有 种分法,将3,n,个不同元素均匀的分成3组,共有,种,分法,先均匀后非均匀,参分配,常规法处理,分 配,1.,不同,元素,的分配：,2.,相同,元素的分配(分组)：,先分组后分配,将,n,个相同元素,分成,k,组，共有 种分法,注：,将,n,个相同元素看成是,n,个,“,0,”,然后将,k,-1个隔板,“,1,”,插入,n,-1个空位即可,0 0 0 0,0 0,所以称为0,1法；,隔板法；挡板法,0,1法,含与不含,：,在与不在,：,至多与至少,：,特殊优先直接法 正难则反间接法,定,序,1.倍缩(等概率)法：,本质上、是不尽相异元素的全排列,已知,n,个元素中，有,m,1,个元素相同，又,有,m,2,个元素相同,不尽相异元素的全排列公式,则这,n,个元素所有的排列,数为：,称其为不尽相异元素的全排列,又有,m,k,个元素相同,(,m,1,+,m,2,+,+,m,k,n,),含与不含,：,在与不在,：,至多与至少,：,特殊优先直接法 正难则反间接法,定,序,1.倍缩(等概率)法：,本质上、是不尽相异元素的全排列,2.,逐个,插空法：,相邻问题捆绑法,1.定义：,n,元中有,m,个元素,要求,排在一起的,排列,2.解法：,先捆可邻成大元 次变个数全排列,不邻(相离)问题插空法,1.定义：,n,元中有,m,个元素,都不能,排在一起的排列,2.解法：,先排可邻后插空 多元切忌间接法,二元可用间接法 亮灯空位是变式,相间问题位置法,相邻相离综合体 一般解法位置法,错 排,1.定义：某排列所有元素不在原位置的排列,2.解法：,背诵法：,递推法：,a,2,1；,a,3,2；,a,4,9；,a,5,44,参新课课件,244 的内容,条型域染色,相邻,3,2,n,1,区域不能同色,则共有 种染法,如图,用,k,种颜色染,n,块区域，,给涂圆中,n,块区域涂色,相邻的区域不同色，则,环,型,域染色,无心环型域:,公式法：,递推法：,参新课课件,附录37,的内容,如图，用,k,种不同的颜色,给涂圆中,n,块区域涂色,相邻的区域不同色，则,环,型,域染色,无心环型域:,公式法：,递推法：,参新课课件,附录37,的内容,如图，用,k,种不同的颜色,有心,环型域,无心,环型域,先染心,其他,型域,：两理两数四优先,传球(踢毽子)问题,注1：,该类问题；解法甚多，,可参新课件,附录37,的内容,注2：,该类问题等价于无心环型域的染色问题,可转换成：,k,种颜色,n,块区域的无心环型,域的,染色问题,k,个人进行传球游戏，由甲先传，经过,n,次,传球后，球仍回到甲手中的传球方法数,复杂的计数问题,简单的计数问题,排列组合型,计数原理,型,十大题型,计数问题与二项式定理,组合数的性质及证法,二项式定理,通项公式,展开式,两理两数四原则 十大题型递推法,通项公式是重点 前项为1赋值法,异底幂,同底幂,特殊幂,幂的运算性质,二项式定理的展开式,前项后项,“,”,相连 展开共有,n,1,三块组成每一项 前降后升和为,n,注1：,注,2,：,小指数,(n,6),的,展开式：,(,a,+,b,),1,=,a,+,b,(,a,+,b,),2,=,a,2,+2,ab,+,b,2,(,a,+,b,),3,=,a,3,+3,a,2,b,+3,ab,2,+,b,3,(,a,+b),4,=,a,4,+4,a,4,b,+6,a,2,b,2,+4,a,b,3,+b,4,(,a,+,b,),5,=,a,5,+5,a,4,b,+10,a,3,b,2,+10,a,2,b,3,+5,ab,4,+,b,5,1 5 10 10 5 1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,注3：,注,2,：,上下前后及某项 知四有一两头同,(,中间差,),二项式定理,通项公式,注,1,：,有关概念：,系数与二项式系数,：,项与项数：,类似于学号与同学的关系,;容斥关系,称为二项式系数,一、求指定项：,三、整除：,二、求系数：,1.,要灵活选用展开式与,通项公式,：,四、证明等式(不等式)：,五、,近似计算,：,2.,要灵活选用先变形后展开,：,1.,求指定项的系数,：,2.,求系数和(差),：,赋值法、导数法,等同于求指定项,二项式定理的应用,欲证A,n,能被,x,整除,然后将(,k,x,b,),n,展开整理成,先构造：A,n,(,k,x,b,),n,(,k,x,b,),n,x,(,)+,x,0,的形式即可,一、杨辉三角形的构造：,二、杨辉三角形与组合数的性质：,三、杨辉三角形的其他性质：,1.递推法,2.通项公式法,1.对称性,2.,增减性,3.,拆并性,4.可和性,109 杨辉三角形及组合数的性质,1.杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏),2.杨辉三角与纵横图,3.其他,1,1,1,一、杨辉三角形的构造：,1.递推法：,1,4 6 4,1,1,2 1,1,3 3,1,1,5 10,10,5 1,1 6 15 20 15 6 1,1,7 21 35,35,21 7 1,每行除两端1以外的每一个数,都等于它肩上的两个数的和,2.通项公式法,中的上下标，类似于点的坐标,横看，斜看,如图，在由二项式系数,所构成的杨辉三角形中，,第_行中,从左至右第14个,数与第15个数的比为23,(1)(2004年上海春考）,析：,第,n,行从左到右的数分别为,则,解得,n,34,即,即,二、杨辉三角形与组合数的性质：,1.对称性,2.,增减性,3.,拆并性,4.可和性,左右对称抛物线,左增右减中间大,拆并要连同 上大下,1,系数求和赋值法 方法要熟正负,1,2.将三角形内的某些数,或,“,挖去,”,如何利用杨辉三角形来推断有关性质？,1.有横看，纵看，斜看；,有连续看，隔行看，,用其他数代换,等手段变形后,再观察其性质,有局部看，整体看；,立体看,1 5 5,1,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 6 15 6,1,1,1,15,20,10,10,6,4,对称性,1,1,4,增减性,1,1,左右对称抛物线 左增右减中间大,1 5 5,1,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 6 15,6,1,1,1,15,20,10,10,6,4,对称性,1,1,4,增减性,1,1,拆并性,拆并要连同 上大下,1,拆并性,(2),(3)证明：,法1,：,用阶乘式展开,法,2,：,从,n,1,个不同元素中取出,r,1,个元素的,其中含A元素的组合数是,不含A元素的组合数是,所以,组合数是,1 5 5,1,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 6 15,6,1,1,1,15,20,10,10,6,4,1,1,4,1,1,拆并性的推广：,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10,10,5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35,35,21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126,126,84 36 9 1,+,+,+,可和性,(4)证明：,系数求和赋值法 方法要熟正负,1,证明,：,令,a,=,b,=,1,代入,即得,证明,：,令,a,=,b,=,1,代入,得,即,可和性：,(5),选修,2-3,课本,P,：,35,练习,1,解：,原式,解：,原式,一、杨辉三角形的构造：,二、杨辉三角形与组合数的性质：,三、杨辉三角形的其他应用：,1.杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏),杨辉三角与,高尔顿钉,板,(选修2-3,P：70),高尔顿,1822,1911,，英国科学家，达尔文的表弟,他是一位医生和人类学家,一、杨辉三角形的构造：,二、杨辉三角形与组合数的性质：,三、杨辉三角形的其他应用：,1.杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏),2.杨辉三角与纵横图,A,B,(6)某城市的部分街道如图，纵横各有三条路,从A走到B有多少种不同的走法？,(只能由左到右，由上向下行走),析1：,将上图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方,然后在交叉点标上相应的杨辉三角数,A,B,1,1,1,1,1,2,3,3,6,析2：,有趣的是B,点,所,标,的,杨辉三角数,6，正好是答案6,析,3,：,可见,杨辉三角与纵横路线图有着天然的联系,如图，纵横各分别为,m、n,条路,A,B,杨辉三角与纵横图,从A走到B的最短不同路径,(只能由左到右，由上向下行走),有,条,(7),如图，,A,地到,B,地的道路类似,“,田字格,”,则从,A,走到,B,的最短路径的,条数为,析：,如图，,A36,B48,C70,D58,A,B,C,D,若C、D点之间的直线路径是通畅的,则A到B的最短路径是,其中经过C、D点的路径有,故满足条件的最短路径的条数是,N,70,12,58,【D】,A,B,C,D,(8)如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于,一个2,2,3,的长方体框架，一个建筑工人,欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其,最近的行走路线中，不连续向上,攀登的概率为,【B】,析1：,从A到B的最短路径条数是,析2：,若只考虑在平面(底面)上行走,B,0,故不连续向上攀登的路径有,则从点A到点B,0,的最短路径条数是,析3：,故所求概率为,一、杨辉三角形的构造：,二、杨辉三角形与组合数的性质：,三、杨辉三角形的其他应用：,1.杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏),2.杨辉三角与纵横图,3.其他,详细内容、参新课课件 附录38,针对训练：,1.,精炼,案,P,：,84,Ex13,2.,精炼,案,P,：,84,Ex16,3.(2016年全国II)如图，小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年,公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以,选择的最短路径条数为,A24 B18,C12 D9,预习：,抽 样,总体 样本,